高等数学课件.ppt

1、,高等数学,李伟平数学与信息科学系信息与计算科学教研室,从小学到中学，从中学到大学，从大学到研究生阶段，人们一直都在学习数学。那么，为什么要学习数学，或者说学习数学的目的性究竟何在呢？,数学不仅是一种科学的语言和工具，是众多科学与技术必备的基础，而且是一门博大精深的科学，更是一种先进的文化，在人类认识世界和改造世界的过程中一直发挥着重要的作用与影响。 学习数学，是否就是获得一些数学知识，学得一大堆重要的数学概念、定理、公式和结论，懂得各种各样的数学方法和手段？,这种单纯以学习知识为目的的观点，将教育仅仅看成是知识的传授，是很片面的，也是不可取的。 如果将数学教学仅仅看成是知识的传授（特别是那种

2、照本宣科式的传授），那么即使包罗了再多的定理和公式，可能仍免不了沦为一堆僵死的教条，难以发挥作用；而掌握了数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论,显示出无穷无尽的威力。,在工作中真正需要用到的具体数学分支学科，具体的数学定理、公式和结论，其实并不很多，学校里学过的一大堆数学知识很多都似乎没有派上什么用处，有的甚至已经淡忘，但所受的数学训练，所领会的数学思想和精神，所积累的数学素养，却无时无刻不在发挥着积极的作用，成为取得成功的最重要的因素。,仅仅将数学作为知识来学习，而忽略了数学思想对学生的熏陶以及学生数学素质的提高，忽略了数学作为一种先进的文化所起的特殊而重

3、要的作用，就失去了数学课程最本质的特点和要求，失去了开设数学课程的意义。这就像练武之人，单单学会了一些招式，而不懂得这些招式的意图和来龙去脉，只知剑招，不知剑意，最多只能依样画葫芦，是不可能真正得心应手地加以运用的，更谈不上达到融会贯通的境界了。,通过学习数学，对数学这个学科有一个正确的认识和理解，对数学有一种仰慕和敬重，有一种向往和热爱，有一种亲和力。如果觉得数学纸上谈兵、毫无用处，觉得数学高不可攀、难以理解，觉得数学枯燥无味，甚至面目可憎，对其敬而远之、退避三舍，这样的数学教与学，无疑是彻底失败了。,通过学习数学，特别是通过数学严格的训练，能逐步领会到数学的精神实质和思想方法,在潜移默化中

4、积累起一些优良的素质，造就自己的数学教养，不仅变得更加聪明起来，而且对今后一生的发展都会起着重要的积极作用。这一点，特别体现了数学教育本身就是一种素质教育。忽略了这一点，就失去了数学教育的灵魂。,通过学习数学，不仅积累数学的知识和方法，掌握必要的工具和技巧，而且提高将数学有效地用于解决现实世界中种种实际问题的自觉性和主动性，并具备一定的能力，今后能够和他人合作或想到和他人合作，运用数学思想和工具来解决自己在工作中碰到的一些关键问题。在这方面，要求在一定的程度上熟练掌握关键的数学知识和方法，也要求用数学来解决实际问题的意识和能力，并要求将二者结合起来。,变量,高等数学,高等数学,函数,极限方法,

5、极限论,微分学,积分学,级数论,（单变量和多变量）,工具,基础,中心,对象,对象,变动观点,关系,Chapt 1 函数与极限,在近几个世纪中科学技术之所以取得了辉煌的成就，在很大程度上是因为数学研究取得了重大进展，其中微积分的创立是现代数学的里程碑。微积分在物理、天文、技术、化学、生物等的研究中显示了强大的威力，解决了许多过去认为高不可攀的困难问题，促进了科学技术的发展。然而，由于在创建初期微积分是以几何直观和物理直觉为依据而进行演绎推理的，因此就形成了方法上有效但逻辑上不能自圆其说的矛盾局面。,为了解决微积分在理论上面临的问题，许多著名数学家都投身于微积分理论基础的研究。人们后来发现，微积分

6、的主要理论基础是严格的极限理论。到了19世纪初，柯西以极限理论为微积分奠定了理论基础。但是柯西构筑的理论大厦起初并不完善，这是因为柯西并没有对实数给出严格的定义。而后来人们又发现，极限理论的某些基本原理依赖于实数系的连续性。,高等数学研究的是实数集上定义的函数,因此我们首先要掌握实数的基本概念与性质.,人类所认识的第一个数系就是自然数系,它的定义为0,1,2,.虽然自然数对于计数来说是够用了，但是自然数系并不是一个完善的数系。,首先作为量的描述手段，它只能表示一个单位量的整数倍，而无法去表示此单位量的部分。此外，作为量的运算手段，它只能自由地进行加、乘运算，而不能自由地进行加、乘运算的逆运算（

7、减、除）。自然数的这种离散性和运算的不完备性，促使人们去对它进行扩充。人们首先引进了负数，得到了整数系。对整数系人们可以自由进行加、减运算。,人们为了得到可以自由进行加、减、乘、除四则运算的数系，对整数系中的任意两个数进行加、减、乘、除（除数不为零）得到的数的全体记为一个新的数系，这就是随后得到的有理数系。 对于一个数集K，若K中至少有一个非零元素，且K中任何两个元素的加、减、乘、除（除数不为零）运算后得到的数仍然属于K，即K关于四则运算封闭，则称K为一个数域。,容易看出，有理数集就是一个数域。从代数上来讲，有理数系已经是一个完美的数系，它可以在任何精度要求下对一个量进行表示和实施有效的运算，

8、并且任何两个有理数之间必有有理数存在（或说有理数有稠密性）。然而，早在2500年前，人们就发现有理数系也有缺陷。例如，若用c来表示一个边长为1的正方形的对角线的长度，则c就无法用有理数表示。所以，有理数虽然在数轴上密密麻麻，但并没有布满整个数轴，留有许多“空隙”。这说明还有新的数存在，但它没有被严格地定义。,由于有理数系已经对四则运算封闭，因此我们必须用不同于以前的数系的扩充才有可能得到新的数。前面指出，微积分的理论基础是极限论，但在这种具有“空隙”的有理数系上实施极限运算，就会极为不便。因此,正如四则运算需要一个封闭的数域一样，极限运算也需要一个关于极限封闭的数域。这就需要将有理数进行扩充，

9、使其能够填补有理数在数轴上留下的所有这些“空隙”。,于是,这又归结到如何定义无理数的问题上了。这一历史任务,终于在19世纪后半叶,由戴德金（Dedekind）和康托尔（Cantor）等人完成。下面介绍戴德金关于实数的构造方法。,设S是一个有大小顺序的非空数集，A和B是它的两个子集，如果它们满足以下条件： （1） ； （2） ； （3） ，都有ab； （4）A中无最大数， 则我们将A,B称为S的一个分划,记为（A|B）,有理数系Q的所有分划构成了一个集合，我们称这个集合为实数系,并记为R.显然，有理数集与R中的有理分划是一一对应的。因此R可以被认为是由有理数集加上无理分划所构成。我们称R中的这些

10、无理分划为无理数。 有理数系有稠密性，但没有连续性，即有理数之间有许多“空隙”。戴德金分割定理（对R的任一分划（A|B），B中必有最小数）告诉我们，在有理数集合中加入无理数之后,就没有“空隙”了，也就是说实数系具有了连续性。,一、问题的提出,微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数学学科。 应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。,第一节 映射与函数,“用函数来思考”是大数学家克莱因领导的数学教育改革运动的口号。函数是数学中最重要的基本概念，也是微积分研究的主要对象。

11、函数的思想，就是运用函数的方法，必要时引入辅助函数，将常量视为变量、化静为动、化离散为连续，将所讨论的问题转化为函数问题加以解决的一种思想方法。,函数概念的萌芽，可以追溯到古代对图形轨迹的研究，随着社会的发展，人们开始逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之间存在着一种规律：一个或几个量的变化，会引起另一个量的变化，这种从数学本身的运算中反映出来的量与量之间的相互依赖关系，就是函数概念的萌芽。在代数学的方程理论中，对不定方程的求解，使得人们对函数概念逐步由模糊趋向清晰。,恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学” 。笛卡儿在16

12、37年出版的几何学中，第一次涉及到变量，他称为“未知和未定的量”，同时也引入了函数的思想。英国数学家格雷果里在1667年给出的函数的定义，被认为是函数解析定义的开始。他在“论圆和双曲线的求积”中指出：从一些其他量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量。这里的运算指的是五种代数运算以及求极限运算，但这一定义未能引起人们的重视。,一般公认最早给出函数定义的是德国数学家莱布尼兹，他在1673年的一篇手稿中,把任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量，如切线、法线、点的纵坐标都称为函数；并且强调这条曲线是由一个方程式给出的。 函数概念被提出后，由于微积分学的发展,函数概念也不断进行扩

13、张，日趋深化。致使函数概念日趋精确化、科学化。函数概念在发展过程中，大致经过了六个阶段的扩张。,二、集合(Set):,1.集合概念,具有某种特定性质的事物所组成的总体称为一个集合。,组成这个集合的事物称为该集合的元素。,注：集合的表示方法主要有列举法和描述法。,2.区间(interval):,介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点.,开区间,闭区间,左闭右开区间,左开右闭区间,注:,两端点间的距离称为区间的长度.,无穷区间,3 邻域,记作,三 映射(Mapping),1 映射概念,对应法则f,注意：只有单射才 存在逆映射,如：,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域

14、,四 函数（Function),1 函数概念,自变量,因变量,对应法则f,1）函数的三要素:,定义域、对应法则和值域,注: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,函数的表示方法：,1）表格法,2）图形法,3）解析法,2）单值函数与多值函数,1) 符号函数,2 分段函数（Piecewise-defined Functions),符号函数的定义域是实数集，值域-1，0，1,2) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,3) 狄利克雷函数(Dirichlet),狄利克雷( Diric

15、hlet,P.G.L. 18051859, 德国),3 函数的特性,1）有界性(Boundedness):,有界,无界,2）单调性(Monotonicity):,3）奇偶性(Odd and Even):,偶函数,奇函数,4）周期性(Periodicity):,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,3、复合函数(Composite Functions),注：不是任何函数都可以复合成一个函数。,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,4、反函数(Inverse Functions),4 基本初等函数 (Basic Elementary Functions),1）幂函数(Power Funct

16、ion),思 考 幂 函 数 的 性 质,2） 指数函数(Exponential Function),思 考 指 数 函 数 的 性 质,3）对数函数(Logarithmic Function),4）三角函数(Trigonometric Function),正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,5）反三角函数(Anti-Trigonometric Function),幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数。,二 初等函数(Elementa

17、ry Functions),5 双曲函数与反双曲函数,奇函数.,偶函数.,1 双曲函数,(Hyperbolic Function and anti- Hyperbolic Function),奇函数,有界函数,由图形可以得出：,双曲函数常用公式,2 反双曲函数,思考题,思考题解答,设,则,故,练 习 题,练习题答案,一 问题的提出,二 数列极限,第二节 数列极限,(Limits of Sequences),三 数列极限的性质,四 小结,极限的思想是近代数学的一种重要思想，高等数学就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。 极限是构筑微积分坚实理论体系的基石。要想

18、对高等数学这门学科的实质有一个真正的了解和掌握，就必须准确掌握极限的概念和无穷小的分析方法。,所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。 极限思想是微积分的基本思想，高等数学中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。整个高等数学自始至终都在讨论各种极限的存在性以及求法等问题，极限论可以看成是分析学与代数学的主要区别。,与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”,而是借助于间接证法归谬法来完成了有关的证明。,无限与有限有本质的不同,但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。,自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。本节中我们将介绍微积分发展史中的两个典型问题，在解决这两个问题的过程中，孕育了极限思想，并