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文档简介
1、数学建模作业-第五章 非线性最小二乘问题 (1)最小二乘方法无约束问题为:minz=i=1n(a+beci-i)2编写lingo程序:sets:quantity/1.15/:x,y;endsetsdata: x=2,5,7,10,14,19,26,31,34,38,45,52,53,60,65; y=54,50,45,37,35,25,20,16,18,13,8,11,8,4,6;enddatamin=sum(quantity:(a+b*exp(x*c)-y)2);free(a);free(b);free(c);结果:Local optimal solution found. Objectiv
2、e value: 44.78049 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 68 Variable Value Reduced Cost A 2.430177 0.000000B 57.33209 0.000000 C -0.4460383E-01 0.000000(2)最小一乘法无约束问题为:min(a,b) z=i=1na+beci-i编写lingo程序写出相应的LINGO程序如下:sets:quantity/1.15/:x,y;endsetsdata: x=2,5,7,10,14,19,26,31,34,38,45,52,53,
3、60,65; y=54,50,45,37,35,25,20,16,18,13,8,11,8,4,6;enddatamin=sum(quantity:abs(a+b*exp(x*c)-y);free(a);free(b);free(c);运行结果:Local optimal solution found. Objective value: 20.80640 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 643 Variable Value Reduced CostA 3.398267 0.000000B 57.11461 0.000000 C
4、 -0.4752126E-01 0.000000(3)最大偏差最小的方法编写程序:sets:quantity/1.15/: x,y;endsetsdata: x = 2,5,7,10,14,19,26,31,34,38,45,52,53,60,65; y = 54,50,45,37,35,25,20,16,18,13,8,11,8,4,6;enddatamin=max(quantity: abs(a+b*exp(c*x)-y);free(a); free(b); free(c);结果:Linearization components added: Constraints: 91 Variabl
5、es: 76 Integers: 30 Local optimal solution found. Objective value: 2.774408 Extended solver steps: 38 Total solver iterations: 7654 Variable Value Reduced CostA 2.885594 0.000000B 55.86246 0.000000C -0.4441314E-01 0.000000(4)画出散点图和曲线图编写matlab程序如下: x=2 5 7 10 14 19 26 31 34 38 45 52 53 60 65;y=54 50
6、45 37 35 25 20 16 18 13 8 11 8 4 6;scatter(x,y,k*);hold onx=0:0.1:100;y=2.43+exp(-0.0446*x).*57.33;plot(x,y, g);xlabel(x);ylabel(y);hold onx=0:0.1:100;y=3.40+exp(-0.048*x).*57.11;plot(x,y, r);xlabel(x);ylabel(y);hold onx=0:0.1:100;y=2.89+exp(-0.044*x).*55.86;plot(x,y, b);xlabel(x);ylabel(y);得到图形:分析:
7、三条曲线的结果大致相同,但是略有差异。最小二乘法当回归残差满足正态分布时,它有很好的统计性质,但是他的回归性质不稳定。最小一乘法和最小二乘法近似,更靠近主流数据。最大偏差最小回归法因为受到最大平偏差的影响,曲线始终偏移。 非线性优化问题:(1)设汽油由桶A类原油和桶B类原油化合而成,民用燃料油由桶A类原油和桶B类原油化合而成,汽油广告费为元,民用燃料的广告费为元。由题意知道,汽油产量为桶,销量为桶;民用燃料油产量为桶,销量为桶。约束条件:销售约束:,原料约束:,指标约束:,目标函数:利润:编写lingo程序如下:max=0.5*z1*250+z2*200-z1-z2;x1+x2=5000;y1
8、+y2=8*(x1+y1);10*x2+5*y2=6*(x2+y2);0.5*z1=x1+y1;z2=x2+y2;得到: Global optimal solution found. Objective value: 3230000. Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost Z1 10000.00 0.000000 Z2 10000.00 0.000000 X1 3000.000 0.000000 X2 2000.000 0.000000 Y1 2000.000 0.000000 Y2 8000.000 0.000000 R
9、ow Slack or Surplus Dual Price1 3230000. 1.000000 2 0.000000 297.0000 3 0.000000 174.5000 4 0.000000 -24.50000 5 0.000000 -24.50000 6 0.000000 248.0000 7 0.000000 199.0000结果分析:汽油由3000桶A类原油和2000桶B类原油化合而成;民用燃料油产品由2000桶A类原油和8000桶B类原油化合而成;广告费分别为1000元;石油公司获得最大利润3230000元。(2)根据问题的需要,设汽油中增加SQ量k1,民用燃料油增加SQ量k
10、2.根据题意,新的约束条件为:销售约束:,SQ约束:,原料约束:,指标约束:,新的目标函数:利润:编写lingo程序如下:在LINGO中输入:max=0.5*z1*250+z2*200-z1-z2-200*(k1+k2);x1+x2=5000;y1+y2=(8-k10.5)*(x1+y1);10*x2+5*y2=(6-0.6*k20.6)*(x2+y2);0.5*z1=x1+y1+k1;z2=x2+y2+k2;k1=(x1+y1)*0.05;k2=(x2+y2)*0.05;得到: Local optimal solution found.Objective value: 3756000. To
11、tal solver iterations: 26 Variable Value Reduced Cost Z1 31500.00 0.000000 Z2 0.6618792E-07 0.000000 K1 750.0000 0.000000 K2 0.000000 1029.000 X1 5000.000 0.000000 X2 0.000000 0.000000 Y1 10000.00 0.000000 Y2 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price1 3756000. 1.000000 2 0.6618757E-07 250.40
12、00 3 0.000000 250.4000 4 390791.9 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 248.0000 7 -0.6618792E-07 199.0000 8 0.000000 48.00000 9 0.000000 1028.000结果分析:汽油由5000桶A类原油和10000桶B类原油化合而成,只生产汽油产品,不生产民用燃料油,增加SQ添加剂750桶,汽油广告费31500元,石油公司获得的利润最大为3756000元。(3)由题意知,只需要在第二问的基础上修改利润表达式,其他条件不变即可。 修改后的目标函数:利润:编写lingo程
13、序:max=0.5*z1*250+z2*200-z1-z2-200*400-100*(k1+k2-400);x1+x2=5000;y1+y2=(8-k10.5)*(x1+y1);10*x2+5*y2=(6-0.6*k20.6)*(x2+y2);0.5*z1=x1+y1+k1;z2=x2+y2+k2;k1=(x1+y1)*0.05;k2=(x2+y2)*0.05;得到: Local optimal solution found. Objective value: 3791000. Total solver iterations: 25 Variable Value Reduced Cost Z1
14、 31500.00 0.000000 Z2 0.000000 0.000000 K1 750.0000 0.000000 K2 0.000000 0.000000 X1 5000.000 0.000000 X2 0.000000 51.45000 Y1 10000.00 0.000000 Y2 0.000000 51.45000 Row Slack or Surplus Dual Price1 3791000. 1.000000 2 0.000000 255.4000 3 0.000000 255.4000 4 390791.9 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0
15、.000000 248.0000 7 0.000000 199.0000 8 0.000000 148.0000 9 0.000000 99.00000分析结果:汽油由5000桶A类原油和10000桶B类原油化合而成,应全部生产汽油,添加SQ的量为750,投入广告费31500元,此时获得最大利润,为3791000元。 毛巾清洗服务问题.设订货量为Q,订货周期为t,订货费为CD,脏毛巾储存费为Cp1,干净毛巾储存费为Cp2.每条毛巾的清洗费为w。由题意得CD=81,Cp1=0.02,Cp2=0.01,w=0.6毛巾的平均存货费为Q(Cp1+Cp2)2 ;毛巾平均订货费为D(CD+0.6Q)Q;毛
16、巾的平均总费用min=Q(Cp1+Cp2)2 +D(CD+0.6Q)Q将各已知量代入上式得到:min=Q(0.02+0.01)2 +600(81+0.6Q)Q=0.015Q+48600Q+360编写LINGO程序:min=0.5*Q*(0.02+0.01)+600*(81+0.6*Q)/Q;得到结果:Local optimal solution found. Objective value: 414.0000 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 208 Variable Value Reduced Cost Q 1800.000
17、0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price1 414.0000 -1.000000所以Q=1800,每隔3天进行一次更换,毛巾平均总费用min=414元。(2)根据题意知:添加约束条件当Q2500,w=0.60;当Q 2500, w=0.50;写出相应的LINGO程序如下:D=600;C_P1=0.02;C_p2=0.01;C_D=81;w=if(Q #lt# 2500,0.60,0.50);min=1/2*Q*(C_P1+C_P2)+D*(C_D+w*Q)/Q;运行程序得到:Linearization components added: Constrai
18、nts: 15 Variables: 10 Integers: 6 Local optimal solution found. Objective value: 356.9400 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost D 600.0000 0.000000 C_P1 0.2000000E-01 0.000000 C_P2 0.1000000E-01 0.000000 C_D 81.00000 0.000000 w 0.5000000 0.000000 Q 2500.000
19、0.000000分析结果:当订货量为2500条时,毛巾消费为356.94元,更换周期为4-5天,可以选择打折服务。 经济订购与生产存储模型.(1)若公司向合同商购买设最大库存量为Q,最小库存量为0。由题意得平均存货费=CPQ2平均订货费=CD1DQ.平均总费用min=CPQ2 +CD1DQ代入数据得: min=0.50.02365Q+1526000Q编写lingo程序:min=0.5*0.02*365*Q+15*26000/Q;运行结果:Local optimal solution found. Objective value: 2386.210 Extended solver steps:
20、5 Total solver iterations: 290 Variable Value Reduced CostQ 326.8781 0.000000分析结果:Q最为327,分别代入可知, min= 2386.211元。t=327/26000=0.01258(年)全年订货次数n=79.51070=80次/年。(2)若公司自己生产设单次生产量为Q,存储周期为t,有 t=QD.由题意得:p=CPV2+CDDQ=0.5CP1-DPQ+CDDQ代入数据得:p= 0.50.023651-26000100365Q+2026000Q 编写lingo程序:min=0.5*0.02*365*(1-26000
21、/36500)*Q+20*26000/Q;运行得到:Local optimal solution found. Objective value: 1477.836 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 190 Variable Value Reduced CostQ 703.7316 0.000000分析结果:平均库存费用为1477.836元,Q=704对比可知,该公司应该自己生产。加分试验(选址问题)(1)模型建立记工地的位置为(ai,bi),水泥日用量为di,i=1,6;料场位置为(xj,yj),日储量为ej,j=1,2;从料场
22、j向工地i的运送量为Xij。目标函数为: 约束条件为:当用临时料场时决策变量为:Xij,当不用临时料场时决策变量为:Xij,xj,yj。 使用两个临时料场A(5,1),B(2,7).求从料场j向工地i的运送量为Xij,在各工地用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的条件下,使总的吨千米数最小,这是线性规划问题. 线性规划模型为:其中 ,i=1,2,6,j=1,2,为常数。.模型求解编写相应的LINGO程序如下:MODEL:sets:demand/1.6/:a,b,d;supply/1.2/:x,y,e;link(demand,supply):c;endsetsdata:a=1.25,8.75,
23、0.5,5.75,3,7.25;b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;d=3,5,4,7,6,11;e=20,20;enddatainit:x,y=5,1,2,7;endinitmin= sum(link(i,j):c(i,j)*(x(j)-a(i)2+(y(j)-b(i)2)0.5);for(demand(i):DEMAND_CONsum(supply(j):c(i,j)=d(i););for(supply(i):SUPPLY_CONsum(demand(j):c(j,i)=e(i););for(supply:free(x);free(y););END运行程序得到如下:Lo
24、cal optimal solution found. Objective value: 136.20604 Total solver iterations: 59 Variable Value Reduced CostA( 1) 1.250000 0.000000 A( 2) 8.750000 0.000000 A( 3) 0.5000000 0.000000 A( 4) 5.750000 0.000000 A( 5) 3.000000 0.000000 A( 6) 7.250000 0.000000 B( 1) 1.250000 0.000000 B( 2) 0.7500000 0.000
25、000B( 3) 4.750000 0.000000B( 4) 5.000000 0.000000B( 5) 6.500000 0.000000B( 6) 7.750000 0.000000D( 1) 3.000000 0.000000D( 2) 5.000000 0.000000D( 3) 4.000000 0.000000D( 4) 7.000000 0.000000D( 5) 6.000000 0.000000D( 6) 11.00000 0.000000X( 1) 3.254883 0.000000X( 2) 7.250000 -0.4340540E-05Y( 1) 5.652332
26、0.000000Y( 2) 7.750000 -0.1390490E-05E( 1) 20.00000 0.000000E( 2) 20.00000 0.000000C( 1, 1) 3.000000 0.000000C( 1, 2) 0.000000 4.008540C( 2, 1) 0.000000 0.2051358C( 2, 2) 5.000000 0.000000C( 3, 1) 4.000000 0.000000C( 3, 2) 0.000000 4.487750C( 4, 1) 7.000000 0.000000C( 4, 2) 0.000000 0.5535090C( 5, 1
27、) 6.000000 0.000000C( 5, 2) 0.000000 3.544853C( 6, 1) 0.000000 4.512336C( 6, 2) 11.00000 0.000000所以,A料场向工地16运送水泥量分别为3吨、0吨、4吨、7吨、6吨和0吨,B料场向工地16运送水泥量分别为0吨、5吨、0吨、0吨和11吨,这样总的吨公里数最小为136.20604.(2)为进一步减少吨公里数,改建两个新的料场,日储量各位20吨。即在问题(1)中稍微改变程序,如下:改建两个新料场,要同时确定料场的位置(xj,yj)和运送量Xij,在同样条件下使总吨千米数最小。这是非线性规划问题。非线性规划模型为:MODEL:sets:demand/1.6/:a,b,d;supply/1.2/:x,y,e;link(demand,supply):c;endsetsdata:a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;
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