第6章 自旋与全同粒子.ppt

1、第6章 自旋与全同粒子,6.1电子的自旋算符和自旋波函数,在原子物理学课程中我们已经了解了电 子具有自旋的如下实验事实: SternGerlach实验、 光谱线的精细结构 （包括：碱金属的双线结构、 简单Zeeman效应、 复杂Zeeman效应等）。,Uhlenbeck和Goudsmit为了解释这些 现象，在1925 年提出了下面的假设：,每个电子具有自旋角动量S(其自旋量子 数为s=1/2),它在空间任何方向上(如：z方向) 的投影只能取两个数值：,每个电子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角 动量的关系式：,电子自旋的回转磁比率为：,在量子力学中如何描述电子的自旋呢？,自旋角动量也是描述电子状态的

2、一个力学 量，它是电子内部状态的表征，它与电子的坐 标和动量无关，它的取值量子化（不连续）。,在量子力学中，自旋角动量用算符,表示,由于,在空间任意方向上的投影只能取,，所以,为简便起见，引入算符,，它与,的关系为,满足对易关系：,和反对易关系：,且有,故,为单位算符,具有自旋的电子的本征函数可记为：,这样，如果已知电子处于,的自旋态，则：,表示t时刻在r处发现电子自旋朝上的概率；,如果已知电子处于,的自旋态，则：,表示t时刻在r处发现电子自旋朝下的概率。,波函数是21矩阵，则自旋算符应为 22矩阵，设为,解得 a=1,b=0,c=0,d=-1,即：,由对易关系式可求得：,相应的，有：,Pau

3、li矩阵,波函数的归一化：,概率密度：,当电子的自旋运动与轨道运动相互作用可忽略时，,当电子的自旋运动与轨道运动相 互作用可忽略时，,其中,为描写电子自旋状态的自旋波函数，,自旋算符仅对,作用，而,有两个：,自旋算符的任意函数,亦可表示为22矩阵：,对坐标和自旋同时求平均的结果为：,对自旋求平均的结果为：,例题6.1 设氢原子的状态波函数是,（1）求轨道角动量z分量,和自旋角动量z分量,的平均值，,（2）求总磁矩,的z分量的平均值。,解：,（1）,的可能值有,，概率分别为,平均值：,的可能值有,概率分别为,平均值：,（2）由,有：,即,和,是,的本征函数。,所以，在,态中测量,可能值有：,，概

4、率分别为,平均值,6.2 两个角动量的耦合,当微观体系涉及到的角动量不止一个时，必须讨论角动量的耦合问题。如原子体系中价电子不止一个时，电子的轨道角动量与轨道角动量之间，轨道角动量与自旋角动量之间，自旋角动量与自旋角动量之间，都可以相互耦合。,不失一般性，可考虑两个角动量J1和J2之间的耦合，讨论如下：,已知：,设：,因为,相互对易，其共同本征矢,j1,m1,j2,m2j1,m1|j2,m2,组成正交归一完全系。,角动量耦合：令：,可证：,即两个角动量相加仍为角动量,由于,相互对易，所以它们有共同本,征函数，记为,j1,j2,j,m,有,可按j1,m1,j2,m2展开为,且有：,j=j1+j2

5、,j1+j2-1,.,|j1-j2| m=j,j-1,.,-j+1,-j,C-G系数,（6.22）,J的取值讨论如下：,m，m1，m2的最大值为J，J1，J2，而mm1m2, 所以 jMAXj1j2,再看 jMIN？,m1=j1,j1-1,.,-j1+1,-j1 共2j11个值 m2=j2,j2-1,.,-j2+1,-j2 共2j21个值 m：共有 （2j11）（2j21）个值,对应于j，mj,j-1,.,-j+1,-j 共（2j1）个值。如果用jMIN表示j可能的最小 值，则则j1,j2,j,m的数目,推导CG系数很复杂，有专用表 可查，下面列出了j1任意, j2=1/2时的 C-G系数,-

6、,-,将上述系数代入（6.22）有：,6.3 光谱的精细结构,类氢原子的双线结构,讨论无外场时电子自旋对类氢原子的能级 和谱线的影响。,不考虑核外电子的屏蔽时，Hamilton为：,是不考虑电子自旋和轨道相互作,用时的Hamilton，其解为,有电子自旋和轨道相互作用时，以,表示电子的总角动量算符，因为,两两对易，,与任何算符对易，所以体系,的定态也可以用,的共同本征函数,描写。这些波函数是耦合表象中的基矢。这时,电子的态由n,lj,m四个量子数确定。,和,不对易。,由于,的本征值是简并的，可用简并情况下,的微绕理论来解此方程。,令,而,令,则有,从而,可见，自旋轨道耦合使原来2n2重简并 的

7、能级分裂开来，简并部分的被消除。,（因为,中不含量子数，可取2j+1个值，,所以还有2j+1度简并保留下来。）,讨论：l0时，,能级没有分裂；,l0时，当和给定后，可取两 个值，1/2，即具有相同量子数， 的能级有两个，它们之间的差别很小，这就是 产生光谱线精细结构双线结构的原因。,相应的零级近似波函数为:,如钠原子3P3S的精细（双线）结构：,简单Zeeman效应,考虑氢原子或类氢离子在均匀外磁场中的情形。 由于电子轨道磁矩和自旋磁矩受到外磁场的作用，电子有由磁场引起的附加能量。此外，电子的自旋和轨道运动之间也有相互作用，但在外场较强时，此相互作用引起的附加能量与前面由外场引起的附加能量相比

8、小得多，可以略去。,取外场B的方向为z轴，则磁场引起 的附加能量为：,于是，体系的定态Schrdinger方程为：,此方程左边有自旋算符，但无自旋轨道相互 作用，所以,当外场不存在时，上面方程的解为,在氢原子的情况下，V(r)是库仑势，,所属的能级En仅与总量子数n有关；,在碱金属原子的情况下，核外电子对核的 库仑场有屏蔽作用和电子的轨道贯穿，这时，,所属的能级不仅与n有关，还与角量子,数l有关：,仍是方程（6.32）的解。,当有外场时，由于,是,和,的本征函数，所以,记有外场时的能级为,可得到,可见，由于外磁场的存在，能量与自旋有关。能级与ml有关，原来由于ml不同而能量相同的简并现象被外磁

9、场消除。,当原子处于s态时，l0,ml0，,因而原来的能级分裂为两个，这正是 Stern-Gerlach实验中观察到的现象。,下面以2p1s跃迁为例，讨论光谱结构,复杂Zeeman效应,如果外场很弱，电子自旋与轨道相互作用不 能略去，则能级的分裂更为复杂，分裂的谱线 条数也可能不止三条，这就是复杂Zeeman效应。,此时,其中,（6.36）,体系Hamilton中含有,两项，,除了能量E是守恒量外，,但,均是守恒量，,故j不是好量子数，此时的好量子数,为 nlsmj,本征函数取为,，据此可以算出式,（6.36）前两项的相应的能量值为（与相同）,为了计算式（6.36）的第三项, 利用式（6.22

10、），注意到 j1=l,有：,j=l+1/2时：,j=l1/2时,可求得：,从而,由于外磁场很弱，自旋轨道相 互作用引起的能级分裂远大于电子轨 道磁矩和自旋磁矩受到外磁场的作用所引起的 能级分裂,如钠原子3P3S的复杂Zeeman效应：,l=0,j=1/2,m=1/2,能级一分为二；, l=1,j=l-1/2=1/2,m=1/2,能级一分为二；,l=1, j=l+1/2=3/2, m=3/2,1/2，能级一 分为四。,6.4 全同粒子的特征和波函数 Pauli原理,1全同粒子的特征,全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质 完全相同的微观粒子。,全同性原理：在全同粒子所组成的体系中， 两全同粒子相互

11、交换不引起物理状态的改 变。,设有一由N个粒子组成的体系，以qi表示第i个粒子的坐标和自旋， qi =(ri,si),V(qi,t)表示第i个粒子在外场中的能量，W（qi,qj）表示第i个粒子和第j个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton算符为：,可以看出，将两个粒子（例如第i个 和第j个）相互调换后，体系的Hamilton 算符保持不变：,体系的Schrodinger方程为：,在方程两边，将qi和qj相互调换，得到：,这表示，如果,是体系的Schrdinger方程的解，则这波函数中将 第i个粒子和第j个粒子互换后得出的新函数,也是这个方程的解。,根据全同性原理，,和,和,描述的是同

12、一个状,态，因而它们之间只相差一常数因子：,再将qi和qj互换，有,由此得到，,当,时，,当,时，,全同粒子体系的波函数的这种 对称性不随时间改变。,结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（反对称）的态，则它将永远处于对称（反对称）的态上。,实验证明：,自旋为,的粒子（如电子、质子、中子,等）和,的奇数倍的粒子所组成的全同粒子,体系的波函数是反对称的，这类粒子服从fermidirac统计，因而称之为fermi子；,自旋为0的粒子（如处于基态的氦原子、,粒子）、自旋为,的粒子（如光子）和其它,自旋为,的整数倍的粒子所组成的全同粒

13、子体,系的波函数是对称的，这类粒子服从Bose- Einstein统计，因而称之为Bose子。,2全同粒子体系的波函数 Pauli原理,先讨论两个全同粒子组成的体系。,不考虑相互作用时，两个全同粒子组成 的体系的Hamilton算符为：,相应的Schrodinger方程为：,是单粒子的Hamilton算符，设其第i个本征值,为,，相应的本征函数为,，有：,当第一个粒子处于i态，第二个粒子 处于j态时，体系的波函数为：,此时体系的能量为：,如果第一个粒子处于j态，第二个粒子处于 i态时，体系的波函数为：,此时体系的能量仍为：,表明体系的能量本征值E是简并的。由于后一波函数可由前一波函数交换q1,

14、q2得出，故 称之为交换简并。,（6.37）,（6.38）,如果两粒子所处的状态相同，即i=j，则波函数（6.37）和波函数（6.38）是同一个对称波函数；,如果两粒子所处的状态不同，则波函数既不是对称的，又不是反对称的，因而不能满足全同粒子体系波函数的条件。但可由这两函数的和或差构成对称波函数,或反对称波函数,显然，,和,都是,的本征函数，,并且都属于本征值,Pauli原理：两个Fermi子组成的体系的波函数,取,的形式，若i=j，则,Fermi子不能处于同一状态。,。因此，体系中两,设,是归一化的，但上面的,和,都不是,归一化的，,因而，归一化的波函数可取为：,上述结论可推广到N个全同粒子

15、组成 的体系，归一化的波函数可取为：,如果N个单粒子态中有两个或两个以上的,单粒子态相同，则,。这表示不能有两个,或两个以上的费密子处于同一状态Pauli 不相容原理。,在不考虑粒子自旋轨道相互作 用的情况下，体系的波函数可以写成坐标 函数与自旋函数之积。即有：,如果粒子是fermi子，则,这条件可由下面两种方式实现：,是反对称的，,是对称的，,是反对称的；,是反对称的，,是对称的。,如果粒子是Bose子，则,是对称的，这条件,可由下面两种方式实现：,是对称的，,也是对称的；,是反对称的，,也是反对称的。,6.5 两个电子的自旋函数 氦原子,讨论两个电子的自旋函数，这在研究含有 两个电子的体系

16、，如氦原子、氢分子时要用到。,在体系Hamilton算符不含电子自旋相互作 用时，两电子的自旋函数是每个电子的自旋函 数之积：,可以构成如下对称及反对称波函数：,体系的总自旋算符及其z分量：,利用单粒子自旋算符的分量对单 粒子自旋波函数的作用：,可以求出两电子系统总自旋算符的平方和z分量对两电子系统波函数的作用：,讨论：,应用举例：氦原子,氦原子的核带电2e，核外有两个电子，相应的Hamilton为：,其定态波函数可写为：,其中空间波函数,满足：,下面用微扰法求氦原子的能级：,算符,是Z2的两个类氢离子的Hamilton,算符之和，其本征值是两个类氢离子中电子能 量之和，本征函数是两个类氢离子波函数之积。,以,和,表示类氢离子的能级和波函数，,有：,则,的本征函数和本征值为：,（nm）,（nm）,由上面的零级近似波函数可以求出能量的一 级修正。,基态的一级修正：,恰好是密度为,分布在与原点距离为r1的P点所产生的静电势。,的球对称电荷,以原点为中心把这个电荷分布分成许多同心球壳，r2处球壳厚度为dr2。 如果P点在球壳外，则球壳在P点所产生的势与球壳的电荷集中在中心时