高中数学教案(带答案)——1.1集合与常用逻辑用语

1、第一章 集合与常用逻辑用语本章知识结构图互逆互为逆否互逆互否互否等价关系关系原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若p,则q逆否命题：若,则集合集合元素的特征确定性、互异性、无序性集合的分类无限集有限集空集集合间的基本关系子集真子集相等集合间的基本运算交集AB并集ABVenn图、数轴充要条件充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件简易逻辑命题全称命题与存在性命题全称量词：任意；存在量词：存在复合命题且：pq或：pq非：p一假则假，两真为真一真便真，两假为假补集第一节 集 合考纲解读1.集合的含义与表示了解集合的含义、元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言和集合

2、语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2.集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义能识别给定集合的子集；在具体的情境中，了解全集与空集的含义3.集合的基本运算理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算命题趋势探究有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训

3、练预测2020年以后的高考，将继续体现本章知识的工具性作用，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现北京、重庆等地也可能以集合为基础，综合其他知识在最后一题的位置出现考查学生的综合推理能力（2）热点是集合间的基本运算、数轴法的应用和体现集合的语言工具作用知识点精讲一、集合的有关概念1集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象2集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素（2）互异性：集合中任何两个元素都

4、是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关如3集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法4常用数集的表示R一实数集 Q一有理数集 Z一整数集 N一自然数集或一正整数集 C一复数集二、集合间的关系1元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种空集：不含有任何元素的集合，记作2集合与集合之间的关系（1）包含关系子集：如果对任意，则集合是集合的子集，记为或，显然规定：（2）相等关系对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作（3）真子集关系对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是

5、集合的真子集，记作或空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表所示表交集AB并集AB补集AI1交集由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即2并集由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即3补集已知全集，集合，由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合相对于全集的补集，记作，即四、集合运算中常用的结论1集合中的逻辑关系（1）交集的运算性质， ，（2）并集的运算性质， ，（3）补集的运算性质， ，补充性质：（4）结合律与分配律结合律： 分配律： （5）反演律（德摩根定律） 即“交的补补

6、的并”，“并的补补的交”2由个元素组成的集合的子集个数的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个3容斥原理题型归纳及思路提示题型1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性例1.1 设，集合，则（ ）A B C D解析：由题意知，又，故，得，则集合，可得，故选C。变式1 （2012新课标理1）已知集合，则中所含元素的个数为（ ）A B C D变式2 （2013山东理2）已知集合中元素的个数为（ ）A B C D变式3 若集合，则 ， 题型2 集合间的基本关系思路提示（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系

7、；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析一、集合关系中的判断问题例1.2 若，则，之间的关系为（ ）A B C D解析：解法一：集合中元素，故集合，而集合中元素，故解法二：列举，因此，故选C评注：解法一是数学中“求同比异”的思想，值得学习；解法二是列举法，易于入手，也是做选择题的常用方法变式1 设集合，则A B C D例1.3 设.（1）若，试判断集合与集合的关系；（2）若，求实数组成的集合.分析：（1）先求集合，再由求集合，确

8、定与的关系.（2）解方程，建立的关系式求，从而确定集合.解析：（1）由得或，所以.若，得，即，所以，故.（2）因为，又.当时，则方程无解，则；当时，则，由，得，所以或，即或故集合.评注：（1）研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集.（2）含参数的一元一次方程解的确定：当时，方程有唯一实数解；当时，方程有无数多个解，可为为任意实数；当且时，方程无解.变式1 已知集合，集合，若，求实数的取值范围.二、已知集合间的关系，求参数的取值范围例1.4 （2012大纲全国理2）已知集合，则（ ）A或 B或 C或 D或解析：由，得，故或且，所以或.故选B.变式1 已知集合，若，则实数的取

9、值范围是 .变式2 已知集合，且，则实数的取值范围是 .变式3 已知集合，若，则的取值范围是（ ）A B C D三、集合关系中的子集个数问题例1.5 已知集合，则集合的子集个数为 .分析：本题应首先确定集合中元素的个数，再求其子集的个数.解析：集合，共8个元素，则集合的子集的个数为.例1.6 已知集合，满足条件的集合的个数为（ ）A B C D解析：由且，得集合是集合与集合的任一子集的并集，即求集合的子集的个数为，故选D.变式1 已知集合满足，求集合的个数.题型3 集合的运算思路分析凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数

10、形结合是解集合运算问题的常用思想.一、集合元素属性的理解例1.7 已知集合，则（ ）A B C D分析：在进行集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的属性，判断、是数集还是点集，是数集要化简集合，是点集要解方程组.在本题中，集合代表元素是因变量，故是函数的值域（数集）；集合的代表元素是自变量，故是函数的定义域（数集）.解析：，即，所以，故选C.评注：几量遇到集合的运算（交、并、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合是点集，表示函数图像上所有点的集合.再如集合，可以理解为单位圆上点的纵坐标的取值集合，表示的是数集；表示的是曲线，即抛的

11、线上所有点构成的集合，它表示的是点集，故有.另如，则有，而易错为.变式1 集合，则（ ）.A B C D变式2 已知集合，则集合 .变式3 设全集，集合，那么（ ）A B C D变式4 已知集合，若，求实数的取值范围.二、数轴在集合运算中的应用例1.8 设集合，则的取值范围是（ ）A B C D分析：借助数轴表示集合和集合，根据集合的关系，求解参数的取值范围.解析：因为，集合，在数轴上的表示如图1-1所示.因为，所以，可得.故选A. 图11变式1 （2012天津理11）已知集合，集合，且，则 ， .变式2 已知全集，集合，那么集合（ ）. A. B. C. D.变式3 已知集合，则集合（ ）.

12、A B C D三、韦恩图在集合运算中的应用例1.9 设为全集，是两个非空集合，定义与的差集，则（ ）.A B C D分析：本题可利用题中所给定义表示从集合中去掉属于集合的元素解题.解析：当时，根据题意利用韦恩图解题，如图1-2所示，.当时，.综上，.故选B.评注：凡是遇到抽象的集合运算题尝试利用韦恩图求解.本题也可用举例法求解，比如，根据定义得出所求集合为空集.故选B.变式1 设全集，则（ ）.A B C D变式2 某班级共有30人，其中15人喜爱篮球，8人喜爱足球，两项都不喜爱的有8人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有 人例1.10 如图1-3所示，是全集，是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（

13、）A B C D分析：本题考查对利用韦恩图表述集合关系的理解.解析：图1-3中的阴影部分为与的公共部分，即中去掉属于的那部分元素后剩余元素组成的集合，即，故选B.对于韦恩图表述的集合应做如下理解：阴影部分涉及到谁就交谁，涉及不到谁就交其补集如图1-4所示分别表示：（a）；（b）；(c) 或.变式1 已知为集合的非空子集，且不相等，若，则（ ）A B C D四、以集合为载体的创新题例1.11 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么称是的一个孤立元，给定，由的3个元素组成的所有集合中，不含孤立元的集合共有 个.解析：由孤立元的定义，若不是的孤立元，应满足或，即集合中元素连续，故满足的3个元素

14、构成的不含孤立元的集合分别为、和，共6个.评注：由的3元素组成的集合中，含有一个孤立元的集合有30个，含有3个孤立元的集合有20个.变式1 设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的，若是的两个不相交的非空子集，且，有，有，则下列结论恒成立的是（ ）A.中至少有一个关于乘法是封闭 B.中至多有一个关于乘法是封闭C.中有且只有一个关于乘法是封闭 D.中每一个关于乘法是封闭变式2 已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和.若对于任意的，总有，则称集合具有性质.（1）检验集合与是否具有性质，并对具有性质的集合，写出相应的集合和；（2）对任

15、何具有性质的集合，证明：.变式3 （2012江苏23）变式3设集合，记为同时满足下列条件的集合的个数.； 若，则； 若，则.(1)求；(2)求的解析式(用表示).最有效训练题1（限时45分钟）1设集合，则等于（ ）A B C D2若，则（ ）A B C D3设全集.集合，那么如图1-5所示的阴影部分表示的集合是（ ）A B C DA BU图 154已知全集，集合，并且，那么的取值范围是（ ）A B C D5设集合.若，则实数的取值范围是（ ）A B C D6设全集,，那么的充要条件是（ ）A且 B且 C且 D且7设集合，则实数 .8已知集合满足条件：当时，总有（且）.已知，则集合中所有元素的积

16、等于 .9已知集合满足，且.若，则的取值范围是 .10已知集合.若，则实数的取值范围是 .11已知集合，若对任意的，求证：.12已知集合，对于中的一个子集，若存在不大于的正整数数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质.（1）当时，试判断集合和是否具有性质？请说明理由.（2）若集合具有性质，那么集合是否一定具有性质？请说明理由.参考答案第一章 集合与常用逻辑用语例1.1变式1解析：利用集合的概念及其表示求解，注意元素的特性。因为B=x,yxA,yA,x-yA,A=1,2,3,4,5 ,所以x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,即B=2,1,3,

17、1,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,(5,4),B中所含元素的个数为10.故选D例1.1变式2解析：逐个列举可得，x=0,y=0,1,2时，x-y=0,-1,-2;x=1,y=0,1,2时，x-y=1,0,-1;x=2,y=0,1,2时，x-y=2,1,0根据集合中元素的互异性可知集合B中元素为-2,-1,0,1,2,共5个，故选C例1.1变式3解析：依题意xy0得x0,故lgxy=0,即xy=1，因此x,1,0=0,x,y若x=x,则x0,又x0,故x0,y=1因此x=y=1与题意不符；若x=y,则x=1y=1或x=-1y=-1 ,显然x=1且y=1与题意不符,故x=

18、y=-1，此时满足题意。例1.2变式1解析 集合M中的元素x=k2+14=2k+14 ,kZ，分子为奇数；集合N中的元素x=k+24,kZ，分子为整数，则M N，故选B.例1.3变式1解析 由A=x|x2-3x-100，得A=x|-2x5，若BA则 （1）当B=，即P+12P-1时，解得P2 （2）当B时，如图1-9所示，由BA，得-2P+12P-15，得2P3综上所述，实数P的取值范围是(-,3评注：由BA，勿忘B=（空集是任何集合的子集）例1.4变式1解析 由AB,如图1-10所示得a6，故实数a的取值范围是6,+)评注 端点值的判断通常是初学者的难题，我们可用假设法帮助判断，即假设参数取

19、端点后，与已知吻合，假设成立；若与已知不吻合，则假设不成立。例1.4变式2解析 如图1-11所示，A为(-,1，B为a,+)，要使AB=R，只需a1，故实数a的取值范围是(-,1例1.4变式3解析 由PM=P，得MP，则a-1,1，故选C.例1.6变式1解析 由1,2Mx|x10,xN知，集合M是集合3,4,5,6,7,8,9,10的任一非空子集与集合1,2的并集，所以集合M的个数为28-1=255评注求有限集的子集个数问题，有以下结论：结论1 ：含有n个元素的集合A=a1,a2,an的子集个数为2n,真子集个数为2n-1，非空子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2 (nN)结论2设m,

20、nN , mn ,B=a1,a2,an，则有，满足a1,a2,amAa1,a2,an的集合A的个数是2n-m满足a1,a2,amAa1,a2,an的集合A的个数是2n-m-1满足a1,a2,amAa1,a2,an的集合A的个数是2n-m-1满足a1,a2,amAa1,a2,an的集合A的个数是2n-m-2例1.7变式1分析 本题考查集合的概念与运算。解析 先化简再求交集，由已知得P=0,1,2,M=x|-3x3，故PM=0,1,2x-3x3=0,1,2，故选B评注：本题若忽视集合P中元素的属性，易误将集合P等同于集合x|0x3例1.7变式2解析 x+3+|x-4|9，利用零点分段法解绝对值不等

21、式。当x-3时，-x-3-x-49即-4x4时,x+3+x-49,即4x5,综上所述,A=x|-4x5又因为y=4x+1x-6, x(0,+)，由基本不等式得y24x1x-6=-2,当x=12时取=，所以B=y|y-2，故AB=x|-2x5例1.7变式3解析 解法一：M表示直线y=x+1上除去点（2,3）的部分，CIM表示点（2,3）和除去直线y=x+1的部分，CIN表示直线y=x+1上的点集，所以(CIM)(CIN)表示的点集中仅有点（2,3），即（2,3）。解法二 ：CIMCIN=CIMN=2，3，故选B例1.7变式4分析本题的几何背景是：抛物线y=x2+mx+2与线段y=x+1,(0x2

22、)有公共点，求实数m的取值范围。解析 解法一 ：问题等价于方程组y=x2+mx+2y=x+1 在0,2上有解，即x2+m-1x+1=0在0,2上有解，令fx=x2+m-1x+1，则由f0=1知，抛物线y=f(x)过点(0,1),所以抛物线y=f(x)在0,2上与x轴有交点等价于f2=22+2m-1+10 或4-m-1240 01-m22 f2=22+2m-1+10 由得m-32，由得 -32m-1所以实数m的取值范围为(-,-1解法二：同解法一，问题等价于方程x2+m-1x+1=0在0,2上有解，故可以转化为函数值域问题。x2+m-1x+1=0等价转化为1-mx=x2+1，当x=0时，方程不成

23、立；当x0时，方程转化为1-m=x2+1x；当x(0,2时，函数fx=x2+1x=x+1x2,+)，即当1-m2,+)时原方程有解，由1-m2m-1，即所求实数的取值范围为(-,-1.例1.8变式1解析 先求出集合A，再根据集合的交集运算求解。 因为A=x-5x1,B=xx-mx-20,，当m2时，AB=不符合题意，所以m2，即B=x|mx2，又AB=x|-1xn，所以m=-1,n=1.例1.8变式2解析 CUB=x-1x4,ACUB=x|-1x3,故选D例1.8变式3解析 解法一：M=x-3x1,N=x|x-3,所以MN=x|x1,得xx1=CR(MN).解法二：M=x-3x-3,CRMCR

24、N=xx1,根据反演律得CRMCRN=CR(MN). 故选D例1.9变式1解析 由MCUN=2,4可得集合N中不含元素2,4，由排除法可知选项B正确，故选B.例1.9变式2分析 本题中的集合关系比较抽象，可以考虑使用韦恩图求解。解析作出韦恩图，如图1-12所示，设所求为x人，则喜爱篮球又喜爱足球的有15-x人，喜爱足球不喜爱篮球的有8-15-x=x-7人，故有x+15-x+x-7+8=30,即x=14.例1.10变式1解析 如图1-13所示，因为NCIM=，所以NM，所以MN=M，故选A 例1.11变式1解析 由于TV=Z，故整数1一定在T,V两个集合中的一个中，不妨设1T，则a,bT，由于1

25、,a,bT，则ab1T，即abT，从而T对乘法封闭；另一方面，当T=非负整数，V=负整数时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对，当T=奇数，V=偶数时，T,V显然关于乘法都是封闭的，故B,C不对，故选A例1.11变式2解析 （1）因为00,1,2,3,-00,1,2,3，故集合0,1,2,3不具有性质P，集合-1,2,3具有性质P，其相应的集合S和T是S=-1,3,3,-1, T=2,-1,2,3.（2）首先，由A中元素构成的有序数对(ai ,aj) 共有k2个，因为0A，所以ai,aiT i=1,2,k,又因为aA时，-aA ，所以当ai,ajT时，aj,aiT (i,j=1,2,k

26、,ij)，从而集合T中元素的个数最多为Ck2=k(k-1)2,即nk(k-1)2 .例1.11变式3解析（1）当n=4时，Pn=1,2,3,4，满足条件的集合A有1,4,1,3,4,2,2,3.。所以f4=4 .（2）解法一：任取偶数xPn，则必有奇数pPn，使得x=p22 ,qN。若pA，则2pA,4pA,8pA,，即xAq为偶数，xAq为奇数；若pA，则2pA,4pA,8pA，即xAq为奇数，xAq为偶数。所以，任意偶数xPn ,x=p2q,x是否属于集合A，完全由奇数p(pPn) 确定。设集合Qn是由集合Pn中所有奇数组成的集合，则f(n)等于集合Qn的子集个数，即fn=2n+12 ,n

27、为奇数2n2，n为偶数 。解法二：易得f1=2,f2=2 ,当n2 且n为奇数时，集合Pn-1中满足条件的集合A有f(n-1)个,对于集合Pn，考虑元素n，因为n为奇数，所以nA或nA均可，故fn=2f(n-1).即f3=2f1,f5=2f3,fn=2f(n-1)，叠乘得fn=2n-12f1=2n+12 .当n2且n为偶数时，集合Pn-1中满足条件的集合A有f(n-1)个。对于集合Pn，考虑元素n，因为n为偶数，所以nAn2A,nAn2A，即n是否属于集合A,完全由n2确定。而集合Pn-1中，对于每一个满足条件的集合A，元素n2是否属于集合A均是确定的，故fn=fn-1,又n-1为奇数，所以f

28、n=fn-1=2n-1+12=2n2综上，fn=2n+12 ,n为奇数2n2 ,n为偶数 .评注：数列的核心是递推，先从特殊的几个数（n=1,2,3，.）入手，关键在于发现f(n)与f(n-1)的关系，从而发现一般规律，再给予证明。递推法是处理数列问题（乃至大学学习计算机等方面）的“杀手锏”，请读者深思体会，并能灵活运用。最有效训练题11.D 解析 因为M=xx2+x-60=x-3x2,N=x|1x3，所以MN=x|1x2，故选D.2.B 解析 因为A=xy=4-x2=x-2x2 ,B=yy=x2+1=y|y1 ，所以AB=1,2，故选B3.A 解析 阴影部分所表示的集合为CU(AB)，而AB=1，2，4，5，7，8，故CUAB=3,6，故选A.4.C 解析 因为M=xx2=x-2x2,CIP=xxa,MCIP