[研究生入学考试]D4习题课.ppt

1、2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 1,习题课,一、 求不定积分的基本方法,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第四章,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 2,一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则,2. 换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换: ),求不定积分的方法 .,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 3,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 4,（7）,（8）,（9）,（10）,（6）,（11）,2020年8月21日8时

2、20分,理学院数学系 郭彦 5,3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般经验: 按“反, 对, 幂,三 ,指” 的顺序,排前者取为 u ,排后者取为,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 6,例1.,解:,原式,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 7,例2,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 8,例3.,解:,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 9,例4.,解法1 :,原式,分部积分,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 10,例4.,解法2 :,原式,分部积分,2020年8月2

3、1日8时20分,理学院数学系 郭彦 11,例5,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 12,例6.,解:,设,则,连续 ,得,利用,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 13,例7,试求,解：,被积函数中含有绝对值符号，,故分段积分,其中 为任意常数,由原函数的定义 , 可知 连续 , 得,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 14,例8. 设,解:,令,求积分,即,而,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 15,解,例9,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 16,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 17,

4、2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 18,例11.,设,解:,为,的原函数,且,求,由题设,则,故,即, 因此,故,又,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 19,二、几种特殊类型的积分,1. 一般积分方法,有理函数,分解,多项式及 部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 20,2. 需要注意的问题,(1) 一般方法不一定是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合,使用各种基本积分法, 简便计算 .,因此不一,定都能积出.,

5、例如 ,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 21,例1. 求,解: 令,则,原式,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 22,例2.,求不定积分,解:,原式,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 23,例3,解法1,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 24,解法2,令,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 25,解：,令,例4,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 26,例5. 求,解:,原式,分析:,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 27,例6：,设,且,求,解：,2020年8月21日8

6、时20分,理学院数学系 郭彦 28,例7 已知,求,解,解得,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 29,提示：,例8,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 30,例9：求,提示: 原式,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 31,例10 求,提示: 原式,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 32,作业,P221 1, 4, 6 , 9 ,14, 17 , 21 ,24, 26 , 30 , 38 , 39, 40,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 33,例12.,求,解：,因为,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 34,例6. 求,解: 取,说明: 此法特别适用于,如下类型的积分:,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 35,例8. 求,解法1. 查积分表,令,则,原式,P349 公式 37,2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 36,解法2. 令,则,原式,( P348 公式 21 ),2020年8月21日8时20分,理学院数学系 郭彦 37,例7.