第5章 辐射和原子系统的相互作用.ppt

1、第五章 辐射和原子系统的相互作用,5.0 引言 在光电子学领域，特别是光通信，均匀介质的折射率是关键的物理参数，决定了光束的透射特性。在上一章我们以介电常数的形式定义了介质中的折射率。在本章中将研究折射率、色散、吸收的物理本质，特别是研究电磁波在原子介质（如原子蒸汽）,中会发生什么现象。原子系统的量子态之间的跃迁包括光子的吸收或发射。互作用的结果导致原子系统的行为像振荡的电偶极子。这些单个的偶极子的累加导致介质宏观上发生电场极化，这是极化率、介电常数和折射率的物理本质。同时也将特别关注与原子互作用所引起的辐射的增强（或衰减），以及由于互作用光的传输速率的改变。本章中讨论的概念将用于后面处理激光

2、振荡的问题。首先讨论原,子跃迁和电磁辐射的吸收和发射之间的关联性，接着讨论经典电子模型和导出原子极化率；由此可得出折射率及其与原子系统的频率（色散）的依赖关系，再讨论原子体系的受激跃迁、吸收和放大，最后研究光放大器的增益饱和。,5.1 原子跃迁和电磁波 量子力学理论的基本结论之一是通过测量，每一个物理体系只能处在预先确定的一系列能量状态之上。这些能量状态被称为体系的本征态。每一个本征态只对应一个能量，它相当于体系占据该态时的总能量值。在量子力学基础教科书中有关于一些较简单体系如自由电子、氢原子和简谐振子的阐述，较为复杂的体系的例子有氢分子和半导体晶体。对,于每一能态，以氢原子能态m为例，都可写

3、出一个相对应的本征函数,（5.1-1）,式中,表示电子出现在,处的体积元,中处于状态m的概率，,为该状态的能量，,为普朗克常量。,量子力学的主要课题之一是确定各种物理体系的本征函数,和与其相应的能量,本书中我们先,假定这些状态和能级的存在，以及一些其他相关的结果。这些结论被试验证实，为量子力学理论提供了证明。以下将对结果进行讨论。,辐射过程和原子跃迁 一般的，在大多数原子体系中都存在很多本征态。让我们集中在其中两个能级，例如能级1和能级2上。对于氢原子，这两个能级是电子的1s和2p态。这种两能级系统可简化基本概念的介绍和讨论。图5.1画出了原子能级的示意图和可能的辐射过程。 假设原子体系初态处

4、于基态（图5.1中的 ），当入射一个光子，光子可能被吸收，如果光子的能,量满足如下条件,（5.1-2）,并且满足特定的选择规则（如角动量守恒）。那么入射光子被吸收，原子被激发到较高能级（具有能量 ）。如果在时刻t=0原子处于能态2，那么在单位时间内，该原子存在一个有限的概率跃迁到能态1，同时放出一个能量为 的光子。这个过程的发生不需要有外来的辐射电场的诱导，称为自发辐射。如果原子的初态处在态2同时有光子入射，这时除了自发辐射还发生由于存在光子诱导而,产生的辐射。这种辐射称为受激辐射，在很多情形下很重要，主要包括在激光器和光放大器中。 外加的电磁辐射与原子体系的互作用可以用量子力学或简单的经典电

5、子模型来处理。在辐射过程中，原子体系的行为像一个振荡的电偶极子。在下一节中，我们将讨论由于外加电磁场导致的原子体系的电偶极距。,5.2 原子极化和介电常数 考虑穿过透明的各向同性的介质的一束光的透射问题。在光束的电磁场的作用下，在原子内基本的荷电粒子（主要是电子）从各自的平衡位置发生位移。在大多数电介质中，这种电荷的相对分离直接正比于光束的电磁场与之同方向。由此产生的电偶极距 可写为,（5.2-1）,式中，常数 就是熟知的原子极化率（或称为分子极化率）， 是电场。一般的，分子极化率是张量。对于球对称的原子体系，极化率简为标量。这个量可用简单的经典电子模型推导出来（见下一节）。介质的介电常数取决

6、于原子内的排列方式。考虑气体介质这种较为简单的情形。令 是单位体积中的原子数，则极化强度可近似写为,（5.2-2）,式中， 是介质的电极化率。在式（5.2-2）中，忽略了局域场和宏观场的区别。这对于气体介质 是合理的。按照式（1.1-5）和式（5.2-2），介质的介电常数式 可表示为 假如介质是非磁化的，按照式（1.4-15）介质的折射率可写为 值得注意的是折射率和介电常数都与光的频率有关。,（5.2-3）,（5.2-4）,对于固体和液体，密度 大约比气体高出1000倍。因此电极化率会大很多。在这种情况下，单个原子（或分子）的电场 不是介质中的平均电场。单个原子（或分子）的电场被称为局域场。为

7、了分析局域场，我们考虑一个均匀的介质，在整个介质中（在宏观长度尺度上）电场 是均匀的。考虑构成介质得其中的一个原子（或分子），围绕这个特殊的原子画一个半径为 的球面。这可代表影响原子的微观和宏观的边界。将球面外的电解质看做连续的介质，将球面内的看做极化原子的集合。,因为是均匀极化，表面电荷分布在球面的内表面，很容易证明由于表面电荷所对应的场强为 因此单个分子可观察到的净的电场（局域场）是 这个场强比介质中平均场强要大。上面的分析表示了由于介质中的原子（或分子）与另一个原子（或分子）的长程互作用产生了局域场。 用式（5.2-2）中的电场代入式（5.2-6），可得,（5.2-5）,（5.2-6）,

8、（5.2-7）,消去 ，可得 这就是介质磁化率常数，通过计算局域电场效应而得出。按照式（5.2-3），通常上式可表示为 这个公式被称为克劳修斯-莫索蒂关系式。注意到电解质的磁化率简为 ，在稀薄的系统中 。,（5.2-8）,（5.2-9）,5.3 经典电子模型 为了解决原子的极化问题，我们需要解在入射光波的电场作用下所引入的原子的电偶极距。既然原子相对光波要小很多，就可以假设对每一个原子电场是均匀的。令原子中光波所对应的电场为,（5.3-1）,式中， 是常数振幅， 是频率。原子体系中的每一个荷电粒子都受到这个电场的作用从而受到或向上或向下（或向后或向前）的随时间变化的电场力的作用。因为荷电粒子与

9、电子的质量的很大差异，电,子对电偶极距的贡献是主要的。应用经典物理，我们进一步假设电子对原子是“快速”弹性的，遵守如下运动方程,(5.3-2),式中， 是电子相对原子的位置， 是电子的质量， 是电子的电荷。参数 是电子运动的共振频率， 是阻尼系数。,对于如图5.1所示的两能级系统， 。对于谐振形式的场，上述方程的稳态解如下式 引入的电偶极距可表示为 利用式（5.2-2），可得到原子极化率的表达式如下公式所示 如果单位体积中有 个原子，按照式（5.3-5）和（5.2-4）介质的折射率可表示为,（5.3-3）,（5.3-4）,（5.3-5）,（5.3-6）,式中，磁化率 通常以实部和虚部形式 注意

10、到当频率 接近共振频率 时磁化率 取最大值。共振时， ，磁化率 为纯虚数。如果式（5.3-6）中的第二项相对1很小，折射率可近似写为 在接近共振（ ）的频率附近，上述公式可写为,（5.3-7）,（5.3-8）,（5.3-9）,式（5.3-6）不仅以原子的基本参量的形式表示了折射率，而且显示出折射率随光的频率 的变化。尽管如此，要由此计算出折射率还不太现实，因此材料的参量 和 同是变化的。,（5.3-10）,（5.3-11）,进一步，共振频率 的计算需要用量子力学的方法。所以我们对所有的材料不可能得到折射率的一个很简单的公式。尽管如此，式（5.3-9）和（5.3-11）对许多实际的问题非常有用。

11、首先，考虑气体介质，如空气，氦气和氢气。电子振荡对应的共振频率在紫外波段，这些频率远高于可见光；也就是 远大于可见光的 。作第一个近似，我们在分母上相对 忽略 和 。这样我们发现折射率几乎为常数。如果我们取标准温度零度和压强（760mmHg）时气体的密度 ，吸收边取在 ，由公式（5.3-7）得,出对空气 。对大多数透明物质如玻璃和水， 值比空气的大三个量级；因此磁化率要大很多。当我们研究激光媒质中的增益或损耗时公式（5.3-7）和公式（5.3-10）也十分有用。当描述气体激光器（如氦-氖，氩离子激光器）激光跃迁的增益谱时公式（5.3-6）公式（5.3-11）也十分有用。 利用量子力学的含有微扰

12、可得出类似的表达式。假设原子体系初态处于低能级（图5.1a中的态1），原子的极化率可表示为 式中， 是跃迁的线宽， 是振子强度可表示为,（5.3-12）,式中， 和 是本征态的波函数，假设电场偏振沿 方向。振荡强度是无量纲的量。这个量表征了原子体系中不同跃迁的相对强度。可以证明有 以上是对所有态累加，初态（态1）除外。公式（5.3-14）被称为求和法则。注意到经典电子模型在所讨论的两能级时原子中占主导地位的能级时可得到较为准确的结果。,（5.3-13）,（5.3-14）,5.4 色散和复折射率 如果仔细验看折射率的表达式（5.3-11），我们会注意到当增加 接近 ，折射率也增加。所以 缓慢地随

13、 增加。这对几乎所有的透明介质都成立。因此蓝光的折射率要比红光的折射率要大。这个折射率与频率的关联现象称为色散，式（5.3-7）称为色散方程。后面我们会看到色散会影响光信号在光通信系统中的传播。,上节中，在公式（5.3-16）的分母上忽略了虚数项 。这一项对应电子运动的阻尼 并产生光吸收现象。由于阻尼项， ，按照公式（5.3-7）折射率是复数。折射率的虚部仅当 接近 时才有意义。将式（5.3-8）用实部和虚部的形式表示，复折射率可写为 这里我们用 表示复折射率， 表示折射率的虚部。从现在起，用 表示折射率的实部。常数 称为消光系数，因为它代表了电磁波的吸收（或衰减）。为验看 对电磁波辐射的作用

14、。考虑复折射率为 的介质中单色平面波的传输。按照1.4节中的讨论，这样的波可表示为,（5.4-1）,（5.4-2）,式中， 表示介质中的波数，可表示为 利用复折射率表达式（5.4-1），波数 也是复数，表示为 式中， 现在是复折射率的实部， 是消光系数。用式（5.4-4）中的 代入式（5.4-2），光波的电场则表示为 注意到复折射率的虚部导致电磁辐射沿传播方向衰减。,（5.4-3）,（5.4-4）,（5.4-5）,衰减系数通常定义为 式中， 是电磁辐射的强度，除了一个常数因子外，正比于 。按照式（5.4-6），不断衰减的光强可写为 式中， 是 =0 侧的光强。式（5.4-6）定义的衰减系数 与

15、消光系数 的关系式为 按照式（5.4-7）和（5.4-5），衰减系数正比于复折射率的虚部。按照式（5.4-8），即使很小的 也导致可见光很强的衰减。例如，当 和 ，由式（5.4-8）计算得衰减系数 。,（5.4-6）,（5.4-7）,（5.4-8）,复折射率的实部 和虚部 都是 的函数。特别当 接近 ，这种与 的依赖关系很有意义。为研究频率位于共振附近的色散，设公式（5.4-1）中 等价地，磁化率可写为 磁化率通常以频率 的函数的形式写为,（5.4-9）,（5.4-10a）,（5.4-10b）,式中， 是以赫兹为单位的FWHM带宽。 图5.2表示了归一化的 -1 和 与 的函数关系。注意消光系

16、数 在 处最大并随 的增大呈 的函数关系减小，事实上，式（5.4-9）中的 呈洛伦兹线性。另一方面，折射率的实部接近于1，随 的增大呈 的函数关系减小。这就解释了当频率位于 可忽略的范围，对于大多数透明材料存在色散的事实。,按照式（5.4-9），对低频 折射率大于1并且当频率接近共振频率 时，折射率随 增加而增加。这种增加的行为属于正常色散并发生在大多数介质中。非常接近共振频率时，函数图存在一小部分的斜率是负的。这种负的斜率通常属于反常色散。从图5.2中可以看出，反常色散总是发生在显著的吸收时。,在5.3节中讨论的经典电子模型，我们仅假设了单一的共振 ，这对应两能级系统，比实际的情况要简单。

17、事实上，对于每一个原子都存在几个共振频率。现在修改色散方程，假设不是所有的电子受到相同的约束力，但是所有电子独立振荡。令 为共振频率为 阻尼因子为 的电子的比例。将所有原子的振荡叠加，可得 比例 被称为振子强度，由式（5.3-13）定义，是无量纲的。由定义，振子强度遵循以下规则,（5.4-11）,（5.4-12）,式中， 是每个原子中的电子数。振子强度的理论估算需要原子体系的波函数的知识。为了说明振子强度的量级和遵循的规则，先从氢原子中 的跃迁（ ）估算振子强度为 0.4162，从基态到所有除 以外的态的跃迁对应的振子强度的和是0.5838。在前面的讨论中，我们假定了对于每一个共振频率都有一个

18、阻尼系数 与之对应。这些系数都是正的，电子的阻尼导致电子辐射的衰减。,在有些电子的激发态上，电磁辐射将驱动电子并激发出共振频率上的光子发射。对于这样的激发体系（或反转体系），式（5.4-11）依然有效，只要将参数 替换成 ，其中 是单位体积中的基态数而 是单位体积中的第 个激发态数。在反转体系中， 大于 ；因此激发体系的复折射率在接近共振频率 的小的频率范围内虚部为正，同时 为负。按照式（5.4-5），当 的介质中电磁辐射的传播将导致能量的放大。这样的介质称谓增益介质，用虚部为正（即 ）的复折射率描述。 图5.3表示了一些透明光学材料的折射率在 到 的范围内的色散分布。通常 的色散用波长 的形

19、式表示。,电子气（金属）的复折射率 在金属中，电子不是围绕着原子振动而是在外加的电场的作用下可以自由运动。对于这些电子没有恢复力。令 ，运动方程（5.3-2）仍然有效。因此5.3节中得到的所有结论仍然适用于金属。式（5.3-2）中令 ，得到金属的复折射率,（5.4-13）,式中， 是电子浓度。事实上，式（5.4-13）给出了复折射率的很好的近似，假定已忽略了金属和一些半导体中被深度约束的电子的贡献。阻尼常数代表了涉及动量转移的碰撞的平均概率。如果我们进一步假设 ，折射率可表示为,（5.4-14）,式中， 是等离子角频率，表示为,（5.4-15）,对于高频辐射（ ），折射率是实数，波自由传输。当

20、频率低于等离子角频率 时， 是纯虚数。因此在金属中，从表面出发（见习题5.4），电场呈指数衰减。结果上述电磁辐射入射到高电导率的金属中会在表面被发射回去。金属，如铝、铜、金、银，自由电子的浓度在 的量级。这意味着 ，所以对可见和红外光 ，按照式（5.4-14），折射率是虚数。一般的，当 有限时，折射率是复数。,5.5 线形函数均匀增宽和非均匀增宽 按照式（5.4-8）和式（5.4-9）两能级的原子系统的吸收系数可写为 式中， 是光的频率， 是原子系统的共振频率。验看上式，注意到吸收不是严格意义上的单色（即一个频率）。事实上，吸收峰在 并当 偏离 吸收迅速减小。由式（5.5-1）表达的线形称为洛

21、伦兹线形。在经典的电子模型中，吸收谱与自发辐射谱相同。所以，如果对 自发跃迁辐射进行光谱分析，则会发现辐射并非严格单色（即单一频率），而是占据一定的频带宽度。按照式（5.5-1），在 处的两能级系统的辐射发光谱的归一化线形函数可写为,（5.5-1）,上述线形正好是阻尼振荡电偶极子的傅里叶谱。在光电子中，线形函数 通常以频率 的分布函数的形式表示，它满足归一化条件 因而 表示由给定能级2到能级1的自发辐射发出一个频率在 到 + 之间的光子的概率。 从实验的角度， 可由原子系统的辐射发光谱的分析得到，或可由通过光在包含原子系统特征的样品的透射与频率 的函数关系的测量而得到。辐射和吸收可由同一线形函

22、数 描述，既可由实验证明，也可由量子力学基本理论导出。,（5.5-2）,（5.5-3）,均匀增宽和非均匀增宽 利用经典电子模型得到的结论，原子跃迁的线形函数可写为 式中， ， 是阻尼因子。洛伦兹线形函数下降到峰值的一半时的频率间隔 是线宽，可表示为 以线宽的形式表示，归一化的线形函数可写为 导致自发辐射频率展宽的可能的原因之一是激发态的寿命有限。按照式（5.3-2），电子的振荡振幅当驱动电场撤掉后会衰减。解存在驱动电场时的公式（5.3-2），可得,（5.5-4）,（5.5-5）,（5.5-6）,因此阻尼因子与自发辐射的寿命的关系为 利用公式（5.5-5），线宽可写为 这里线宽的展宽是由于较高能

23、级（ ）的有限寿命。在许多激光系统中，较低能级（ ）的寿命也是有限的。这种情形下间跃迁时，总的线宽展宽是上述两个能级对应的展宽的总和。碰撞造成进一步的展宽。在相干辐射的过程中，一个原子的辐射场展宽。,（5.5-7）,（5.5-8）,在相干辐射的过程中，一个原子的辐射场与另一个原子的弹性碰撞而引起的相位骤变有关。令 是碰撞时间，可将式（5.5-8）写为 上述增宽类型（即发射光谱的有限宽度）称为均匀增宽，其特征是，在 范围中的响应增宽是样品中每一个原子自身的特点。因此，函数 描写了任一不可区分的原子的响应。,（5.5-9）,均匀增宽多半是由于发射或吸收原子具有有限的相互作用寿命，最普通的机理有：1

24、.激发态的自发辐射寿命。2.晶体中的原子与声子的碰撞，可能引起声子能量的发射或吸收，但这种碰撞不会中止原子在吸收或发射态的寿命。然而，它会中断原子振荡和外场之间的相对相位关系，从而造成辐射展宽。3.气体中原子的压力增宽。当原子密度足够大时，原子间的频率碰撞，如前述机理一样，会造成寿命的终止和相位关系的中断，成为增宽机理的主要因素。,不过，在很多物理现象中个体原子是可区分的，每一个原子的跃迁频率 都有微小差别，而不是受激态有限寿命引起的增宽。这种增宽可由两种典型情形引起，称为“非均匀增宽”。 情形一：存在于晶体中的杂质离子其能级和跃迁频率，与临近的晶格有关。随机的应变，以及其他类型的晶体缺陷，使

25、每个晶格周围的情形都不尽相同，进而影响到跃迁频率的增宽。 情形二：气体原子（或分子）的跃迁频率 会由于原子的有限速度按下式发生多普勒频移,（5.5-10）,式中， 是运动原子沿相对于观察者方向的速度分量，为真空中的光速， 是静止时原子的频率。温度 时，处于平衡态的原子量为 的气体的麦克斯韦速度分布函数是 其中， ，为玻尔兹曼常量， 代表速度 分量在 到 + 之间，速度 和 分量分别在 到 + ， 到 + 之间的原子的百分比，换言之，可以将 看做任一给定原子的速度矢量 在速度空间中位于 处速度体积元 内的概率，所以,（5.5-11）,（5.5-12）,根据式（5.1-10），跃迁频率位于 和 +

26、 之间的概率 ，与 处于 和 之间概率相等，并且与 和 的值无关（因为如果 ，发生多普勒效应的频率将等于 ，而与 和 无关）。所以将 代入 中，然后对所有的 和 值求积分，就可求得该概率为 应用定积分公式 由式（5.1-13）得 上式称为归一化的多普勒增宽线形函数。,（5.5-13）,（5.5-14）,式（5.5-14）中 的函数关系称为高斯关系式。此时， 的宽度即是当 从峰值下降到峰值一半时的频率间隔。从式（5.1-14）可得此宽度为 式中，下标 代表多普勒效应。我们可以重新将 用 写成 图5.4是一个线形函数的例子，它是 在 晶格中作为杂质离子存在时的自发发射光谱，该光谱由许多部分重叠的跃

27、迁组成。,（5.5-15）,（5.5-16）,例： He的多谱勒谱线宽度 计算在He-Ne激光器中氖在 处发生跃迁，将氖的原子量20代入式（5.5-15），取温度 ，可得多普勒线宽为 按式（5.1-15）计算在 激光器中， 的跃迁，可得 。,5.6 受激跃迁吸收和放大 两能级系统如图5.1所示，在频率为 的电磁场中，原子会发生自1到2的跃迁，在此过程中原子从电磁场中吸收一个能量为 的量子（光子）。如果原子受到电磁场作用时正好位于能级2，它就会向下跃迁到能级1，并发射一个能量为 的光子。受激跃迁与上一节所述的自发跃迁过程的区别在于，从 2 1和1 2的受激跃迁概率是相等的，而由1 2（原子能量增

28、加的过程）的自发跃迁概率等于零。,另一个基本的差别也是从量子力学的角度考虑是受激跃迁概率与外加电磁场强度成正比，而自发率则与其无关。在处理原子系统与电磁场的相互作用时，受激跃迁概率与（激发）场强度之间的关系十分重要，下面是这个关系的推导。,首先考虑一个全同原子系与辐射场的作用，在跃迁频率附近，能量密度是频率的函数且均匀分布（在原子线形函数内）。将单位频率的能量密度定义为 ，并假设每个原子从 和 的受激跃迁概率皆与 成正比，于是有 式中， 和 为待定常数。总的向下（ ） 跃迁概率是受激和自发跃迁之和 自发速率 在5.1节中曾讨论过。总的向上（ ）跃迁概率是,（5.6-1）,（5.6-2）,（5.

29、6-3）,首先要确定 和 。由于系数 和 的大小只与原子有关，而与辐射场无关，让我们来考虑一个具有普遍性的例子。 假设原子处于热平衡温度为 的黑体辐射场中。在这种情形下，辐射场能量密度由下式给出 由于在热平衡时能级2和能级1的平均电子数目不随时间而变，所以 的跃迁数目在给定时间间隔内等于 的跃迁数，也就是 式中， 和 分别为能级1和2上的电子数目。将式（5.6-2）和（5.6-3）代入式（5.6-5），可得,（5.6-4）,（5.6-5）,将式（5.6-4）中的 代入上式得 因为原子处于热平衡， 比值由玻尔兹曼因子决定 式（5.6-6）和式（5.6-7）中的 相等，可得 上述等式仅当 = 时才

30、成立，同时有,（5.6-6）,（5.6-7）,（5.6-8）,（5.6-9）,（5.6-10）,上述最后的两个方程式由爱因斯坦最先给出，我们可以用式（5.6-10）将受激跃迁概率式（5.6-1）重新写为 这里 是原子的自发辐射的寿命。根据式（5.6-9），不考虑 和 受激跃迁概率的区别。 式（5.6-11）表述的是均匀（白色）光谱在单位频率间隔中的能量密度为 的场中，每个原子的受激跃迁概率。当单位频率间隔中的能量密度 不是均匀的而是与原子线形函数 相关，受激跃迁概率可写成,（5.6-11）,（5.6-12）,在光电子，我们主要关心的是频率为 的单色（即单一频率）场的受激跃迁概率。令受激跃迁概率

31、为 。对于频率为 的单色场，单位频率的间隔中的能量密度为 是 函数 式中， 是单色场的能量密度（ ）。把式（5.6-13）中的单位频率的间隔中的能量密度代入式（5.6-12），可得 式中， 是诱导跃迁的电磁场的能量密度 。上式就是能量密度为 ，频率为 的单色场所激发的受激跃迁概率。,（5.6-13）,（5.6-14）,回到我们的中心结论，式（5.6-14），利用光强 ，可将方程重新表达如下： 式中， 是频率为 的光强， 为光在真空中的速度， 是真空中的波长， 。注意到受激跃迁概率正比于入射光束的光强。 吸收和放大 考虑有一束频率为 强度为 的单色平面波，通过一介质。该介质中在单位体积内处于能级

32、1和能级2的原子数为 和 。由式（5.6-15）可知，单位时,（5.6-15）,间、单位体积内发生的从能级2到能级1的受激跃迁，以及从能级1到能级2的跃迁的次数分别为 和 。于是在单位体积内产生的功率为,（5.6-16）,该辐射与传播的波相干（即具有确定的位相关系）叠加，所以在没有任何损耗机制时，等于单位长度中光强的增加。考虑沿传播方向在微分距离 内功率的增加，应用式（5.6-15）可得,（5.6-17）,其解为,（5.6-18）,式中， 是增益系数,（5.6-19）,上式意味着在粒子数反转分布时， ，光强呈指数式递增，而当 时光强快速衰减。第一种情形相应于激光类型的放大作用，第二种情形为处于

33、热平衡的原子体系。这两种情况如图5.5所示。,在热平衡时，有 所以在热平衡下的系统总是发生吸收过程。将温度 取负值，反转条件 也可用式（5.6-20）表示。事实上， 条件常被认为是“负温度”的一种情况。在式（5.6-20）中“温度”是由电子数比值的指标。原子跃迁引起的电磁辐射，其吸收或放大不仅可以由指数式增益常数 表述，还可用传输介质电极化率的虚部 来描写。由式（1.3-24）可得，吸收功率密度为,（5.6-20）,（5.6-21）,式中， 是电极化率的虚部。此结果与利用受激跃迁概率 的概念退到的结果一致。后者为 利用式（5.6-21）与式（5.6-22）相等，用式（5.6-15）表示 并引用

34、关系式 可得 式中， ， 为真空中的波长。在洛伦兹线函数 的情况下，最后一个结论式可改写为 这是关键结论，将在很多讨论中被引用。,（5.6-22）,（5.6-23）,（5.6-24）,例：在红宝石激光器中的指数式增益常数 估算红宝石晶体（ 中掺有 离子 ）在谱线中心的指数式增益常数。晶体的特性如下 将这些值代入式（5.6-19）可得 所以在跃迁中心频率处的波通过单位厘米具有上述特性的红宝石柱，其强度将被放大5% 。,比较式（5.6-19）和式（5.6-23），可得到增益系数和 的关系式 假如无源介质 ，增益系数是负的。许多激光器介质由寄住介质构成，存在原子跃迁与激光辐射发光对应的有源的原子。例

35、如，铬原子是红宝石激光器中的有源成分，而 是寄主介质。激光介质的复折射率可写为 式中， 是寄主介质的折射率， 是有源原子的极化系数。这样的介质中的复传输波数可写为,（5.6-25）,（5.6-26）,（5.6-27）,式中， 是光在真空中的波数。如果记 ，则复波数可写为 我们知道，具有复传输常数的平面波的强度将随传输距离呈指数式增加。利用式（5.6-28），可得到与式（5.6-25）一致的增益系数。,（5.6-28）,结合式（5.6-24）和式（5.6-25），可写出具有洛伦兹线性的有源介质的指数式增加系数如下 为增益带宽。按照式（5.6-29），在线型中心处的增益可表示为 式中，注意到峰值增

36、益系数反比于增益谱的线宽。按照式（5.6-29）和式（5.6-30），可写出 式中， 是线型中心处的增益。,（5.6-29）,（5.6-30）,（5.6-31）,5.7 均匀激光介质中的增益饱和 在上一节中我们曾推导了 反转分布时指数式增益常数的表达式（5.6-19），表达式如下,（5.7-1）,其中 和 为受激跃迁中涉及的两个原子能级的电子浓度。在式（5.7-1）中并没有指出是什么原因导致反转分布 ，这一物理量可以当成是该体系的一个参量。实际上反转分布时由所谓的“泵浦”造成的，它具有各种各样的形式，例如在结型激光,器中的注入电流、在脉冲式红宝石激光器中的内光灯光源、或是在等离子放电的气体激光

37、器中的高能量电子。下面考虑激光介质内部某处有光波存在时的情形。泵浦建立粒子数反转分布，在没有光场存在时值为 。加入光场可产生2 1和1 2的跃迁。由于 且由2 1和由1 2的受激跃迁概率相等，所以从2 1受激跃迁的原子数目比相反方向的多。于是导致反转分布值 净的减少。,电磁场的存在可造成反转分布的减少，进而导致增益常数的减小，这种现象被称为增益饱和。理解这种现象在量子电子学中有重大意义。下一章涉及的一个例子中，指出增益饱和导致激光振荡器中的增益减小到正好和损耗相互平衡的程度，形成稳定的振荡。在光网络中同炎的机制导致光放大器的增益的减少。,图5.6所示的是一个四能级激光系统的基态0和两个激光能级

38、2和1的情形。单位时间中受泵浦而跃迁至能级2的原子浓度用 表示，跃迁至能级1的用 表示。由于泵浦到能级1会促使反转分布减弱，当然，我们不希望看到这种情况的出现。但是，许多情况下它是不能避免的。当没有辐射场存在时原子在能级2的真正衰减寿命是 。此衰减率部分贡献来自由 的自发跃迁发射光子对应的 ，以及由2到1的非辐射复合。原子在能级1的寿命是 ，由频率为 的辐射场引起的从 和 受激跃迁概率用 表示，由式（5.2-15）可得,（5.7-2）,式中， 是归一化的跃迁谱线线型函数。 是光强 。,当频率为 的辐射场和泵浦同时作用时，描写能级2和1的粒子数的方程式是 和 分别为能级2和1的粒子浓度（ ），

39、和 为进入这两个能级的泵浦率 。 是由能级2向其他各能级衰变时能级2上的粒子浓度在单位时间的变化，它包括粒子到能级1的自发跃迁，但不包括受激跃迁。受激跃迁概率为 ，所以受激跃迁引起的 的净变化如式（5.6-3）的最后一项所示。,（5.7-3）,（5.7-4）,在稳态，粒子数是不随时间变化的常数，所以可以将上两式中的 项取作零，求解 ， 而得 式中， （注意： ）。假设能级1和2的能量值足够高，以至于热学过程造成的粒子浓度变化可以忽略不计。按照式（5.7-5），如果没有光场存在， ，则反转浓度由下式给出 可利用式（5.7-6）将式（5.7-5）重新表示为 式中，参量 的定义为,（5.7-5）,（

40、5.7-6）,（5.7-7）,我们注意到 时 总是正的，在高效率的激光系统中 ，所以 ，并且 ，于是 ，将 的表达式代入（5.7-2），上一个公式变为 式中， 为饱和强度，由下式给出 它相当于使反转浓度下降到非饱和值（ ）的一半时所需的光强（ ）。在式（5.7-9）中最后一个等号用 代入而得到，这对于频率接近线形函数都有效。,（5.7-8）,（5.7-9）,在式（5.7-8）代入增益常数表达式（5.7-1），则得到最后结果 式中， 是低强度（ ）的增益系数。式（5.7-10）表示了增益常数对光强的依赖关系。最后注意到式（5.7-10）适用于均匀增宽激光体系，因为在粒子数变化率方程（5.7-3）和式（5.67-4）中我们假定所有的原子都是等效的，因而具有相同的跃迁概率。在非均匀的激光体系中这一假设不再成立。,（5.7-10）,5.8 非均匀激光介质中的增益饱和 5.7节中探讨了均匀激光介质中光场引起的光学增益的下降即饱和现象。本节将讨论在非均匀体系中的增益饱和问题。 由5.1节可知，非均匀原子体系中的单个原子是可以区分的，每一个原子皆有其独特的跃迁频率 ，因此可将非均匀介质看成是由多种原子