拉普拉斯变换的数学方法

1、2020/8/22,1,提纲,2.1 复数和复变函数 2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.4 拉氏变换的性质 2.5 拉氏反变换的数学方法 2.6 用拉氏变换解常微分方程,2020/8/22,2,拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。是分析研究线性动态系统的有力工具。,时域的微分方程 复数域的代数方程 系统分析大为简化 直接在频域中研究系统的动态性能,拉氏变换,2020/8/22,3,引言 复数和复变函数,（1）复数的概念 其中， 均为实数。 为虚单位。 （2）复数的表示法 点表示法 向量表示法 三角函数表示法 指数表示法,2020/8/22,4,引

2、言 复数和复变函数,（3）复变函数的概念 为自变量。,2020/8/22,5,例：,2020/8/22,6,当sz1,zm时，G(s)=0，则称z1,zm 为G(s)的零点； 当sp1,pm时，G(s)=，则称p1,pm 为G(s)的极点。,2020/8/22,7,2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义,1、拉氏变换,有时间函数f(t)，t0，则f(t)的拉氏变换记作： Lf(t)或F(s)，并定义为：,(21),f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件： （1）在任一有限区间上， f(t)分段连续，只有有限个间断点； （2）当t时， f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：,该条件使得积分

3、绝对值收敛。,2020/8/22,8,2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义,2、拉氏反变换,已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t) 的过程称作拉氏反变换，记作：,定义为如下积分：,其中：s为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。,(22),2020/8/22,9,2.3 典型时间函数的拉氏变换,1 单位阶跃函数 定义为：,单位阶跃函数的拉氏变换为：,2020/8/22,10,2.3 典型时间函数的拉氏变换,2 单位脉冲函数 定义为：,单位脉冲函数的重要性质：,单位脉冲函数的拉氏变换为：,2020/8/22,11,2.3 典型时间函数的拉氏变换,3 单位斜坡函数 定义为：,单位斜坡函数的拉

4、氏变换为：,2020/8/22,12,2.3 典型时间函数的拉氏变换,4 指数函数 定义为：,指数函数的拉氏变换为：,2020/8/22,13,2.3 典型时间函数的拉氏变换,5 正弦函数 用欧拉公式表示为：,其拉氏变换为：,6 余弦函数 用欧拉公式表示为：,其拉氏变换为：,2020/8/22,14,2.3 典型时间函数的拉氏变换,7 幂函数（作业）,其拉氏变换为：,例：,常用时间函数的拉氏变换表，可通过直接查表求时间函数的拉氏变换。,2020/8/22,15,2.4 拉氏变换的性质,1. 线性性质线性变换,(2-3),2020/8/22,16,2.4 拉氏变换的性质,2. 实数域的位移定理延

5、时定理,(2-4),其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延迟a秒的延时函数，且：,2020/8/22,17,例2.3 图210所示方波的拉氏变换。,图示方波函数表达为：,利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理：,2020/8/22,18,例2.4 求图211所示三角波的拉氏变换。,图示三角波函数表达为：,利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理：,2020/8/22,19,2.4 拉氏变换的性质,3. 周期函数的拉氏变换,设f(t)是以T为周期的周期函数，即：,则f(t)的拉氏变换为：,2020/8/22,20,2.4 拉氏变换的性质,4. 复数域位

6、移定理(也称衰减定理),2020/8/22,21,2.4 拉氏变换的性质,5. 相似定理（也称尺度定理）,2020/8/22,22,2.4 拉氏变换的性质,6. 微分定理,7. 积分定理,2020/8/22,23,Back,8 终值定理,2020/8/22,24,Back,9 初值定理,2020/8/22,25,2.4 拉氏变换的性质,10. tf(t)的拉氏变换,11. f(t)/t的拉氏变换,2020/8/22,26,2.4 拉氏变换的性质,12. 卷积定理,函数f(t)和g(t)的卷积定义为：,拉氏变换的卷积定理：若 函数f(t)和g(t)满足拉氏变换存在的条件，则f(t)和g(t)的卷

7、积的拉氏变换一定存在，且：,其中，函数f(t)和g(t)满足：当t0时， f(t)=g(t)=0,2020/8/22,27,1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为 。 由F(s)可按下式求出 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。,2.5 拉氏反变换的数学方法,2020/8/22,28,2.5 拉氏反变换的数学方法,拉氏反变换的数学方法有： (1) 查表法简单象函数； (2) 有理函数法需要复变函数的留数定理； (3) 部分分式法复杂的象函

8、数简化为几个简单的部分分式之和，分别求各分式的原函数，即可得总的原函数； (4) 利用MATLAB求解。,2020/8/22,29,若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。 例1： 例2：求 的逆变换。 解：,2020/8/22,30,1.部分分式法求原函数,2020/8/22,31,2020/8/22,32,2020/8/22,33,2020/8/22,34,2020/8/22,35,2020/8/22,36,2020/8/22,37,2020/8/22,38,2.使用MATLAB函数求解原函数,利用MATLAB中的

9、函数residue将原函数展开成部分分式，然后查拉氏变换的表格得到原函数。函数格式： r,p,k=residue(b,a);%返回多项式b/a之比的部分分式展开项中的残差、极点和直接项。 b,a=residue(r,p,k)；%将部分分式展开项还原成多项式,2020/8/22,39,For example:,Num=10*1 2;%定义分子多项式 Den=poly(-1;-3;-4)；%定义分母多项式 res,poles,k=residue(num,den)；展开num/den 残差、极点和直接项分别为： Res=-6.6667;5.0000;1.6667 Poles=-4;-3;-1 K=; Note:(x+1)(x+3)(x+4)=x3+8x2+19x+12,