第四讲行列式计算及克莱姆法则.ppt

1、作业：P22 1（1） 7 （1）,第一周作业点评,复习,1、 n阶行列式的展开定理,2、行列式的计算方法（三类）,1. 定义 2. 性质 3. 展开（降阶）.,解：,根据行列式性质,练习4 计算行列式,解：,练习5 计算行列式,解：,根据行列式展开定理，可作变换,例6 计算行列式,镶边法适用于相同元素较多的行列式,练习7 计算行列式,解：,根据行列式性质,练习8 求证Cn=Dn,证明：,当n=1,2时，D1=2=C1,假设当kn-1时，等式成立，即Dk=Ck,当k=n时，把Dn，Cn，按第一行展开有：,由归纳假设Dn-1=Cn-1， Dn-2=Cn-2，故Dn=Cn,证明：（递推法）,把Dn

2、，Cn，按第一行展开有：,即：Dn=Cn,故,注：,归纳法和递推法适用于原行列式能转化为结构相同的低阶行列式的情况。,分析行列式结构和规律,我们把这个行列式称作n阶范德蒙行列式,例 计算行列式 P18,即：,j=1,j=2,j=n-1,该行列式的值为：,解：（归纳法）,当k=2时，有：,公式成立.,假设当k=n-1时，公式成立，即,下证k=n时，公式成立,从最后一行开始，每一行减去它相邻的前一行乘以a1,即作线性运算,按第一列展开，有：,每一列均可提取公因子，则：,故有：,即：,证毕,解：,由范德蒙行列式的计算公式有：,例 计算行列式,解：,由范德蒙行列式的计算公式有：,练习 计算行列式,关于

3、范德蒙行列式主要掌握两点：,1、能识别范德蒙行列式,2、会利用范德蒙行列式的公式进行计算,对称及反对称行列式,在行列式Dn=(aij)中，若aij=aji,称为对称行列式；若aij=-aji，称为反对称行列式,试证：奇数阶反对称行列式等于零,及行列式性质，有：,定义：,证明：,由,问题：反对称行列式主对角线上的元素有什么特点？,n为奇数，故D=-D,有D=0,证毕,练习：判断下列结果是否正确。,答案：正确,答案：错误,练习：计算行列式,答案：D=0,1.4 行列式的应用,克莱姆法则,1、n元线性方程组,（1.17）,定义1,若bi(i=1,2,，n)不全为0，则称（1.17）式为非齐次线性方程

4、组，,称为方程组（1.17）的系数行列式.,定义2,若bi=0(i=1,2,，n) ，则称（1.17）式为齐次线性方程组,其系数aij(i,j=1,2,，n)构成如下行列式,对于齐次线性方程组,x1 = x2 = = xn = 0 一定是它的解,这个解叫做齐,次线性方程组的零解.,如果一组不全为零的数是,次线性方程组的非零解.,齐次线性方程组,一定有零解,但不一定有非零解.,方程组的解,则它叫做齐,回顾,当系数行列式,有唯一解,克莱姆法则的二阶形式,定理1,若方程组（1.17）的系数行列式,则方程组（1.17）有唯一解,其中,解的表达式,对原方程组,作如下变换：任取1jn，用代数余子式A1j，

5、A2j，Anj分别乘以方程组的第1,2，n个方程，再相加有：,证法一：,A1j,A2j,Anj,而,可看作如下行列式按第j列的展开,故,由D0,有：,即上式满足方程组（1.17），为原方程组的唯一解,证法二：,先证,作线性变换：ri+xjrj(ji),得：,由原方程组有：,即当D0时，有,故方程组（1.17）的有解且解唯一.,证毕,练习1：复述克莱姆法则,练习2：求解方程组,若n元线性方程组的系数行列式,则该方程组有唯一解，表示为：,解：由,故,例 要使此方程组有唯一解，求k的取值范围,解：,系数行列式为：,由克莱姆法则，要使D0,即k1,故k的取值范围为：R|k1,克莱姆法可以用于判断方程组

6、解的唯一性,定理2,对齐次线性方程组,若系数行列式D0，则方程组只有零解,你能证明吗？,对于齐次线性方程组，克莱姆法则有什么变化？,由定理2可得逆否命题：,定理3,若齐次线性方程组有非零解，则D=0,小结,行列式的计算 范德蒙行列式、对称行列式 克莱姆法则,第一章回顾,一、n阶行列式的定义,1）、对角线法则,2）、排列和逆序数,3）、一般项的另一表示方式,二、行列式的性质,1）、七个性质（转置相等，数乘运算，拆分，相同行为0，成比例为0，线性运算，互换运算）,2）、数乘运算、线性运算、互换运算称为行列式初等运算,三、行列式的展开法则,1）、余子式和代数余子式 （实际上是一个比原行列式低阶的行列式）,2）、展开法则和性质,或,四、行列式的计算,1）. 直接用定义计算; 2）. 利用性质（化简或化为三角形行列式） 3）. 利用展开式定理降阶.,技巧：归纳、递推,特殊行列式：范德蒙行列式、反对称行列式,如果线性方程组,的系数行列式 D 0 , 那么它有唯一解,五、行列式应用克莱姆法则,其中 Dj ( j = 1, 2