第三章 点、直线和平面的投影.ppt

1、第三章 点、直线和平面的投影,3.1 点的投影,3.2 直线的投影,3.3 平面的投影,3.4 相交问题,3.5 投影变换法(辅助投影法),3.1.1 点的两面投影,3.1.2 点的三面投影,3.1.3 两点的相对位置,3.1.4 重影点的投影,例题1,例题2,基本要求,3.1 点的投影,3.1.1点在两投影面体系中的投影,五、点的两面投影的投影规律,二 、两投影面体系中点的投影,一、两投影面体系的建立,三、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置,四、点的两面投影图的画法,一、两投影面体系的建立,V,X,O,水平投影面 H 正立投影面 V 投 影 轴 OX,二、两投影面体系中点的投影,点A的水平

2、投影 a 点A的正面投影 a,A,Z,Y,X,三、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置,四、点的两面投影图的画法,五、点的两面投影的投影规律,1) aaOX 2) aax =Aa , aax =Aa,通常不画出投影面的边界,3.1.2 点在三投影面体系中的投影,三、点的直角坐标与三面投影的关系,二、三投影面体系中点的投影,一、三投影面体系的建立,五、特殊点的投影,四、三投影面体系中点的投影规律,一、三投影面体系的建立,水平投影面 - H HV - OX 正立投影面 - V V W - OZ 侧面投影面 - W HW - OY,Z,Y,W,O,三投影面体系的建立及分角的概念,O,二、 三投影面体

3、系中点的投影,点A的水平投影 a 点A的正面投影 a 点A的侧面投影 a,A,1. aaz = aay =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa =yA 3. aax =aa y = Aa=zA,三、点的直角坐标与三面投影的关系,1. aa X轴，aaz = aay = XA 2. aaZ轴， aax =aa y = ZA 3. aax = aaz =YA,四、三投影面体系中点的投影规律,五、特殊点的投影,3.1.3 两点的相对位置,两点中x 值大的点 在左 两点中y 值大的点 在前 两点中z 值大的点 在上,3.1.4 重影点的投影,例题1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投

4、影。,注：因为平面是无限大的，所 以一般不画出平面边框。,例题2 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。,本节结束,第二节结束,3.2.1 直线投影的一般性质,3.2 直线的投影,3.2.2 各种位置直线的投影,3.2.5 直角投影定理,3.2.3 直线上点的投影,3.2.4 两直线的相对位置,基本要求,基本要求,3.2.1直线投影的一般性质,直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。,3.2.2 各种位置直线的投影,一、特殊位置直线 1.直线平行于一个投影面 (1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线 2.直线垂直于一个投影面 (1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3)

5、 侧垂线 3.从属于投影面的直线 从属于投影面的直线 从属于投影面的铅垂线 从属于投影轴的直线 二、一般位置直线,(1) 水平线 只平行于水平投影面的直线,投影特性：1ab OX ; ab OYW 2 ab=AB 3反映、 角的真实大小,投影特性：1ab OX ; ab OYW 2 ab=AB 3反映、 角的真实大小,(1) 水平线 只平行于水平投影面的直线,（2）正平线只平行于正面投影面的直线,投影特性： 1 ab OX ; a b OZ 2 a b=AB 3 反映、角的真实大小,（2）正平线只平行于正面投影面的直线,投影特性： 1 ab OX ; a b OZ 2 a b=AB 3 反映、

6、角的真实大小,（3）侧平线只平行于侧面投影面的直线,投影特性： 1 ab OZ ; ab OYH 2 ab =AB 3反映 、 角的真实大小,（3）侧平线只平行于侧面投影面的直线,投影特性： 1 ab OZ ; ab OYH 2 ab =AB 3反映 、 角的真实大小,投影特性：1 a b 积聚 成一点 2 a bOX ; a b OYW 3 a b = a b = AB,（1）铅垂线 垂直于水平投影面的直线,投影特性：1 a b 积聚 成一点 2 a bOX ; a b OYW 3 a b = a b = AB,（1）铅垂线 垂直于水平投影面的直线,b,a(b),a,a,b,投影特性：1 a

7、 b 积聚 成一点 2 a bOX ; a b OYW 3 a b = a b = AB,（1）铅垂线 垂直于水平投影面的直线,（2）正垂线 垂直于正面投影面的直线,投影特性： 1 ab 积聚 成一点 2 ab OX ; ab OZ 3 ab = ab =AB,（2）正垂线 垂直于正面投影面的直线,投影特性： 1 ab 积聚 成一点 2 ab OX ; ab OZ 3 ab = ab =AB,（3）侧垂线 垂直于侧面投影面的直线,投影特性： 1 ab 积聚 成一点 2 ab OYH ; ab OZ 3 ab = ab =AB,（3）侧垂线 垂直于侧面投影面的直线,投影特性： 1 ab 积聚 成

8、一点 2 ab OYH ; ab OZ 3 ab = ab =AB,从属于V 面的直线,从属于V 投影面的铅垂线,从属于OX轴的直线,二、一般位置直线,投影特性：1 a b、 ab、a b均小于实长 2 a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3不反映 、 、 实角,四、作图 1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角 2 求直线的实长及对正面投影面的夹角角 3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角 例题1,一般位置线段的实长及其对投影面的倾角,1 求直线的实长及对水平投影面的倾角角,|zA-zB|,2 求直线的实长及对正立投影面的倾角 角,|yA-yB|,|yA-yB|,3 求直线的实长及对侧立投影面

9、的倾角 角,”,例题1 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。,ab,直线上的点具有两个特性： 1从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。 例题2 例题3 例题4,3.2.3 直线上点的投影,例题2 已知线段AB的投影图，试将AB分成21两段，求分点C的投影c、c 。,例题3 已知点C在线段AB上，

10、求点C 的正面投影。,c,例题4 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。,AB,zA-zB,ab,3.2.4 两直线的相对位置,一、平行两直线 二、相交两直线 三、交叉两直线 四、交叉两直线重影点投影的可见性判断 例题5 例题6 例题7,一、平行两直线,1若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。 2平行两线段之比等于其投影之比。,二、相交两直线,当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。,三、 交叉两直线,凡不满足

11、平行和相交条件的直线为交叉两直线。,四、交叉两直线重影点投影的可见性判断,例题5 判断两直线的相对位置,例题6 判断两直线的相对位置,1d,c 1,例题7 判断两直线重影点的可见性,3.2.5 直角投影定理,一、垂直相交的两直线的投影 定理一垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。 二、交叉垂直的两直线的投影 定理三相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 定理四两直线在同一投影面上的投影反映直角，

12、且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。 例题8 例题9 例题10,一、垂直相交的两直线的投影,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac,二、交叉垂直的两直线的投影,例题8 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。,例题9 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。,例题10 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB =23。,本节结束,第三节结束,3.3 平面的投影,3.3.1 平面的表示法,3.3.2 各种位置平面的投影特性,3.3.3 平面上的点和直线,基本要求,基本要求,3.3.1 平面的表示

13、法,一、用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。 二、平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。,一、用几何元素表示平面,二、 平面的迹线表示法,3.3.2 各种位置平面的投影特性,一、投影面的垂直面:垂直于一个投影面同时倾斜于其他二投影面的平面 1铅垂面：垂直于H面的平面 2正垂面：垂直于V面的平面 3侧垂面：垂直于W面的平面 二、投影面的平行面平行于一个投影面的平面 1水平面：平行于H面的平面 2正平面：平行于V面的平面 3侧平面：平行于W

14、面的平面 三、一般位置平面：倾斜于三个投影面的平面,1铅垂面,投影特性 (1) abc积聚为一条线 (2) abc、 abc为ABC的类似形 (3) abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小,铅垂面迹线表示法,2正垂面,投影特性 (1) abc 积聚为一条线 (2) abc、 abc为 ABC的类似形 (3) abc与OX、 OZ的夹角反映、 角的真实大小,正垂面的迹线表示法,3侧垂面,投影特性 (1) abc积聚为一条线 (2) abc、 abc为 ABC的类似形 (3) abc与OZ、 OY的夹角反映、角的真实大小,侧垂面的迹线表示法,1水平面,投影特性： (1) abc、 abc积聚

15、为一条线，具有积聚性 (2) 水平投影 abc反映 ABC实形,2正平面,投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 正平面投影 abc反映 ABC实形,投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 侧平面投影 abc 反映 ABC实形,3侧平面,三、一般位置平面,投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 (2) 不反映、 的真实角度,3.3.3 属于平面的点和直线,从初等几何可知，点和直线在平面上的必要和充分条件是：如果点位于平面上的任一直线上，则此点在该平面上。如果一直线通过平面上两已知点或通过平面上一

16、已知点且平行于平面上一已知直线，则此直线在该平面上。 一、属于一般位置平面的点和直线 二、属于特殊位置平面的点和直线 三、属于平面的投影面平行线 四、属于平面的最大斜度线(不在此讲述),一、属于一般位置平面的点和直线,1平面上的直线 直线在平面上的几何条件是：通过平面上的两点；通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 2平面上的点 点在平面上的几何条件是： 点在平面内的某一直线上 先在平面上取一直线，再在此直线 上取点。也称为辅助线法。 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的

17、点和直线的投影；完成多边形的投影。 例题1 例题2 例题3,1取属于平面的直线,取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。,2取属于平面的点,取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线,例题1 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。,e,e,例题2 已知点D在 ABC上，试求点D的水平投影 。,d,1,1,例题3 已知点E在 ABC上，试求点E的正面投影 。,二、属于特殊位置平面的点和直线,1取属于投影面垂直面的点和直线 2过一般位置直线总可作投影面的垂直面 (1) 几何元素表示法 (2) 迹线表示法 3过特殊位置直

18、线作平面 (1) 过正垂线作平面 (2) 过正平线作平面,1 取属于投影面垂直面的点和直线,2过一般位置直线总可作投影面的垂直面,过一般位置直线AB作铅垂面PH,过一般位置直线AB作正垂面SV,(1) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (几何元素表示法),m,n,(2) 过一般位置直线作投影面的垂直面(迹线表示法),b,a,SV,QW,PH,(1) 过正垂线作平面 (迹线表示法),PV,SV,QV,RV,（a ）给题,（c）作侧垂面,（ b）作水平面,（d）作正垂面（有无穷多个）,(2) 过正平线作平面,PH,SH,g,g,（a ） 给题,（c） 作正垂面,（ b） 作正平面,（d） 作一般位置

19、平面 （有无穷多个）,三、属于平面的投影面平行线,属于平面的水平线和正平线 例题4 例题5,属于平面的水平线和正平线,PV,PH,例题4 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。,m,n,n,m,例题5 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。,第三节结束,3.4 相交问题,3.4.1 直线与平面平行 两平面平行,3.4.2 直线与平面的交点 两平面的交线,3.4.3 直线与平面垂直 两平面垂直,基本要求,基本要求,（一）平行问题 1熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特

20、性及作图方法。 （二）相交问题 1熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 2熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。 3掌握利用重影点判别投影可见性的方法。 （三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。 （四）点、线、面综合题 1熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。,一、直线与平面平行 几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的

21、依据。 有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。 例题1 例题2 二、平面与平面平行 几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。 两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。 例题3 例题4 例题5,3.4.1 直线与平面平行 两平 面平行,一、直线与平面平行,若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行,例题1 试判断直线AB是否平行于定平面,结论：直线AB不平行于定平

22、面,例题2 试过点K作水平线AB平行于CDE平面,二、两平面平行,若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行,例题3 试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,例题4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面 。,例题5 试判断两平面是否平行。,结论：因为PH平行SH，所以两平面平行,3.4.2 直线与平面的交点、两平 面的交线,一、直线与平面相交只有一个交点 二、两平面的交线是直线 三、特殊位置线面相交 四、一般位置平面与特殊位置平面相交 五、直线与一般位置平面相交 六、两一般位置平面相交,一、直线与平面相交,直线与平面相交只有一个交

23、点，它是直线与平面的共有点。,二、平面与平面相交,两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有,三、特殊位置线面相交,直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交,直线与特殊位置平面相交,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。,判断直线的可见性,特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。,( ),求铅垂线EF与一般位置平面ABC的交点并判别其可见性。,k,四、一般位置平面与特殊位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。 一般位置平面与特殊位置平面相交 判断平

24、面的可见性,一般位置平面与特殊位置平面相交,铅垂面与一般位置平面相交,判断平面的可见性,结 果,判断平面的可见性,五、一般位置直线与一般位置平面相交,以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图 以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图 判别可见性 示意图,1,2,以正垂面为辅助平面求线面交点,QV,步骤： 1过EF作正垂平面Q。,2求Q平面与ABC的交线。,3求交线与EF的交点K。,示意图,过MN作正垂面Q,以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图,1,2,以铅垂面为辅助平面求线面交点。,PH,步骤： 1过EF作铅垂平面P。,2求P平面与ABC的交线。,3求交线与EF的交点K。,示意图,过MN作铅垂面P,以

25、铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图,f,e,e,直线EF与 ABC相交，判别可见性。,利用重影点判别可见性,1,2,4,3,（ ）,示意图,( ),直线EF与平面 ABC相交，判别可见性示意图,利用重影点。 判别可见性,六、两一般位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。 两一般位置平面相交求交线 示意图 判别可见性 例题6,两一般位置平面相交，求交线步骤： 1用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。,求两平面的交线,2连接两个共有点，画出交线KE。,示意图,两一般位置平面相交

26、求交线的方法 示意图,利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。,利用重影点判别可见性,两平面相交，判别可见性,( ),( ),例题6 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交 。,分析,过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。,作图,PV,1,2,1过点K作平面KMN/ ABC平面。,2求直线EF与平面KMN的交点H 。,3连接KH，KH即为所求。,3.4.3 直线与平面垂直、两平面垂直,一、直线与平面垂直 几何条件 定理1 定理2 例题7 例题8 例题9 例题10 二、两平面垂直 几何条件 例题11 例

27、题12 例题13,一、直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则 必垂直于属于该平面的一切直线。,定理1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。,定理2（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。,例题7 平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。,a,例题8 试过定点K作特殊位置平面的法线。,h,例题9 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于该平面。,两平面垂直的几何条件,若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。,A,D,反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。,两平面垂直,两平面不垂直,例题12 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。,例题13 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 垂直。,结论：因为AD直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂直。,例题14 试过定点A作直线与已知直线EF正交。,分析 过已知点A作平面