N阶复矩阵的若尔当标准型的过渡矩阵的计算

1、N阶复矩阵的若尔当标准型的过渡矩阵的计算郭静 136510053摘要：设A是一个n阶复矩阵，存在过渡矩阵T，使(若而当标准型）的证明，计算和应用。关键词：矩阵，过渡矩阵，若尔当标准型。 定义1:形式为的矩阵称为若当块, 其中是复数, 由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。由高等代数知:每个n 级复矩阵A 都与一个若当形矩阵J 相似, 这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被A 唯一确定的.它称为A 的若当标准形.下面介绍一种确定T的方法。 设A 是一个n 阶复矩阵.求A 的若当标准形J , 并确定过渡矩阵T , 使得, 我们可以按以下步骤进行:第1 步:用初等变换求出的标准形B()

2、, 同时求出相应的可逆-矩阵()和(),使得:()(E-A)()=B(). 第2 步:由B()知A 的不变因子, 由此得出A 的初等因子, 再由初等因子写出A 的若当标准形J . 第3 步:用初等变换将E -J 化为标准形B()(因A J , 所以E -A 与E -J 等价, 因而它们有相同的标准形), 同时求出可逆-矩阵U2()和V2(), 使得:U2()(E -J)V2()=B(). 第4 步:令U()=(), V()=()则:U()(E -A)V()=E -J .(1)第5 步:求-矩阵Q()、R()和数字矩阵U0 和V0 , 使得:U()=(E -J )Q()+U0 , (2)V()=

3、R()(E -J )+V0 .(3)定理设A 是一个n 阶复矩阵, 则以上方法求得的V0 就是所要确定的过渡矩阵, 即若令T =V0 ,则T 可逆且=J.证明由(1)式和(3)式得: (E -J )=(E -A)V()=(E -A) R()(E -J)+V0 ,所以 -(E -A)R() (E -J )=(E -A)V0 .令 T =-(E -A)R(), 则 T(E -J)=(E -A)V0 . (4)因V0 是数字矩阵, 比较(4)的两边即可知:T 必为数字矩阵.又 U()T =U() -U()(E -A)R()所以 E =U()T +U()(E -J )R()= (E -J)Q()+U0

4、T +(E -J )R(),所以 E =U0 T +(E -J ) Q()T +R() .又因E 和U0 T 均为数字矩阵, 所以上式右边第二项必为0 , 故E =U0 T , 从而T =代入(4)得: (E -A)=(E -J)V0 ,所以 E -J =U0(E -A)V0 =(U0V0)-U0AV0 ,所以 U0V0 =E 且J =U0AV0 ,所以U0 =, 且J = AV0 .因此, 若令T =V0 , 则J =.证毕. 下面，举例说明如何计算。 接下来，讲讲若尔当标准型的应用。当标准形理论不仅在数学上有着重要应用, 而且在物理、化学等其它领域有着极其广泛的应用。在线性代数中, 行列式是重要的内容之一, 而求解高阶行列式不是一件容易的事, 本文从若当标准形理论的应用角度, 给出一类具有线性递推关系的行列式这类行列式的一种解法, 从而进一步说明若当标准形理论的重要性, 应用的广泛性