高中数学 1.1.3双曲线及其标准方程教学案 新人教版选修

1、1.1.3双曲线及其标准方程课前预习学案一、预习目标双曲线及其焦点,焦距的定义。双曲线的标准方程及其求法。双曲线中a，b，c的关系。双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。二、预习内容 双曲线的定义。 利用定义推导双曲线的标准方程并与椭圆的定义、标准方程和推导过程进行李类比。 掌握a，b，c之间的关系。三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容 课内探究学案一、教学过程前面我们学习过椭圆，知道“平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆”。下面我们来考虑这样一个问题？平面内与两定点F1，F2的距离差为常数的点的轨迹是

2、什么？我们在平面上固定两个点F1，F2，平面上任意一点为M，假设|F1F2|=100,|MF1|MF2|且|MF1|MF2|=50不断变化|MF1|和|MF2|的长度，我们可以得出它的轨迹为一条曲线。若我们交换一下长度，|MF1|MF2|且|MF1|MF2|=50时 ，可知它的轨迹也是一条曲线那么由这个实验我们得出一个结论：“平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。”但大家思考一下这个结论对不对呢？我们知道在椭圆定义里，到两定点的距离和为一个常数，这个常数（必须大于|F1F2|） 那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和|F1F2|有什么关系呢？下面我们来看一个试验

3、，当|MF1|MF2|=0时，M点的轨迹为F1，F2的中垂线；随着|MF1|-|MF2|的不断变化 ，呈现出一系列不同形状的双曲线；当|F1F2|即和|F1F2|长度相等时，点的轨迹为以F1，F2 为端点的两条射线；若|MF1|-|MF2|100 时，就不存在点M。那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确定义：定义：平面内与两定点F1，F2的距离差的绝对值为非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是双曲线。定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。我们知道当一个椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上时，所表示椭圆的方程为标准方程。当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时，那么双曲线方程

4、是否也有标准方程呢？我们就来求一下看看：解：建立直角坐标系xoy，使x轴经过F1，F2，并且点O与线段F1F2的中点重合。如图所示：设M（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c0），那么，焦点F1，F2，的坐标是（c，0）（c，0）。又设点M与F1，F2，的距离的差的绝对值等于常数2a有定义可知，双曲线就是集合pM|MF1|MF2|=2a因为 |MF1|= |MF2|= 所以得2a 将方程化简，得（c2a2）x2ay2a2（c2a2）由双曲线的定义可知，2c2a，即ca，所以c2-a20令c2-a2=b2其中b0，代入上式，得b2x2a2y2=a2b2两边除以a2b2，得 （a0,

5、b0）这个方程叫做双曲线标准方程。当焦点在y轴上时, F1(0,c) F2(0,c) （a0,b0）*观察双曲线的标准方程和椭圆标准方程，思考几个问题：1、焦点在哪个轴上如何判断？ 2、方程中a,b,c 的关系怎样?（椭圆哪个二次项的分母大，焦点就在相应的那个坐标轴上，双曲线哪项为正焦点就落在相应的坐标轴上。）例1 求适合下列条件中的双曲线的标准方程：1 a=3,b=4焦点在y轴上，解：因为焦点在y轴上所以所求方程为2 a=5,b=7,分析：焦点不知在哪个轴上，分情况分析解：当焦点在x轴上时当焦点在y轴上时3两焦点为F1(5,0),F2(5,0) 双曲线上的点到它们的距离之差绝对值为8练习1：

6、求适合下列条件的双曲线的标准方程：1、a=4,b=6,焦点在x轴解：由b2=c2a2=6242=20 又因为焦点在x轴上所以所求方程为：2、c=10,b=7焦点在y轴上解：由a2=c2b2=10272=51又因为焦点在y轴上，所求方程为：例2：求下列双曲线的焦点坐标：1、 解：a2=36,b2=64c2=36+64=100,c=10又因为焦点在x轴上，所求焦点坐标为(10,0),(10,0)。2、解：化标准方程为：a2=1,b2=8，又因为焦点在y轴上,所求焦点坐标为(0,3),(0,3)。3、9y2-4x2=36解：化标准方程为：所以a24，b29。由从c2a2+b2=4+9=13。又因为焦

7、点在y轴上; 所求焦点坐标为（0，）和（0，）。 例3：双曲线的焦点与椭圆的焦点有什么关系?解：双曲线中a2=1,b2=15,由c2=a2+b2得c=4所以 双曲线的两个焦点坐标为(4,0)和(-4,0)椭圆中a2=25,b2=9由c2=a2+b2=259=16得所以椭圆的两个焦点坐标也是(4,0)和(4,0)。它们的焦点相同.思考题：1已知曲线的方程为（1） 若c为椭圆，求m的取值范围，并求椭圆的焦点 。 (m4)（2） 若c为又曲线，求m的取值范围，并求双曲线的焦点 。 (3m4)2已知双曲线的方程为，讨论c曲线的形状6m4时，为椭圆，(m1焦点在x轴，m1焦点在y轴) m1时为圆m4或m6时，为双曲线;( m4焦点在x轴，m6焦点在y轴) 小结：1定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.2双曲线的标准方程为：焦点在x轴时, （a0,b0）叫焦点坐标F1（c，0）F2（c，0）。焦点在y轴时, （a0,b0）焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c)3注意双曲线与椭圆的区别与联系椭圆双曲线|MF1|MF2|=2a|MF1|MF2|=aa2=b2+c2c2=a2+b2 （ab0） （a0,b0）