高中数学 1.3.3等比数列的前n项和2学案 北师大版必修

1、第3课时等比数列的前n项和思路方法技巧命题方向等比数列前n项和公式的应用例1设数列an是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.分析应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论.解析当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；当q1时，=3a1q2,因为a10,所以1q3=3q2(1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1) 2(2q+1)=0,解得q=-.综上所述，公比q的值是1或.说明（1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.（2）等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q1两种情况讨

2、论.（3）等比数列前n项和公式中，当q1时，若已知a1,q,n利用Sn=来求；若已知a1,an,q,利用Sn=来求.变式应用1在等比数列an中,已知S3=,S6=,求an.解析S6=,S3=,S62S3，q1. = 得1+q3=9,q=2.将q=2代入，得a1=,an=a1qn-1=2n-2.命题方向等比数列前n项的性质例2在等比数列an中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.分析利用等比数列前n项的性质求解.解析an为等比数列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，(S2n-Sn) 2=Sn(S3n-S2n)S3n=+S2n=+60=63.说明等比数列连续等段的和若不为零时，则

3、连续等段的和仍成等比数列.变式应用2等比数列an中，S2=7，S6=91,求S4.解析解法一：an为等比数列，S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，（S4-7）2=7（91-S4），解得S4=28或-21.S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,S4=28.解法二：S2=7,S6=91,q1.=7 =91 得q4+q2-12=0,q2=3,q=.当q=时，a1=,S4=28.当q=-时，a1=-,S4=28.探索延拓创新命题方向等比数列前n项和在实际问题中的应用例3某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%，由于某种需

4、要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；（2）写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg20.3)解析(1)第一年年底本利和为a+a25%=1.25a,第二年年底本利和为（1.25a-x）+(1.25a-x)25%=1.252a-1.25x,第三年年底本利和为（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252

5、+1.25)x.(2)第n年年底本利和为bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+1.25)x.(3)依题意，有3951.2520-(1.2519+1.2518+1.25)x=4395,x=.设1.2520=t,lgt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.t=100,代入解得x=96.变式应用3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？解析第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行20000（110）x=200001.1

6、x,第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行20000(1+10%)-x(1+10%)-x=200001.12-1.1x-x,第10次还款x元后，还欠银行200001.1101.19x-1.18x-x,依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得200001.110（1.191.181）x=0,解得x=3255(元).名师辨误做答例4求数列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,的前n项和.误解所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+a=.辨析所给数列除首项外，每一项都与a有关，而条件中没有a的范围，故应对a进行讨论.正解由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,中依次取出1项，