高中数学 1.5.1曲边梯形的面积教学案 新人教A版选修

1、1.1. 5.15.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 课前预习学案课前预习学案 【预习目标】 预习“曲边梯形的面积” ，初步体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想. 【预习内容】 1、曲边梯形的概念 。 2、如何利用“以直代曲”的思想得到曲边梯形的面积？ 3、如何实施曲边梯形的面积的求解？ 【提出疑惑】 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑点疑惑内容疑惑内容 课内探究学案课内探究学案 【学习目标】 1、理解“以直代曲”的意义； 2、理解求曲边梯形面积的四个步骤； 3、了解“近似代替”时取点的任意性。 学习重难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。以及一般

2、曲 边梯形的面 积的求法。 【学习过程】 （一） 情景问题： 我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。但基本是规则的平面图形，如矩 形、三角形、梯形。而现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我 们该如何求面积？比如我们山东省的国土面积？ （二） 合作探究、精讲点拨 例题：例题：对于由 y=x2与 x 轴及 x=1 所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边 梯形的特殊情况） 探究探究 1 1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？ 特别帮助：12+22+32+n2= 1 6 n(n+1) (2n+1) 探究探究 2 2：采用哪种好？把分割的几何图

3、形变为代数的式子。 探究探究 3 3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？ 探究探究 4 4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？ 变式训练 1：求直线 x=0,x=1,y=0 与曲线 y=x2所围成的曲边梯形的面积。 变式训练 2：求直线 x=1,x=4,y=0 与曲线 y=x2所围成的曲边梯形的面积。 （三）反思总结 1、对于一般曲边梯形，如何求面积？ 2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？ （四）当堂检测 求由 y=2x21,和 x=1,x=3,x 轴围成的曲边梯形面积。 课后练习与提高课后练习与提高 1、把区间1,3n等分,所得n个小区间,每个小区间的长度为(

4、) A. n 1 B. n 2 C. n 3 D. n2 1 2、把区间,ba)(ba n等分后,第i个小区间是( ) A., 1 n i n i B. )(),( 1 ab n i ab n i C., 1 n i a n i a D. )(),( 1 ab n i aab n i a 3、在“近似替代”中，函数)(xf在区间, 1ii xx上的近似值（ ） A.只能是左端点的函数值)( i xf B.只能是右端点的函数值)( 1i xf C.可以是该区间内的任一函数值 ii f(, 1ii xx） D.以上答案均正确 练习答案：练习答案：1 1、 （B B） ；2 2、 （D D） ；3

5、3、 （C C） 1.5.1 曲边梯形的面积教案 一、学习目标一、学习目标 1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤分割、近似代替、 求和、求极限； 2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景 二、重点、难点二、重点、难点 重点：求曲边梯形的面积； 难点：深入理解“分割、近似代替、求和、求极限”的思想 三、知识链接三、知识链接 1、直边图形的面积公式：三角形 ，矩形 ，梯形 ； 2、匀速直线运动的时间（t） 、速度（v）与路程（S）的关系 四、学法指导四、学法指导 探求、讨论、体会以直代曲数学思想 五、自主探究五、自主探究 1、概念：如图，由直线x

6、=a , x= b , x轴，曲线y=f (x)所 围成的图形称为 2、思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区 别是什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的 面积问题？ 例、求由抛物线y=x2与x轴及x=1 所围成的平面图形的面 积 S 分析：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是， 曲边图形有一边是 线段，而“直边图形”的所有边都是 线段。我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题的思路：将求曲边梯形面积 的问题转化为求“直边图形”面积的问题 解： （1 1）分割）分割 把区间把区间00，11等分成等分成 n n 个小区间：个小区间： 过各区间端点作过各区间端点作

7、x x 轴的垂轴的垂线，从而得到线，从而得到 n n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作个小曲边梯形，他们的面积分别记作 （2 2） 以直代曲以直代曲 （3 3）作和）作和 , n n , n 1n , n i , n 1i , n 2 , n 1 , n 1 , 0 n 1 n 1i n i x 每个区间的长度为 .S,S,S,S ni21 n 1 ) n 1i (x) n 1i (fS 2 i ) 1n(210 n 1 n 1 ) n 1- i ( n 1 ) n 1- i f( SSSSS 2222 3 n 1i 2 n 1i n 1i in21 （4 4）逼近）逼近 分割分割 以曲代直以

8、曲代直 作和作和 逼近逼近 当分点非常多（当分点非常多（n n 非常大）时，可以认为非常大）时，可以认为 f(x)f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常在小区间上几乎没有变化（或变化非常 小）小） ，从而可以取小区间内任意一点，从而可以取小区间内任意一点 xixi 对应的函数值对应的函数值 f(xi)f(xi)作为小矩形一边的长，于是作为小矩形一边的长，于是 f(xi)f(xi) xx 来近似表示小曲边梯形的面积来近似表示小曲边梯形的面积 表示了曲边梯形面积的近似值。表示了曲边梯形面积的近似值。 变式拓展：求直线x=0,x=2,y=0 与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积 反思: 例 2：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻t的速度为2)( 2 ttv(单位 )/hkm，求它在10 t(单位：h)这段时间内行使的路程S(单位:km) 变式拓展：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻t的速度为5)( 2 ttv(单 位)/hkm,求它在20 t(单位:h)这段时间内行使的路程S(单位:km) 。面积为，即所求曲边三角形的所以 时，亦即当分割无限变细，即 3 1 3 1 S 3 1 ) n 1 2)(