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文档简介

1、第三节 牛顿迭代法与弦割法,1、牛顿法基本思想,将非线性方程线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解。,将非线性方程线性化，,取 x0 x*，将 f (x) 在 x0 处做一阶Taylor展开:,， 在 x0 和 x 之间,2. 牛顿迭代法的原理,，可将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：,如何实现？,取,x0,3. 牛顿迭代法的几何解释：,方程 的根 在几何上是曲线 与 x 轴的交,点的横坐标。若 是根 的一个近似，过曲线上横坐标为,的点 作曲线 的切线，则该切线与 x 轴交点的横坐,标即为 。,x0,例2.5：写出求 的牛顿迭代格式；写出求 的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算，又无

2、除法运算。,解：,等价于求方程 的正根,解法一：,等价于求方程 的根,退化为二分法！,解法二：,等价于求方程 的正根,设 x* 为方程 f (x) = 0的根，在包含x*的某个开区间内 连续，且 ，则存在 x* 的邻域 ，使得任取初值 ，由牛顿迭代法产生的序列 以不低于二阶的收敛速度收敛于x*，且,4、牛顿迭代法的局部收敛性定理,其中 ，则,收敛,由泰勒展开：,在单根附近收敛快！,只要 ，则令 可得结论。,证明：,牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代,在 和 之间, 重根,Q1: 若 ，牛顿迭代法是否仍收敛？,设 x* 是 f 的 n 重根，则： 且 。,因为牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动

3、点迭代， 其中 ，则,A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。,Q2: 如何加速重根的收敛？,A2: 根的重数已知，可将 f 的重根转化为另一函数的单根。,令，则 f 的重根是 的单根，且,从而可构造出相应的迭代法格式为,对 构造出相应的牛顿迭代格式，迭代函数为,若已知根的重数为 n，可将迭代格式改为，, 收敛速度快，稳定性好； 精度高。, 在重根附近收敛速度会降阶； 每次都要计算函数及其导数值，计算量大。,注解：牛顿法是局部收敛的，所以要求初值 选在解 的附 近，实际计算时，常先用简单迭代法算几步，估计出一个质 量较好的初值！,主要缺陷！,收敛比牛顿迭代法慢，且对初值要求同样高。,第五节 弦割法,切线,割线,切线斜率割线斜率,需要2个初值 x0 和 x1。,基本思想：牛顿迭代法每一步要计算 f 和 ，为了避免计算

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