第3章 图形的基本运算.ppt

1、第3章 图形的基本运算,主要介绍 变换的数学基础二维几何变换 二维的基本变换 齐次坐标与二维变换的矩阵表示 图形的集合运算,一、变换的数学基础(1/4),矢量 矢量和,变换的数学基础(2/4),矢量的数乘 矢量的点积 性质,变换的数学基础(3/4),矢量的长度 单位矢量 矢量的夹角 矢量的叉积,变换的数学基础(4/4),矩阵 阶矩阵 n阶方阵 行向量与列向量 单位矩阵,矩阵的加法 c=A+B 矩阵的乘法 C=A m n*B n m A的列数=B 的行数才可以乘 满足结合律：ABC=(AB)C=A(BC) 满足分配律：A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA 不能交换 AB BA 矩阵

2、的转置 :行列互换 矩阵的逆 : A,B 为n阶矩阵有AB=BA=In 这时称 B为A的逆,sin( ) =sincos sincos cos( +) =coscos-sinsin cos( -) =coscos+sinsin,二维基本变换（1/3）,平移变换,平移变换的理解 点（x1,y1)平移tx=5,ty=5 离开原点 点（x1,y1)平移 tx=-5,ty=-5 向原点方向（左下）移动 如果移点（x1,y1) 到 (0,0)点 也可以理解为原点移动到（ x1,y1 ）点. 移点和移坐标效果是一样的. 坐标用来描述点在空间的位置 坐标原点的改变 使点（x1,y1)的坐标值变化成（0,0）

3、(虽然点的空间的位置没有动.但在新) 坐标系中点（x1,y1)位置是(0,0)点,相对与原来坐标系,点平移了.,二维基本变换（2/3）,旋转变换 点P(x,y,)的极坐标表示 绕坐标原点旋转角度 （逆时针为正，顺时针为负） 极坐标形式：x=rcos y=rsin 旋转 角度后 X= rcos( +) =xcos-ysin y=rsin( +) =xsin +ycos 引入变换矩阵R,p=R P,x= xcos - ysin Y= xsin +ycos,二维基本变换（3/3）,放缩变换(比例） 点P(x,y)在x,y方向分别放缩sx ， sy倍 p? 以坐标原点为放缩参照点 不仅改变了物体的大小

4、和形状，也改变了它离原点的距离 例 p54/图3-2,A 10 26 2 0 20 52 B 10 10 0 2 = 20 20 C 20 10 40 20,三、齐次坐标与二维变换的矩阵表示,为什么需要齐次坐标？ 不齐次无法运算,多个变换作用于多个目标,变换合成,变换合成的问题,引入齐次坐标,变换的表示法统一,齐次坐标与二维变换的矩阵表示（2/4）,齐次坐标 (罗列定义） 定义 (p53) (x,y)点对应的齐次坐标为即 （x*h,y*h,h) or 反之给一个点p(x*h,y*h,h )，可得2-D直角坐标中x,y: x*h/h=x, y*h/h=y 一般表达式:见53页/(3-1)这是归一

5、化的,齐次坐标与二维变换的矩阵表示（3/4）,点的齐次坐标(x,y,1) 二维变换的矩阵表示 平移变换 :p =T*P p =P*T 注意： 矩阵不能交换 所以位置变化时T要 改变,旋转变换（ p/4 /54) p =T*P p =P*T T: cos sin 0 -sin cos 0 0 0 1 总之：T的行列互换即可,齐次坐标与二维变换的矩阵表示（4/4）,放缩变换 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成（变换的组合方式） 便于硬件实现 T的一般形式：p53/3-1式 现在可以用齐次坐标实现用变换的组合方式） 表示一个图形的连续变换,复合变换及变换的模式,问题：如何实现复杂变换？ 关于任

6、意参照点 的旋转变换 T(-x,-y)*p- R( )* (T(-x,-y)*p) t(xr,yr)*(R( )* (T(-x,-y)*p) 可以看作一个合成的变换： R(xr,yr, ),变换分解,变换合成,复合变换及变换的模式（2/6）,关于任意参照点 的放缩变换 例p55/例3-1： 三个点可以组成一个矩阵（每一行对应一点，变换对于每一行是独立的） 一个三角形绕q点正向旋转30 分解：原点移到q点，正向旋转30，移回原点,P55 例3-1,T: 1 0 0 0 1 0 tx ty 1 tx= -5 ty= -25 T: cos sin 0 cos 30 =0.866 -sin cos 0

7、 sin 30 = 0.5 0 0 1 T: 1 0 0 0 1 0 tx ty 1 tx= 5 ty= 25,（3/6）,变换的固定坐标系模式 相对于同一个固定坐标系 先调用的变换先执行，后调用的变换后执行,Rotate2D(45); Translate2D(1,0); House();,其它变换（1/6）,对称(反射)变换 关于x轴的对称变换 关于y轴的对称变换,其它变换(2/6),关于任意轴的对称变换 y=bx+a 旋转 旋转 平移,其它变换（6/6）,仿射变换,坐标的变换,前面已经提到点p的坐标变化和点p的不动,而坐标移动,起效果是一致的. 图3-6说明点p旋转+300 和p的不动而

8、坐标旋转-300效果是一致的: p的坐标都由(2,2)变为(0.73, 2.73),二维图形的显示流程图（1/4）,坐标系：建立了图形与数之间的对应联系 世界坐标系(world coordinate) 用户坐标系(user coordinate) 局部坐标系(local coordinate),二维图形的显示流程图（2/4),屏幕坐标系(screen coordinate) 设备坐标系(device coordinate),二维图形的显示流程图（3/4）,窗口 在世界坐标系中指定的矩形区域 用来指定要显示的图形 视区 在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置 窗口到视区的变换,二维图形的显示流程图（4/4）,窗口到视区的变换（1/2）,目标 将窗口之中的图形变换到视区中 变换的求法 变换的分解与合成,窗口到视区的变换（2/2）,三维几何变换（1/5）,三维其次坐标 (x,y,z)点对应的齐次坐标为 标准