曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)

1、第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题1曲线积分与路径无关，其中有一阶连续偏导数，且，则 BA. B. C. D.02闭曲线C为的正向，则 C A.0 B.2 C.4 D.63闭曲线C为的正向，则 DA. B. C.0 D. 4为YOZ平面上，则 DA.0 B. C. D. 5设，则 CA. B. C. D. 6. 设为球面，则曲面积分的值为 B A. B. C. D.7. 设L是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分 C A. B. C. D. 8. 设I= 其中L是抛物线上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=D A. B. C. D. 9. 如果简单闭曲线 所围区

2、域的面积为 ，那么 是（ D ） A. ； B. ； C. ； D. 。10设，为在第一卦限中部分，则有 CA. B. C. D.二、填空题1. 设L是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分 -2 2.S为球面的外侧,则0 3. = 4曲线积分，其中是圆心在原点，半径为的圆周，则积分值为5设为上半球面，则曲面积分= 32 6. 设曲线为圆周,则曲线积分 .7. 设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分1+ 8. 设为上半球面，则曲面积分的值为 。9. 光滑曲面z=f（x，y）在xoy平面上的投影

3、区域为D，则曲面z=f（x，y）的面积是 10设是抛物线上从点到点的一段弧，则曲线积分 1211、 。12、设为的正向，则 。三、计算题1，其中为圆周，直线及x轴在第一象限所围图形的边界。解：记线段方程，圆弧方程线段方程。则原式 2，其中为曲线与直线段所围闭区域的正向边界。解：利用格林公式，则 ，故原式 3，其中为圆周的上半部分，的方向为逆时针。解：的参数方程为，从0变化到。故原式 4求抛物面被平面所割下的有界部分的面积。解：曲面的方程为，这里为在XOY平面的投影区域。故所求面积 5、计算，其中为圆的上半圆周，方向为从点沿到原点O。解：添加从原点到点A的直线段后，闭曲线所围区域记为D，利用格林

4、公式，于是而，于是便有 6，其中为球面在第一卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ平面内的圆弧的参数方程 ，从变化到0。于是由对称性即得 7，其中为平面 所围立体的表面的外侧。解：记为该表面在XOY平面内的部分，为该表面在YOZ平面内的部分，为该表面在XOZ平面内的部分，为该表面在平面内的部分。的方程为，根据定向，我们有同理，的方程为，故，由对称性可得，故 于是所求积分为 8计算曲面积分：，其中为曲面的外侧。解：利用高斯公式，所求积分等于=8 9. 计算I=，其中S为x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立体的表面外侧解：设V是x+y+z=1, x

5、=0, y=0, z=0所围的立体由Gass公式得: I= = = 10计算I=,其中是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)的直线段AB解：直线段AB的方程是；化为参数方程得： x=3t, y=2t, z=t, t从1变到0， 所以： I= 11. 计算曲线积分I= 其中是由点A(a,0)至点O(0, 0) 的上半圆周解：在x轴上连接点O(0, 0), A(a, 0) 将扩充成封闭的半圆形AMOA 在线段OA上, 从而 又由Green公式得: 12. 计算曲线积分其中L是z=2与z=3 的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向解：将L写成参数方程: x=cost, y=sint, z=2

6、 t: 0 于是: = = 另证：由斯托克斯公式得=上侧，则： 13. 设曲面S为平面x+y+z=1在第一卦限部分，计算曲面S的面积I解：S在xoy平面的投影区域为： I= 14. 计算曲线积分其中L是沿着圆 从点A(0,1)到点B(2, 1)的上半单位圆弧 解：设， 当时，故：所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关 则：= =ln5-arctan2 15. 确定的值，使曲线积分在平面上与路径无关。当起点为，终点为时，求此曲线积分的值。解：由已知，；由条件得 , 即 , 16. 设曲面S为球面被平面z=1截出的顶部，计算I=解：S的方程为：S在xoy平面的投影区域为： I= 17. 计算I

7、=，其中是，取下侧解：作辅助曲面: z=a，取上侧 设为,所围闭区域 为平面区域 = = 18.为上半椭圆圆周，取顺时针方向，求ABxy0解： 19计算曲面积分，其中为锥面与所围的整个曲面的外侧。解： 由高斯公式，可得 20计算曲线积分，其中是椭圆的正向。解：令, , 则。设所围成的闭区域为，则其面积。从而由格林公式可得. 21设为柱面在使得，的两个卦限内被平面及所截下部分的外侧，试计算。解：将分成与，其中：（取上侧），：（取下侧），与在面上的投影为，故 22 计算曲面积分，其中是柱面介于的部分。解：设为在第一卦限的部分曲面。，得。在面上的投影域为。故 23. 计算曲面积分，其中是旋转抛物面介

8、于及之间部分的下侧。解：利用高斯公式，取且。取上侧，与构成封闭的外侧曲面，所围的闭域为，对应的为：。 24计算曲线积分，其中是自点沿曲线到点的曲线段。解：,取小圆周充分小,取逆时针方向,则由Green公式可得: 25用高斯公式计算，其中柱面及平面围成封闭曲面的外侧。解： 原式= = = = = 26计算曲面积分，其中是曲面被平面所截下的部分，取下側。解：补,取上侧, 而,其中 , 27计算曲线积分，其中L是区域0x1，0y1的边界正向。解：利用Green公式= 28、计算曲面积分，其中为平面方程x+y+z=1在第一卦限的上侧。解：= 或由对称性：，而，故。或可知。 29. 计算，其中L是由点A（0，0）到B（，2）的直线段。解：AB的方程 30、设可微，且曲线积分与路径无关。求。解：因该项积分与路径无关，所以。令，得微分方程，解得，（2分）代入条件得C=1从而有 31、计算对面积的曲面积分 。解:曲面在XOY平面上的投影为 原式= =32、计算曲面积分，其中是曲面在的部分的下侧。解：补充曲面且取上侧，又，由高斯公式 = 四、综