第03章 刚体力学基础(转动定理新法).ppt

1、第三章 刚体力学基础,chapter ,bases of rigid-body mechanics,3-1 刚体运动的描述,3-2 刚体定轴转动的转动定律,3-3 刚体定轴转动的的功和能,3-4 角动量定理 角动量守恒定律,本章内容,3-1 刚体运动的描述,质点力学中，我们把物体当作质点处 理，显然过于理想化。在很多实际问题中， 必须考虑物体的大小与形状，不能抽象为 质点。,刚体力学就是解决有大小、形状物体的运动 与动力学规律的。,需要一个新的模型,内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的,任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化模型）。,一刚体,质点质点系刚体,刚体不发生形变，所以各质

2、元间的距离不 发生变化，因此刚体是一个不变的质点系,这样，就可以把质点的动力学规律用于每 个质元，再考虑到刚体的特点，从而得到刚体 整体所服从的规律,刚体力学的研究方法,刚体与一般质点系的区别,质心,选哪个点来代表？,平动特点：其上各个质点的运动状态完全相同，故 可用任意一点的运动代表刚体整体的运动。,通常用质心的运 动来代表整体的运动。,2,二刚体的运动,1.平动：在运动时，刚体上任意两点的连线方向在各个时刻的位置始终保持平行。,作平动的刚体可简化为质点,转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .,P,x,适用于质点的圆周运动,通过一个共同的角位移、角速度

3、和角加速度 来描述刚体的转动,定轴转动的研究方法：,二刚体的定轴转动,.定轴转动的特点,(1) 角位置,定轴转动的运动方程,(3) 角速度,(4) 角加速度,单位：,弧度(rad),(2) 角位移,6,. 刚体定轴转动的描述,方向: 右手螺旋方向,定轴转动中角量与线量的基本关系,7,角量描述的是整个刚体的运动特性,线量是表示刚体上某点的运动特性,【比较】 1）匀加速度直线运动：2）匀角加速定轴转动：,例3-1 一飞轮直径为0.30m, 质量为5.00kg，边缘绕 有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀地 加速 ，经 0.50 s 转速达10revs。假定飞轮可看 作实心圆柱体，求： （1

4、）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数； （2）从拉动后经 t =10s时飞轮的角速度及轮边缘 上一点的速度和加速度。,n,=,2,(1),解：,（1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；,=1.26103 (rad/s),解：,（2）从拉动后经 t =10s时飞轮的角速度及轮边缘 上一点的速度和加速度。,Law of rotation on Rigid body with fixed-axis,3-1 刚体定轴转动的转动定理,: 力臂,刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 .,对转轴 Z 的力矩,一 力矩,- 1.

5、 力在转动平面内(与转轴垂直）,2. 力不在转动平面内(不与转轴垂直）,在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩 是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。,对转动无贡献。,合力矩,合力矩等于各分力矩的矢量和,3 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,O,二 定轴转动定律,2）刚体,质量元受外力 ，内力,1）单个质点 与转轴刚性连接,外力矩,内力矩,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .,转动定律,定义转动惯量,在刚体运动中，转动定理的地位与质点运动中牛顿第二定律相当。,注意： 是对同一转轴的。,(1)质点：力F是产生a的原因，m是物体惯性的量度 (2)刚体：

6、力矩M是产生的原因，I是转动惯性的量度,质点：,刚体：,比较,三、 转动惯量,1. I 的物理意义,I 是刚体转动惯性大小的量度,2. 决定 I 的因素,（1）与刚体质量有关,（2）与刚体质量分布有关,（3）与转轴有关,例：轻杆上固定三质点，可绕 l 轴转动,. 转动惯量I 的计算,质量离散分布刚体的转动惯量,（2）连续型,原则：,（1）任取小质元 dm 并 写出其表达式,（2）取 ， r 是dm到转轴的垂直距离。,（3）统一变量后积分,解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为 处的质量元,例2 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .,如转轴过端点垂直于棒

7、,例3. 求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过环心。,解：,若是半径为R的薄圆筒 （不计厚度）结果如何？,在圆环上取质量元dm,结果形式不变！,13,例4 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .,解 设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环,而,圆环质量,所以,圆环对轴的转动惯量,. 平行轴定理与垂直轴定理,平行轴定理：,例：,垂直轴定理,例：,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,匀质薄圆盘,匀质细直棒,转轴通过中心垂直盘面,2,2,J =,mR,1,2,3,J =,mL,1,转轴通过端点

8、与棒垂直,两个常用的结果,18,解题要点：,对（刚体+质点）组成的系统，用隔离物体法,对刚体：力矩分析，用转动定律,对质点：受力分析, 用牛顿第二定律,辅助方程：线量与角量的关系,四、 转动定律的应用,例1 薄圆盘质量为M，半径为R，绳子绕在盘上，绳子一端在接力作用下运动的加速度是a，求拉力F。,a F,解：以滑轮为研究对象，分析力矩 由转动定理有,则得,盘边缘的切向加速度等于绳子下移的加速度，,例2 已知：定滑轮质量为M,半径为R,视为刚体。 求：m的加速度a=?,解：,选M为研究对象,选m为研究对象,(1),(2),(3),联立方程(1)、（2）、（3）可得,m2,m1,R,M,解：,当滑

9、轮质量M=0时，,33 刚体定轴转动的功和能,Relation of work with energy in rotation of rigid-body,力 的元功,若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，,M,M,作的总功为,A,一力矩的功和功率,力矩的功率,对比: 质点的直线运动 刚体的定轴转动 功 功率,思考:,重 力 矩 做 的 功,重 力 做 的 功,力矩做功实质上仍是力所做的功,二转动动能,三 、定轴转动动能定理,刚体定轴转动动能定理：,合外力矩的功,转动动能的增量,已知,水平位置静止释放,四、含 的功能原理,质 点 平 动,刚体定轴转动,动能=质点动能+刚体的转动动能， 势能=

10、质点势能+刚体质心的势能。,外力功=外力对质点所作的功+外 力矩对刚体定轴的功。,这时，功能原理、机械能守恒定律仍然适用。,推广： 对含有刚体和质点复杂系统，若 外力不做功，且内力都是保守力 ，则系统机械能守恒，即,解法3：,若：系统,则：,例2 如图示，均匀直杆质量为m，长为l，初始水 平静止。轴光滑， 求杆下摆到 角时， 角速度,解：取（杆+地球），只有重力作功，E 守恒。,初态：,末态：,则： （1）,由平行轴定理,有： （2）,(1)、(2) 解得：,例： 一质量为M，半径为R的圆柱，可绕一无摩擦的水平轴O转动。绳索一端在圆柱的边缘上，另一端悬挂质量为m的物体。问物体m由静止下落高度h

11、时，其速度为多大？设绳的质量可以忽略，且绳不伸长。,解法一：取m末位置为重力势能零点，,代入,解得,解法二：对m与圆盘分别应用动能定理,解得,h,T,T,mg,M R,考虑到,外力对m作功：,力矩对M作功：,3-4 刚体定轴转动角动量定理,angular momentum in rotation of a rigid body,回顾:,质点的角动量,p,sin,L=,r,j,定义,大小:,方向: 右手法则,单位: kgm2/s 或 Js,一. 刚体对定轴的角动量,质元,刚体,二. 角动量定理,1. 角动量定理的微分形式,t:,角动量定理：作用在刚体的合外力的冲量矩等于在作用时间内，刚体角动量的

12、增量。,2. 角动量定理的积分形式,角动量定理,角动量守恒定律,合外力矩：,三. 角动量守恒定律,角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.,内力矩不改变系统的角动量.,守 恒条件,若 不变， 不变；若 变， 也变，但 不变.,花 样 滑 冰,合外力矩为零时，系统总角动量不变。,3. 复杂系统共轴（质点+刚体）,合外力矩,总角动量,共轴系统,若,0,L,M,S,外,则,恒矢量,质点,L,刚体,+,(1). 如何求角动量？,若质点速度不变, 则质点在 不同的点，角动量相同。,角动量与转轴有关，与点有关。,认定转轴,取逆时针为转动“+”方向，有,碰前:,碰后:,例: 碰前后瞬时m在点A，设OA = x,(2).角动量定理和角动量守恒定理解题步骤,(1) 隔离物体，受力分析,(2) 认定转轴，建立坐标系，确定转动正方向。,(4) 分别写出系统在初、末态的总角动量。,(5)列方程，求结果。,(3) 计算合外力矩的冲量矩，若 ，则用 守恒律，否则，用角动量定理。, 例1 一质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅直状态。现有一质量为m