【高中数学选修2-2】1.1.1变化率问题.ppt

1、1.1.1 变化率问题,导数是微积分的核心概念之一它是研究函数 增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、 最有效的工具。而对于导数的学习，我们首先要 明确函数的变化率。,问题1 气球膨胀率,在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?,气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是,若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么,当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了,气球的平均膨胀率为,当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了,气球的平均膨胀率为,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率

2、逐渐变小.,问题1 气球膨胀率,在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?,气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是,若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.,思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?,答：,气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率,刻画了气球半径变化的快慢.,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系:,问题2 高台跳水,在高台

3、跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系:,如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么:,在0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用每一时刻的速度（即瞬时速度）描述运动状态。,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:,(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?,探 究,(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,函数的平均变化率定义：,如果上述两个问题中的函数关系用y=f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子,表示，我们把这个式子称为函数

4、y=f(x)从x1到x2的平均变化率.,特别提示：,函数的平均变化率定义：,如果上述两个问题中的函数关系用y=f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子,表示，我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.,函数的平均变化率：,说明：,1、式子中x 、 y 的值可正、可负，但x值不能为0， y 的值可以为0,(若函数f (x)为常函数时， y =0 ),2、变式:,观察函数f(x)的图象，思考平均变化率 的几何意义?,思考,直线AB的斜率,例1. (1)计算函数 f (x) = 2 x +1在区间 3 , 1 上的平均变化率 ；,(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率

5、。,(1)解： x=-1- (-3)=2 y=f (-1)- f (-3)=4,(2)解： y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2,例2.求函数 在 到 之间的平均变化率.,求函数的平均变化率的步骤: (1)求自变量及函数的增量： x=x2-x1; y=f(x2)-f(x1). (2)计算平均变化率：,练习题,1.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+x时，函数的改变量为（） Af(x0+x)B f(x0)+x Cf(x0 ) x Df(x0+x) f(x0),D,2. 一质点运动的方程为s=12t2，则在一段时间1，2内的平均速度为（） A4 B8 C 6 D6,C,3. 在曲线y=x2+1的图象上取一点(1, 2)及附近一点(1+x , 2+y)，则 为（） A B C D,C,