欧氏几何的公理化方法A

1、第三章 欧氏几何与公理化方法,欧氏几何的公理化方法,一、公理化思想方法的内涵与价值 二、直观公理化时期几何原本 三、思辨性的公理化时期非欧几何 四、形式主义的公理化时期希尔伯特的几何基础 五、结构主义的公理化时期布尔巴基的数学原本 六、张景中公理几何体系 五、中学数学教材中的公理系统,一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是“公理”？ 公理 ：在一个系统中已为反复的实践所证实而被 认为不需要证明的真理，是可以作为证明中的理论依据。,什么是“公理化方法”？,公理化方法：从某些基本概念和基本命题出发，依据特定的演绎规则，推导是系列定理，从而构成一个演绎系统的方法。,公理的自明性,公理化体系所依赖的“

2、演绎推理”规则,公理化方法的目标：形成一个演绎的科学体系,公理的选取必须符合：,相容性,独立性,完备性,公理化思想方法的作用,(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。 (2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性 异同。 (3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。 (4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性 和结构和谐性确实符合数学美的要求。,公理化方法的发展经历了以下几个时期,1、直观公理化时期 2、思辨性的公理化时期 3、形式主义的公理化时期 4、结构主义的公理化时期,二、直观公理化时期几何原本,几何原本 公元前3世纪， 1607年 前6卷译成中文 “ 此书有四不必：不必疑，不必揣，

3、不必试，不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已”徐光启,几何原本的主要内容 共13卷 第一卷：提出23个定义、5条公设、 5条公理、 48个命题 第一卷从定义、公设、公理开始，接着用 48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形。,1）点是无大小的； 2）线是有长度而无宽度的； 3）线的界线是点； 4）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样放置着的； 5）面只有长度和宽度； 6）面的界线是线；

4、 7）平面是这样的面，它上面的直线是同样地放置着的； 8）平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度； ,公设,.从任意点到另一点可以作直线 . 一条直线可以无限延长 .以任意点为中心，任意长为半径可以作圆周 IV.凡直角都相等 V. 平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两内角之和小于两直角，则此两直线必相交于截线的这一侧。,公理,.等于同一量的量彼此相等； .等量加等量，其和仍相等； .等量减等量，其差仍相等； IV.互相合同的就是相等的； V. 全量大于部分。,欧几里得证明方法思路清晰，整个证明建立在严密的公理化基础上，使几何学成 为了真正的科学 几何原本中的命题有两种类型 一种是根据假设、公

5、设、公理和定义利用逻辑推理得出结论 另一类是作图题，由已知的对象找出或作出所求对象。,第二卷：14个命题,包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。,第三卷：37个命题 包含圆心角、圆周角、切线、割线的理论及圆幂定理等。,命题16 在圆的直径的端点所作直径的垂线必在圆外，不能有其它的直线插在这垂线与圆之间，而且半圆的角大于锐角，其余的角小于任意锐角。,第四卷：16个命题 包含圆的内接和外多边形的性质及正5、6边形的作图等。 第五卷：25个命题 内容为欧道克斯的比例论,欧道克斯的比例论 18个定义。,如 定义 1）小的量能量尽大的量时，小的量为大的量的部分。 2）大的量能被小的量尽时，大的量为小的量

6、的倍数。 3）比是两个同类量的大小之间的一种关系。 4）可比的两个量，如果一个量的倍数大于另一个量，那么说，这两个量彼此之间构成了比。,5）四个量形成第一个量与第二个量之比以及第三个量与第四个量之比，我们说这两个比是相同的：如果取第一、第三两个量的任何相同的倍数，取第二、第四两个量的任何相同的倍数后，从头两个量的倍数之间大于、等于、或小于可以推出后两个量的倍数之间的相应关系。,第七九卷：数论初步 第十卷：讨论不可公度量的分类，包括与整数的开方有关的几何运算。 第十一十三卷：立体几何，分别由40、18、19个命题组成。包含直线与平面的位置关系、多面角、棱柱体、相似体积之比及正多面体等,三、思辨性

7、的公理化时期非欧几何,原本的成就： 集古代数学之大成，论证严密，影响深远，是2000千年来公认的第一部科学巨著。其中作了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。,原本的不足： 原本的逻辑体系是不严密、不完备的 1、缺少连续公理 2、缺少合同公理 3、缺少顺序公理,原本对一些基本元素（原始概念），如点、线、面等进行定义，这是不可能的。,原本中的公理体系作为几何学的逻辑推理基础是不够严密的，应该怎样修改、补充分理、定义才能使几何学成 为逻辑上完美无缺的科学？,两方面的研究,一方面增加或改换公理,另一方面是试证第五公设,第V公设的试证,萨开里四边形 如图四边形ABCD中 A、 B均为直角，ADBC。AB、

8、CD分别叫它的上底边和下底边， A 、 B叫下底角， C 、 D叫上底角。,M,N,有1） C D 2）上底边中点和下底边中点连线垂直于上下底边。,萨开里作了如下三个互不相容的假设。 1、上底角是直角 2、上底角大于直角 3、上底角小于直角,伦培得四边形 如图四边形ABCD中 A、 B、 C均为直角。,也作了三个互不相容的假设。 1、 D是直角 2、D大于直角 3、D小于直角,勒让德则研究三角形的内角之和,否定了三角形内角和大于二直角， 由三角形内角和等于二直角证明了第V公设成立， 但也没能够证明三内角和小于二直角的三角形不存在。,高斯 波尔约 罗巴切夫斯基,平行公理：有这样的直线a和不在其上

9、一点A，过A至少两条直线与a共面不相交。,四、形式主义公理化时期 希尔伯特的几何基础,希尔伯特的公理系统，放弃了欧氏体系中公理的直观显然性，把初等几何中有关基本概念的根本关系和性质抽取出来作为公理，给出了一个自然、简明、全面而又严密的几何公理系统。,与欧氏公理系统不同的是，他对公理体系中基本概念和公理不给予任何具体的称为点、线、面。 在这三个集合中，引进用“结合”、“顺 序”、“合同”、“连续”、“平行”等词表示的五种关系，而关系的性质用相应的五组公理来刻画。,希尔伯特的公理体系,基本概念：基本元素和基本关系,基本公理：关联公理、顺序公理、合同公理、连续公理、平行公理,基本元素：点、直线、平面

10、 基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系,绝对几何：以上公理体系去掉平行公理,绝对几何加上欧氏平行公理构成欧氏几何,绝对几何加上罗氏平行公理构成罗氏几何,结合公理,1 对于两个不同的点,恒有一直线结合其中的每个点； 2 对于两个不同的点，至多有一直线结合其中的每个点； 3.1 每直线上至少有两个点； 3.2 至少有三点不在同一直线上； 4.1 对于不在同一直线上的三点，恒有一平面通过它们中的每个点；,希尔伯特几何公理体系,结合公理,4.2 每个平面上至少有一个点； 5 对于不在同一直线上的三点，至多有一平面通过它们中的每个点； 6 如果直a上的两个点在平面上，则a上的每个点在上； 7 如果两个

11、平面有一个公共点，则至少有另一个公共点； 8 至少有四个点不在同一平面上。,建立在结合公理上的结论 定理1 （1）两直线至多有一个公共点；（2）一个平面和不在其上的一直线有一个公共点； （3）两个平面或者既无公共点又无公共线，或者有一条公共直线，它们的所有点都在这条直线上。,定理2 过不共线三点恰有一平面；过一直线及不在其上的一点恰有一平面；过有公共点的两直线恰有一平面。,定理3 每个平面上至少有三个不在同一直线上的点。,结合公理 保证了： 直线、平面的存在性； 空间是三维的。 至少有四个点、六条直线、四个平面。,顺序公理,1 若点B在点A与点C之间，则A、B、C是一条直线上的三个不同的点，且

12、点B也在C与A之间。,2 对于任意两点A和B，直线AB上至少有一点C，使得B在A和C之间。,3在一直线上任意三点里，至多有一点在其余两点之间。,顺序公理,定义2 直线上无序两点A、B间的集合叫线段。 A、B之间所有点的的集合叫开线段。记（AB）,定义3 不共线的点A、B、C和三开线段（AB）、（BC）、（AC）的集合称为三角形。,4 设A、B、C不在同一直线上，直线a在平面ABC上但不过A、B、C中任意一点，若a过（AB），则它必过（AC）的点或（BC）的点。,1）公理13是直线上的点的顺序公理， 4是平面顺序公理； 2）2保证线段外部有点，3断言共线三点至多有一点在其余两点之间； 线段内部有

13、点，共线三点是必存在一点在其余两点之间的都要途径到巴士公理4 。,定理1 对于任意两点A、C ，直线AC上至少有一点F在 A、C之间。,顺序公理及重要结论,定理2 在一直线上的三点中，必有且只有一点在其余两点之间。,定理3 直线a与ABC共面而不过其顶点，若a交其一边，则必交其另一边，但不得再交第三边。,证明） 由3.2 知直线AC外有点B，由1 、2 和2知直线CB上有点P，且B在P和C之间，同理直线A P外有点Q，使P在A和Q之间。由4直线QB在平面APC上，但不过A、P、C中任意一点，且QB过（PC），则它必过（AC）的点或（AP）的点。若QB过（AP）的点，由1 、2知Q在A和P之间，

14、与使P在A和Q之间矛盾（3）。所以QB必过（AC）的点F。即直线AC上至少有一点F在 A、C之间。,定理4 线段AB内部的点有无穷多个，线段AB外部的点有无穷多个。 定理5 直线a上任意一点O,把a上所有点分成两类，使得点O在异类两点之间，而不在同类两点之间。,顺序公理及重要结论,定理6 平面a上任意直线a，把平面a上不属于a的所有点分成两类，在直线a的同侧任意两点属于同一类，在直线a的异侧任意两点属于不同类。 ,在顺序公理基础上 对直线上的点的顺序做出了规定，对平面和空间也做了相应的划分。 如，任意一个平面a把空间内不在a上的所有点分成两类，属于不同类的两点连成的线段一定与a有交点，而属于同

15、一类的两点连成的线段与a无交点。 还给出折线，多边形，多边形的内部、外部等概念。,合同公理,1 设A、B是直线a上两点，A是同一直线或另一直线a上一点，则在a上A的已知一侧恒有一点B，使线段AB合同于AB。,2 若两线段都合同于第三线段，则这两线段也合同。,3 开线段（AB）、(BC）均在直线a上而无公共点，开线段（AB）、(BC）均在同一直线或另一直线a上，也无公共点， 若AB AB， BC BC则AC AC,合同公理,4.1 已知平面上的一角（k,h），平面的一直线a的一侧，以及a上以点O为原点的一条射线h，则a上恰有一射线k， 使（k,h）合同于（k,h） ，且k在a的已知一侧。,4.2

16、 （k,h）（h, k）。,5 对于两个三角形ABC和ABC。 若AB AB， AC AC，BAC BAC 则ABCABC,合同公理及重要结论,定理1 线段移法的唯一性。,定理2 （减线定理）设点B在点A、C之间，点B 、C在直线A B上A 的同侧，且AB AB， AC AC 则设点B在点A、C之间且BC BC 三角形全等的判定定理。 （1）边角边； （2）角边角； （3）边边边,合同公理及重要结论,定理：（角的可加、减性定理）设h、l、k和h、l、k分别是从O和O点出发的三条射线，每一组的三条射线都在同一个平面上，并且h、l、k中有一条在其它两条之间时，射线h、l、k中也对应有同样的关系。

17、若( h,l) (h,l ), (l,k) (l, k), 则 ( h,k) (h,k ).,合同公理及重要结论,定理：三角形的每一个外角都大于其任意一个不相邻的内角。 证明：设CAD是ABC的一个外角， 下证CAD ACB ，CAD ABC 。,假设CAD ACB ，在直线AB上取点D，使ADBC，且A在B、D之间。,设E为直线BC上的一点， 且C在B、E之间， 有ACE CAB，,由公理知ACD CAB。,假设CADACB，在CAD内部作射线CM，使ACM CAD ， CM交线段AB于内点M，这时由上面所证得出矛盾。,从而ACD ACE，由移角的唯一性知射 线CD与CE重合，故D在直线BC

18、上，与A不在直线BC上相矛盾。,合同公理及重要结论,推论：若共面的两直线被第三直线截得相等的同位角，则此两直线不相交。 推论：通过已知直线外一点，至少可以引一直线与已知直线共面不相交。 定理:直角是存在的。 定理:对于任意两条线段AB和CD,下面的关系部有一个成立,而且只能有一个成立. AB=CD,ABCD，ABCD.,合同公理及重要结论,定理: 三角形合同的角角边定理. 定理: 三角形中较大的边所对角较大,反之亦然. 定理:每条线段有且只有一个中点; 每个角有且只有一条角平分线. 定理:在一平面上,通过已知点A可作直线a的一条且只有一条垂线. 任何三角形至少有两个锐角; 垂线短于斜线; 等腰

19、三角形三线合一.,连续公理,V1 设AB和CD是任意的两条线段，则在AB上存在有限多个点A1、A2、An，使得A1在A和A2 之间， A2在A1和A3之间，An-1在An-2和B之间， B在An-1在An和B之间，并且线段A1A2 A2A3 An-1 An都合同于线段CD。,V2 直线上所成的点集，连同其顺序关系和合同关系，不能再行扩充，使得扩充后，仍满足公理、和V1 。,连续公理,V2 设任意直线a上有一个由线段A1B1 ，A2B2 ，所组成的无穷序列，其中后面的每一个线段都落在前一个线段内部；又设对于预先给定的线段都可以找到自然数n使得线段AnBn，那么在直线a上存在着一个点P落在年有线段

20、内部。,戴德金分割,设线段AB及其内部的所有点能被分成两类，且具有下列性质。 （1）每点恰属于一类，A属于第一类，B属于第二类； （2）第一类中异于A的每个点，在A和第二类点之间。 则必存在一点C，使A、C间的点都属于第一类，而C、B间的点都属于第二类，点C称为戴德金分割点或界点。,角的戴德金分割,如果把（a,b)内部的过顶点O的所有射线分成两类，使得 （1）每条射线属于一类，且只属一类，并且每类不空； （2）第一类的每条射线都第二类射线的前面。 则或者在第一类存着一条射线，使第一类的其它每条射线都在它前面，或者在第二类存着一条射线，它在第二类所有射线的前面。,连续公理及重要结论,定理：如果选

21、定了长度单位以后，每条线段有唯一的长度。 定理：对于任意给定的正实数a，在给定单位长度后，存在一线段，它的长度等于a。 定理：取定一角度单位，每个角必有且只有一个角度。 定理：通过圆内部一点的直线一定和圆相交于两点。 定理：若一个圆通过另一个圆内部一点和外部一点，则两圆恰的两个交点。,连续公理及重要结论,在绝对几何中可以建立坐标系，但不是我们习惯的直角坐标系。,绝对几何是罗氏几何与欧氏几何的部分。,平行公理,欧氏平行公理：对于任何直线a和不在其上的任何点A，至多有一直线过A且与 a共面而不和a相交。,平行公理的等价命题,1.共面不交的两直线被第三直线所截成的同位角相等。 2.欧氏行五公设。 3

22、.在一平面上，一直线的垂线和斜线必相交。 4.过不共线的三点恒有一圆。 5.三角形的三条高线共点。 6.过任何角内一点，必可引直线和这个角的两边都相交。 7.任意三角形的内角和等于1800。 8.有两个三角形其对应角合同而本身不合同 9.锐角一边上的垂线必与另一边相交。,五、 结构主义的公理化时期 布尔巴基的数学原本。,19世纪末20世纪初 希尔伯特建立了严密的几何公理 皮亚诺建立了自然数公理 戴德金建立了实数公理 策梅洛和弗伦克尔创立了集合公理 豪斯多夫提出了拓扑空间的公理公定义 勒贝格提出了可列可加的测度公理 柯尔莫哥洛夫创建了概率的公理化定义,布尔巴基学派,从最一般的集合论公理开始，然后

23、在各种集合上添加各种结构（主要是代数结构、序结构的拓扑结构）。通过这三种母结构的不断增加、组合和变化，形成一个个有机关联的公理体系，最后希望把全部的数学作为一个公理化的统一体。,七、中学数学教材中的公理系统。,不以欧几里得的几何公理体系为主线，不严格按照知识的逻辑顺序呈现“图形与几何”领域的教学内容，而以“图形的性质、图形的变化、图形与坐标”等三条线索展开，并根据学生的心理特征，把“空间与图形”的内容均衡地安排在三个学段。,义务教育数学课程标准（2011版）,第三学段目标中要求：探索并掌握相交格、平行线、三角形、四边形和圆的基本的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影与视图；探索并理解平