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文档简介

1、一、不定积分的概念,二、不定积分的性质基本积分公式,三、换元积分法,四、分部积分法,五、有理函数的积分,不定积分,一、不定积分的概念,定义1 若在某区间上 ,则称 为 在该区间上的一个原函数,定义 若 是函数 的一个原函数,则 的原函数的全体 称为的不定积分. 记 为 .,由此可知,求 不定积分只需求出 一个原函 数, 再加上任意常数 .,不定积分的几何意义:,它们在点 处有相同的斜率 ，即这些切线互相平行,故 为在点x处切线斜率为f (x)的一族曲线。,是积分曲线 上、下平移所得到一族积分曲线，称为积分曲线族,二、不定积分的性质和基本积分公式,基本积分公式,；,；,例3 求,例4 求,解,.

2、,例5 求,例6 求,例7 求,三、换元积分法,第一换元积分法(凑微分法),.,对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量.,例14 求,例15 求,例16 求,解,另一方法:,2. 第二换元积分法,定理,从而,若被积函数中含有 时,可采用 三角替换的方法化去根式,这种方法称为三角代换.,例21 求,.,例22 求,解 令,解 令,例23 求,综上所述得：,四、分部积分法,对上两边求不定积分得,所以,解,另一 思路：,例25 求,更复杂了!,解,例26 求,例27 求,解,解,例28 求,例30 求,解,解,例29 求,例31 求,解,例32 求,解,例33 求,解,解,例3-34 求,解,例3

3、6 求,故,例37 求,五、有理函数的积分,注意：,为便于求积分必须把真分式化为最简分式之和,同时，要把待定的常数确定,这种方法叫待定系数法。,例 38 求,解 设,下面确定系数A和。,方法一：去分母,两端同乘 ，得,比较两端 同次幂的系数,得,解方程组得:,方法二：在恒等式 中，,令 得 ; 令 得 .于是,故,例39 求,解 设,两边同乘 得,解 设,例40 求,故,两边同乘 得,故,解,例41 求,分析: 被积函数的分母 在实数范围内 不能因式分解, 可用凑微分法求解.,练习：,1原函数的概念不定积分的概念不定积分的性质基本积分公式,主要内容,2两类换元法,3分部积分法,（1） 若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）的乘积, 设幂函数为 .,(2) 若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）的乘积，设对数函数或反三角

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