2-11 一维随机变量及其分布.ppt

1、第 二 章 随 机 变 量 及 其 分 布,二、分布函数的概念,一、随机变量的概念,三、例题讲解,第2.1节 一维随机变量及其分布,四、小结,1. 随机变量的定义,定义2.1,随机变量通常用大写字母X,Y,Z,或希腊字母, , ,.等表示.,一、随机变量的概念,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).,2.说明,(1)随机变

2、量与普通的函数不同,实例 1 掷一个硬币, 观察出现的结果 , 共有两种 情况:,若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有,即 X (e) 是一个随机变量.,若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有,可得随机变量 X(e),实例 2 在有两个孩子的家庭中,考虑 其性别 , 共有 4 个样本点:,2.随机变量的分类,离散型,(1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限多个(可列个), 叫做离散型随机变量.,观察掷一个骰子出现的点数.,随机变量 X 的可能值是 :,随机变量,连续型,实例1,1, 2, 3, 4, 5, 6.,非离散型,其它,实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击

3、, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:,实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 的次数”,则 X 的所有可能取值为:,实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测误差”.,则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.,实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”.,(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间,叫做连续型随机变量.,则 X 的取值范围为,二、分布函数的概念,为了对离散型和连续型随机变量r.v（random variable）以及更广泛类型的r.v给出一种统一的描述方法，下面引进了分布函数的概

4、念.,如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布函数F(x)的值就表示X落在区间-, x的概率.,问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什 么区别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？,X是随机变量, x是参变量.,F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.,由定义，对任意实数 x1x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 的概率为：,P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1),因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.,说明,(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.,(2) 分布函数是一个

5、普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究 随机变量.,证明,2.分布函数的性质,(单调不减性),证明,所以,即任一分布函数处处右连续.,反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(4)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.,重要公式,证明,三、例题讲解,请同学们思考,不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗?,例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数.,解,于是,故 X 的分布函数

6、为,其图形为一连续曲线,四、小结,2. 随机变量的分类:离散型,非离散型（以连续性为主）.,1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的, 因此为了方便有力地研究随机现象, 就需将随机事件数量化,把一些非数量表示的随机事件用数字表示时, 就建立起了随机变量的概念. 因此随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数.,4. 分布函数的性质,3. 随机变量分布函数的概念,一、离散型随机变量的分布律,二、常见离散型随机变量的概率分布,三、小结,2.1 离散型随机变量及其分布律(2),说明,一、离散型随机变量的分布律,定义2.3,离散型随机变量的分布律也可表示为,或,分布函数,分布律,离散型随机变量

7、的分布函数,离散型随机变量分布律与分布函数的关系,解,二、常见离散型随机变量的概率分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,2.两点分布,1.退化分布,若随机变量X取常数值C的概率为1,即,则称X服从退化分布.,实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从 (0-1) 分布.,则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为Xb(1,p),两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,3.二项分布,若X的分布律为：,称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。

8、 记为,其中q1p,二项分布的图形,二项分布随机数演示,二项分布的概率背景,进行n重Bernoulli试验，设在每次试验中,令 X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的 次数,二项分布的分布形态,由此可知，二项分布的分布,先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着 k 的增大而减少这个使得,可以证明：,例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次数 X 服从 B (5,0.6) 的二项分布.,二项分布随机数演示,例2.2（电力供应问题）有9位工人，间隙地使用电力。假设在任一时刻每位工人都以同样的概率0.2需要一个单位的电力，并且

9、各位工人工作（需要电力）相互独立。求最大可能有多少位工人同时需要供应一个单位的电力？,例2.3 某种疾病据历史资料显示，这种疾病的患者自然痊愈率为0.25，为了试验一种新药，在有关部门批准后，某医生把此药给年10个病人服用。该部门事先规定一个决策原则：若这10个病人中至少有4个治好了，则认为这种药有效，提高了痊愈率；反之则认为无效。问：虽然新药有效，并把痊愈率提高到0.35，但通过试验却被否定的概率是多少？,例2.4 设有一决策系统，其中每个成员作出的决策互不影响，且每个成员作出正确决策的概率均为p(0p1)。当占半数以上的成员作出正确决策时，系统作出正确决策，问p多大时，5个成员的决策系统比

10、3个成员的决策系统更可靠？,解,因此,例,4. 泊松分布,泊松资料,泊松分布的图形,泊松分布随机数演示,泊松分布的背景及应用,二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.,地震,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,火山爆发,特大洪水,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,在生物学、医学、工业统计、保险科学

11、及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,泊松定理,证明,对于固定的 k，有,所以，,上面我们提到,单击图形播放/暂停ESC键退出,设1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则,可利用泊松定理计算,所求概率为,解,例5 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?,6. 几何分布,若随机变量 X 的分布律为,则称 X 服从几何分布.,实例 设某批产品的次品率为 p,对

12、该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数目 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.,几何分布随机数演示,所以 X 服从几何分布.,说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.,解,例2.7 设有某求职人员，在求职过程中每次求职成功率为0.4。试问该人员要求职多少次，才能有0.9的把握成功就业？,例2.8 设某高速公路一年内发生恶性交通事故的次数 ，而每一次事故造成一位司机死亡的概率为p，且一次事故至多只造成一位司机死亡。求一年内，恰有r位司机因车祸丧生的概率。,7.超几何分布,设X的分布律为,超几何分布在

13、关于废品率的计件检验中常用 到.,说明,负二项分布,若随机变量X的分布律为,例2.9 设某类人群进行某项疾病的早期检查,这类疾病在该类人群中的每个个体中发生的可能性为p(0p1),且进一步设每个人是否患此疾病时相互独立的,求当发现了r个患者时所需检查个体数X的概率分布列.,离散型随机变量的分布,两点分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,三、小结,超几何分布,退化分布,负二项分布,思考题,1.(昆虫繁殖问题) 设某昆虫产k个卵的概率为,又设下一个虫卵化为昆虫的概率等于p.若卵的孵化是相互独立的,问此昆虫的下一代有L条的概率.,2. 假设从一个湖里捉出1000条鱼,作上标记后放回,隔一段时

14、间后重新又捉1000条鱼发现其中100条有标记,试据此对湖中鱼的总数作出估计.,例 (人寿保险问题)在保险公司里 有2500个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日付12元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取200元.问 (1)保险公司亏本的概率是多少? (2) 保险公司获利不少于一万元的概率是多少?,保险公司在1月1日的收入是 250012=30000元,解 设X表示这一年内的死亡人数,则,保险公司这一年里付出200X元.假定 200X30000,即X 15人时公司亏本.,于是,P公司亏本=P X 15=1-PX 14,由泊松

15、定理得,P公司亏本,(2) 获利不少于一万元,即 30000 -200X 10000,即X10,P获利不少于一万元=PX10,Jacob Bernoulli,Born: 27 Dec 1654 in Basel, SwitzerlandDied: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland,伯努利资料,泊松资料,Born: 21 June 1781 in Pithiviers, FranceDied: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France,Simon Poisson,一、概率密度的概念与性质,二、常见连续型随机变量的分

16、布,三、小结,第2.1节连续型随机变量 及其概率密度,性质,证明,一、概率密度的概念与性质,1.定义,1,证明,x,x,p,0,),(,同时得以下计算公式,注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即,证明,由此可得,连续型随机变量的概率与区间的开闭无关,设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能 事件,则有,若 X 为离散型随机变量,注意,连 续 型,离 散 型,解,例1,二、常见连续型随机变量的分布,1. 均匀分布,分布函数,均匀分布分布函数图形演示,例3 设随机变量 X 在 2, 5 上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概

17、率.,X 的分布密度函数为,设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 的次数”,解,即 A= X 3 .,因而有,设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则,2. 指数分布,指数分布密度 函数图形演示,某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿命等都服从指数分布.,应用与背景,分布函数,指数分布分布函数图形演示,例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时) (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以 上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的

18、概率.,X 的分布函数为,解,指数分布的重要性质 :“无记忆性”.,3. 正态分布(或高斯分布),高斯资料,正态概率密度函数的几何特征,正态分布密度函数图形演示,正态分布的分布函数,正态分布分布函数图形演示,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,正态分布下的概率计算,原函数不是 初等函数,方法一:利用MATLAB软件包计算(演示),方法二:转化为标准正态分布查表计算,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,标准正态分布的图形,解,例6,证明,解,例7,例8 证明,证明,三、小结,2. 常见连续型随机变量的分布,正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量 误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常 情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度; 炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态 分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最 为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小 的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般 是一个正态随机变量.,3.