单位圆与三角函数线.ppt

1、1.2.2 单位圆与三角函数线,教学目标 (一)知识与技能目标 1有向线段的概念 2用单位圆中的线段表示三角函数值 (二)过程与方法目标 理解和掌握用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向 来表示三角函数值 (三)情感态度与价值观目标 根据三角函数的定义导出三角函数线，数形沟边，发展思维 教学重点、难点 1教学重点：怎样用三角函数线表示三角函数值？ 2教学难点：三角函数线所表示的三角函数值的正负如何确定？,（一）复习三角函数的坐标法定义,教学过程,设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系，在角的终,前面我们学习了三角函数的坐标法定义，三角函数在各象限内

2、的符号，学习了任意角的三角函数。,由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法几何表示法,我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车转轮中心为原点，以水平线为x轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系。,设P 点为转轮边缘上的一点,它表示座椅的位置，记 ，则由正弦函数的定义可知，,1.单位圆的概念,一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为 A(1，0)，A(1，0). 而与y轴的交点分别为 B(0，1)，B(0，1).,(二

3、)单位圆、有向线段的概念,2. 有向线段的概念：,带有方向的线段叫有向线段 ； 有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。,如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3,=3,=-3,设任意角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），过P作x轴的垂线，垂足为M； 做PN垂直y轴于点N，,则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.,(三)用单位圆中的线段表示三角函数值,根据三角函数的定义有点P的坐标为(cos,sin),其中cos=OM，sin=ON.,这就是说，角的余弦和正弦分别等于角的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标.,以A为原点建立y轴与y轴同向，y轴与角的终边(或

4、其反向延长线)相交于点T(或T )，则tan=AT(或AT ),我们把轴上的向量 分别叫做的余弦线、正弦线和正切线.,角的终边在四个象限的情况,例1.分别作出 、 、 的正弦线、余弦线、正切线。,(四)练习,例2 利用单位圆中的三角函数线，求满足下列条件的角x的集合：,在02之间满足条件的角x的终边 必须在图中阴影部分内（包括边界）， 即/3x2/3，故满足条件的角 x的集合为x2k kz,在02之间满足条件的角x的终边应在图中阴影部 分（不包括边界），即/2x5/6或3/2x11/6,故满足条件的角x的集合为 xk+/2xk+5/6, kz,例3.比较大小： (1) sin1和sin1.5;

5、 (2) cos1和cos1.5; (3) tan2和tan3.,解：由三角函数线得,sin1sin1.5,cos1cos1.5,tan2tan3,例4. 利用三角函数线证明|sin|+|cos|1.,证明：在OMP中，OP=1，OM=|cos|, MP=ON=|sin|， 因为三角形两边之和大于第三边，所以 |sin|+|cos|1。,(五)小结,1. 给定任意一个角，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。,2. 三角函数线的位置 ：,正弦线为从原点到的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的有向线段；,余弦线为从原点到的终边与单位圆的交点在x轴上的射影的有向线段；,正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，为有向线段,3. 特殊情况： 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线OM=1或1。 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或1余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。,作业,利用单位圆中的三角函数