4.1.1《利用函数性质判定方程解的存在》(北师大版必修1)hao.ppt

1、第四章 函数应用 1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定 方程解的存在,1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点 与相应方程解的关系. 2.掌握零点存在的判定条件,复习回顾,我们在初中学过利用判别式判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的解的情况,一般说来有三种情况: 0 有两个不等的实数根 =0 有两个相等的实根 0 无实根,你能说出3x=x2解的情况吗?,一元一次方程 的解和相应的一次函数 的图像与 轴交点坐标有何关系？,x,方程的根等于交点的横坐标,一元二次方程 的解和相应的二次函数 的图像与 轴交点坐标有何关系？,x,方程的根等于交点的横坐标,函数的零点,我们把函数

2、y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。,方程 有实数解,函数 的图像与 轴有交点,函数 有零点,等价关系：,例1、求函数 的零点,练习：求下列函数的零点：,（三）讨论探究，揭示定理,-1,1,观察函数 的图像，此函数在区间 上有没有零点？,计算函数 在区间 的两个端点对应的函数值 和 的乘积，你能发现这个乘积有何特点？,观察二次函数f(x)=x22x3的图像:,2,1 f(2)0 f(1)0 f(2)f(1)0 （2,1） x1 x22x30的一个解,2,4 f(2)0 f(2)f(4)0 （2,4）x3 x22x30的另一个解,零点存在定理:,若函数y=f(x)在区间a,

3、b上的图像是连续曲线， 并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b) 内至少有一个实数解.,注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。,该判定方法只是指出了方程实数解的存在,但不能判断具体有多少个实数解.,f(a)0,f(b)0,例1 判断方程x2-x-6=0解的存在.,解 考察函数f(x)=x2-x-6,其图像为抛物线,f(0)=-6,f(-4)=14,f(4)=6,f(0)0, f(-4)0 图像为连续曲线 f(x1)=0 f(x2)=0 方程x2-x-6=0(-4,0

4、)、(0,4)内各有一解,B,例3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2.,解:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1 f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 f(x)的图像开口向上的抛物线, 所以抛物线与横轴在(5,+)内有一交点,在(-,2)内也有一个交点.,方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2,2、（思考题）判定方程 的根的个数,1.观察下面的四个函数图像,指出在区间(-,0)内,方程fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪个有解?说明理由.,堂上练习,2.判定方程4x3

5、+x-15=0在1,2内实数解的存在性,并说明理由.,堂上练习,解 考虑函数f(x)=4x3+x-15,有 f(1)=-100 函数f(x)=4x3+x-15图像是连续曲线, 所以函数f(x)在区间1,2内有零点. 即方程4x3+x-15=0在区间1,2内有实数解.,3.指出下列方程存在实数解,并给出一个实数解的存在区间:,堂上练习,1.试判定方程x4-x2+2x-1=0在区间0,2内是否有实数解?并说明理由.,解 函数f(x)=x4-x2+2x-1 f(0)=-10 函数f(x)=x4-x2+2x-1图像是连续曲线, 所以函数f(x)在区间0,2内有零点. 即方程x4-x2+2x-1=0在区间0,2内有实数解.,补充练习,补充练习,2.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2小于0,另一根大于1小于3,求a的取值范围.,解 设f(x)=3x2-5x+a,f(-2)0