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文档简介
1、迭代法的收敛性,邹昌文,迭代法的矩阵写法,-L,-U,D,Jacobi 迭代阵,Gauss-Seidel 迭代阵,迭代法的收敛性 / Convergence of Iterative methods /,的收敛条件,充分条件: |B| 1,必要条件:,？,等价于对 任何算子范数有,定义,定理,证明：,“”：对任意非零向量 有,那什么条件可保证 Bk 收敛呢？,证明：,“” 若 是 B 的eigenvalue, 则k 是 Bk 的eigenvalue 。,则 (B)k = max | | k = | mk |, ( Bk ) | Bk | 0, (B) 1,“” 首先需要一个引理 / Lemma
2、 /,对任意 0, 存在算子范数 | | 使得 | A | (A) + 。,由 (B) 1 可知存在算子范数| | 使得 | B | 1。,| Bk | | B |k 0 as k ,迭代从任意向量出发收敛,Bk 0, ( B ) 1,定理,注：,证明：首先需要一个引理 / Lemma /,若A 为SDD阵，则det(A) 0，且所有的 aii 0。,证明：若不然，即det(A) = 0，则 A 是奇异阵。,存在非零向量 使得,显然,我们需要对 Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel迭代分别证明：任何一个| | 1 都不可能是对应迭代阵的特征根，即 | I B | 0 。,Jacobi: BJ = D1( L + U ),aii 0,如果 | | 1
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