随机事件的概率分析(ppt 150页).ppt

1、,一 随 机 事 件 二 事件间的关系与运算 三 频 率 与 概 率,P&S,1 随 机 事 件 的 概率 目录索引,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,我们称之为随机现象，概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科。,P&S,一 、 随 机 事 件,比如： 降水 概率为 30% ， 某强队对弱队 赢球 的概率为 80% ， 某个固定群体中 男女比例 为 54：46 ；,在生活当中，经常接触到事件的概率，,这种在个别实验中其结果呈现出不确定性；,在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象，,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads

2、）、反面T （Tails）出现的情况。 E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现 的情况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有：,P&S,随机试验（Experiment ）,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。,这些实验具有以下特点： 可以在相同的条件下重复进行； 每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的

3、所有可能结果； 进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。,随机试验,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,样本空间(Space),定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的 元素，即 E 的每个结果，称为样本点。,P&S,S1 : H , T S2 : HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT S3 : 0, 1, 2, 3 S4 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,S5 : 0,1,2,3 S6 : t | t 0 S7 : ( x ,

4、y ) | T 0 x , y T1 ,E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,定义： 随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件； 基本事件 : 有一个样本点组成的单点集； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 不可能事件 : 空集。,随 机 事 件,P&S,我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 含的一个样本点在试验中出现,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,例如：S2 中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT

5、 表示 “第一次出现的是正面” S6 中事件 B1=t|t1000 表示 “灯泡是次品” 事件 B2=t|t 1000 表示 “灯泡是合格品” 事件 B3=t|t1500 表示“灯泡是一级品”,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,10 包含关系,二 、 事件间的关系与运算,20 和事件,30 积事件,40 差事件,50 互不相容,60 对立事件,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,S2 中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT, B=HHH,TTT,P&S,20 和事件,30 积事件,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,S,A,B,A,S,P&S,40 差事件,

6、第一章 概率论的基本概念,A,B,返回主目录,S6 : t | t 0 中 事件A = t | t 1000 “次品” 事件B = t | t 1000 “合格品” 事件C = t | t 1500 “一等品”,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,S,B,S,A,P&S,50 互不相容,60 对立事件,第一章 概率论的基本概念,A,返回主目录,随机事件的运算规律,幂等律:,交换律:,第一章 概率论的基本概念,P&S,结合律:,分配律:,De Morgan定律:,返回主目录,. .,三 、 频 率 与 概 率,1） 频率的定义和性质,P&S,定义 在相同的条件下，进行了n 次试

7、验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,P&S,第一章 概率论的基本概念,它具有下述性质:,返回主目录,251 249 256 253 251 246 244 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012,2 ） 频率的稳定性,nA fn(A),P&S,n=500时,实 验 者 德摩根 蒲 丰 K 皮尔逊 K

8、皮尔逊,n nH fn(H),2048 4040 12000 24000,1061 2048 6019 12012,0.5181 0.5096 0.5016 0.5005,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,频 率 稳 定 值 概率,事件发生 的频繁程度,事件发生 的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,3） 概率的定义,定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 称为事件 A 的概率，要求集合函数 满足 下列条件：,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,4 ） 概率

9、的性质与推广,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,. .,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,重 要 推 广,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,加法公式的推广,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,2 等可能概型与几何概型目 录 索 引,等可能概型（古典概型） 几何概型,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同。,1 等可能概型（古典概型）,比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。,我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概 率论早期发展中的重要地

10、位，又把它叫做古典概型。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,e1,ek, ,A,3,4,北,南,西,东,e2,en,2,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,设 S =e1, e2, en , 由古典概型的等可能性，得,又由于基本事件两两互不相容；所以,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,. .,若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A =e1, e2, ek , 则有 ：,例 1 将一枚硬币抛掷三次。设： 事件 A1为“恰有一次出现正面”， 事件 A2为“至少有一次出现正面”， 求 P (A1 ), P (A2 )。,第一章 概率论的基本概念,等可能

11、概型,返回主目录,解：根据上一节的记号，E2 的样本空间 S2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT, n = 8，即 S2 中包含有限个元素，且由对称性 知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。, A1为“恰有一次出现正面”， A1=HTT, THT, TTH,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,. ., 事件 A2为“至少有一次出现正面”，,A2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH ,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 2 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只 红球。从袋中

12、取球两次，每次随机的取一只。考 虑两种取球方式： 放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放 回袋中， 搅匀后再取一球。 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二 次从剩余的球 中再取一球。 分别就上面两种方式求：,1）取到的两只都是白球的概率； 2）取到的两只球颜色相同的概率； 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。 设 A= “ 取到的两只都是白球 ”， B= “ 取到的两只球颜色相同 ”， C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。 有放回抽取:,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返

13、回主目录,无放回抽取:,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 3 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去， 求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。,解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有,而每个盒子中至多放一只球,共有,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出： “在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为 99.7%。,n p,20 23 30 40 50 64 100,0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997,经计算可得下

14、述结果：,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例4 设有 N 件产品，其中有 D 件次品，今从中任 取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?,又 在 D 件次品中取 k 件，所有可能的取法有,在 N-D 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有,解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,于是所求的概率为：,此式即为超几何分布的概率公式。,由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,2） 有放回抽样,从N件产品中有放回地抽取

15、n件产品进行排列，可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事件，总数为 。,而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k件次品的取法共有,于是所求的概率为：,此式即为二项分布的概率公式。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 5 在 12000 的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概率是多少？,解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”， B 为,“取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：,为：6，12，181998 共 333 个，,所以能被 6 整除的整数,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,AB 为“既被 6 整

16、除又被 8 整除”或“能被 24 整除”,于是所求的概率为：,其中 B =8, 16, 2000 , AB = 24, 48 1992 ，,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 6 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？,解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,(1) 将 3 名优秀生分配到 3 个班级，使每个班级都有一名优秀生的分法共有 3! 种。其余 12

17、名新生平均分配到 3 个班级中的分法共有,每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为：,于是所求的概率为：,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,三名优秀生分配在同一班级内,其余12名新生，一个班级分2名，另外两班各分5名,(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率为：,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 7 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已 知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问 是否可以推断接待时间是有规定的？,解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访 者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么 ，12 次接待来访者都在周二、周四的概率为: 2

18、12/712=0.0000003， 即千万分之三。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 8 袋中有 a 只白球，b 只黑球从中任意 取出 k 只球，试求第 k 次取出的球是黑球的 概率,解： 设：A=“第 k 次取出的球是黑球”,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,

19、例 9 一部10卷文集，将其按任意顺序排放在书架上试求其恰好按先后顺序排放的概率 解：设 A= 10卷文集按先后顺序排放 ,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例10 同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率： A= 5 颗骰子不同点 ； B= 5 颗骰子恰有 2 颗同点 ； C= 5 颗骰子中有 2 颗同点，另外 3 颗同是另一个点数,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例10（续）,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 11 从 19 这 9 个数中有放回地取出 n 个数，试求取出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率 解：A =取出的 n 个数

20、的乘积能被 10 整除； B= 取出的 n 个数至少有一个偶数 ； C =取出的n 个数至少有一个 5 则 A=BC,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,二 几何概型,几何概型考虑的是有穷多个等可能无结果的随机试验。 首先看下面的例子。,例 1 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的， 且二人互不影响。求二人能会面的概率。,第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是,即 点 M 落在图中的阴影部 分。所有的点构成一个正 方形，即有

21、无穷多个结果。 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的。,0 1 2 3 4 5,y,x,5 4 3 2 1,.M(X,Y),第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,二人会面的条件是：,0 1 2 3 4 5,y,x,5 4 3 2 1,y-x =1,y-x = -1,第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,一般，设某个区域 D (线段，平面区域，空间区域），具有测 度 mD(长度，面积，体积)。如果随机实验 E 相当于向区域内任意地取点，且取到每一点都是等可能的，则称此类试验为 几何概型。 如果试验 E 是向区域内任意取点，事件 A 对应于点落

22、在 D 内的某区域 A，则,第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,例 2 (蒲丰投针问题）平面上有一族平行线。其中任何相邻的两线距离都是 a (a0) 。向平面任意投一长为 l (la) 的针，试求针与一条平行线相交的概率。,l,M,x,解 ：设 x 是针的中点 M 到最近的平行线的距离， 是针与此平行线的交角，投针问题就相当于向平面区域 D 取点的几何概型。,M,第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,x,D,A,0,第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,思考题 1) 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电 台报时， 求他等待的时间不超过 10 分钟的概率

23、。 (1/6) 2 ) 在线段 AD 上任意取两个点 B、C，在 B、C 处折断此线段 而得三折线，求此三折线能构成三角形的概率。(1/4) 3 )甲、乙两船停靠同一码头，各自独立地到达，且每艘 船在一昼夜间到达是等可能的。若甲船需停泊 1小时，乙 船需停泊 2小时，而该码头只能停泊一艘船。试求其中一 艘船要等待码头空出的概率。 (0.121),第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,4) 在区间 ( 0, 1 ) 中随机地取两个数，求下列事件的概率： (1) 两个数中较小(大)的小于 1/2 ； (3/4, 1/4) (2) 两数之和小于 3/2 ； (7/8) (3) 两数之积小于

24、 1/4 。 (0.5966),第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,3 条 件 概 率,一 条 件 概 率 二 乘 法 定 理 三 全概率公式和贝叶斯公式,目 录 索 引,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,一 条 件 概 率,条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。 它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。,吸烟有害健康,S,AB,B,A,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,条 件 概 率,设A、B是某随机试验中的两个事件，且,则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的 概率为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率 ，简称为B在A

25、之下的条件概率，记为,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 1 盒中有4个外形相同的球，它们的标号分别 为1、2、3、4，每次从盒中取出一球，有放 回地取两次 则该试验的所有可能的结果为 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 其中(i,j)表示第一次取i号球，第二次取j号球,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,设A= 第一次取出球的标号为 2 B= 取出的两球标号之和为 4 则事件B所含的样本点为 (1,3) (

26、2,2) (3,1) 因此事件B的概率为:,若我们考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率并记此概率为:,由于已知事件A已经发生，则该试验的所有可能结果为,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 这时，事件B是在事件A已经发生的条件下的概率，因此这时所求的概率为,注：由例1可以看出，事件在“条件A已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的 因此，有必要引入下面的定义：,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率。 在例 1 中，我们已求得,第一章

27、概率论的基本概念,3条件概率,还可求得,故有,返回主目录,条件概率的性质：,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 2已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率,则,所以,解：设 A= 3个小孩至少有一个女孩 B= 3个小孩至少有一个男孩 ,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,两个事件的乘法公式,由条件概率的计算公式,我们得,这就是两个事件的乘法公式,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,多个事件的乘法公式,则有,这就是n个事件的乘法公式,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 4 袋中有一个白球与一个黑球，现每

28、次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了n次都未取出黑球的概率 解：,则,由乘法公式，我们有,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 5 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落 下时打破的概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。 解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：,第一章 概率论的基本概念,

29、3条件概率,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,S,A1,A2,An,.,BA1,BA2,.,BAn,定义 设 S 为试验 E 的样本空间， 为 E 的一组事件。若满足 (1) (2) 则称 为 样本空间 S 的一个划分。,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,全 概 率 公 式：,设随机事件,满足：,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,全概率公式的证明,由条件：,得,而且由,A1,A2,An,.,BA1,BA2,.,BAn,S,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,全概率公式的证明（续）,所以由概率的可列可加性，得,代入公式（1），得,第一章 概率论的基

30、本概念,3条件概率,返回主目录,全概率公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例6 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率 解：,由全概率公式，有,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回

31、主目录,Bayes 公 式,设随机事件,满足,全概率公式,条件概率,乘法定理,则,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,Bayes公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 8 用某种方法普查肝癌，设： A= 用此方法判断被检查者患有肝癌 ， D= 被检查者确实患有肝癌 ， 已知,现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,

32、返回主目录,例 8（续）,解： 由已知，得,所以，由Bayes公式，得,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 9,袋中有10个黑球，5个白球现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率 解： 设：B= 取出的球全是白球 ,则由Bayes公式，得,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例9（续）,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 10 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。 元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.

33、03 0.05,S,B1,B2,B3,A,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 （1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次品的概率。 （2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能性最大。,解 ： 设 A 表示“取到的是一只次品”，Bi ( i= 1,2,3)表示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,例10（续）,返回主目录,元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,全概率公式,贝叶斯公式,第一章

34、 概率论的基本概念,3条件概率,例10（续）,返回主目录,元件制造厂 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,B1,B2,B3,A,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,例10（续）,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,例10（续）,返回主目录,例 11 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？,机器调整得良好 产品合格 机器发生某一故障,第一章 概率论的基

35、本概念,3条件概率,返回主目录,解 ：,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,4 独 立 性,独 立 性 习 题 课,目录索引,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,例 1,袋中有 a 只黑球，b 只白球每次从中取出一球，取后放回令： A= 第一次取出白球 ， B= 第二次取出白球 ， 则,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,例 1（续）,所以，由,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,说 明,由例 1，可知,这表明，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独立性事实上，由于是有放回摸球，因此在

36、第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球的概率自然也未改变,由此，我们引出事件独立性的概念,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,事件独立性的定义,设 A、B 是两个随机事件，如果,则称 A 与 B 是相互独立的随机事件,事件独立性的性质：,1）如果事件A 与 B 相互独立，而且,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,证明： 由于事件 A 与 B 相互独立，故,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,2）必然事件S与任意随机事件A相互独立； 不可能事件与任意随机事件A相互独立 证明：由,可知必然事件S 与任意事件 A 相互独

37、立；,可知不可能事件与任意随机事件A相互独立.,由,3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则,也相互独立.,解：为方便起见，只证,相互独立即可,由于,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,例 2,设事件 A 与 B 满足：,若事件 A 与 B 相互独立，则 AB；,若 AB =，则事件 A 与 B 不相互独立,证明：,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回

38、主目录,由于AB =，所以,但是，由题设,这表明，事件 A 与 B 不相互独立,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,此例说明：互不相容与相互独立不能同时成立。,返回主目录,例 3（不独立事件的例子）,袋中有 a 只黑球，b 只白球每次从中取出一球， 取后不放回令： A= 第一次取出白球 ， B= 第二次取出白球 ， 则,所以，,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,因此,这表明，事件 A 与事件 B 不相互独立事实上，由于是不放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数变化了，并且袋中的黑球与白球的比例也发生变化了，这样，在第二次摸

39、出白球的概率自然也应发生变化或者说，第一次的摸球结果对第二次摸球肯定是有影响的,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,三个事件的独立性,设A、B、C是三个随机事件，如果,则称A、B、C是相互独立的随机事件,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,注 意,在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不 可的即：前三个等式的成立不能推出第四个等 式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出 前三个等式的成立,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,例 4,袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有 红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜 色现从袋中任意取出一球，

40、令： A= 取出的球涂有红色 B= 取出的球涂有白色 C= 取出的球涂有黑色 则：,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,由此可见,但是,这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,n个事件的相互独立性,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,说 明,在上面的公式中，,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,独立随机事件的性质,返回主目录,若 是相互独立的事件，则,相互独立事件至少发生其一的概率的计算,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,注 意,

41、第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,例5 如果构成系统的每个元件的可靠性均为r，0r1.且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下列系统的可靠性：,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,解：1）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各元件都正常工作，故可靠性为 2）通路发生故障的概率为 ，两条通路同时发生故障的概率为 故系统的可靠性为 即附加通路可使系统可靠性增加。 3）每对并联元件的可靠性为 系统由每对并联的元件串联组成，故可靠性为 由数学归纳法可证明当,第一章 概率论的基本概念,例 6 设有电路如图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且

42、每一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。,L,R,2,1,3,4,解 ： 设事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器接点闭合”, L 至 R 为通路这一事件可表示为：,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,由和事件的概率公式及 A1, A2, A3, A4的相互独立性，得到,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,例 7 要验收一批 ( 100 件) 乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地抽取 3 件测试 ( 设 3 件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。设一件音色不纯的乐器被测试出来的概

43、率为 0.95，而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概率为 0.01。如果这件乐器中恰有 4 件是音色不纯的，问这批乐器被接受的概率是多少？,纯、纯 、纯 接受,p,p,p,不纯、 纯、 纯,q,纯、 纯 、纯 接受,p,p,H1：,H0：,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,H2：,p =1-0.01=0.99, q =1-0.95=0.05,解：以 Hi ( i=0,1,2,3 )表示事件“随机取出的 3 件乐器中恰有 i 件音色不纯”，以 A 表示事件“这批乐器被接受”，即 3 件都被测试为音色纯的乐器。由测试的相互独立性得 ：,不纯、 纯、 不纯,q,纯、 纯 、纯 接受,p,q,不纯、

44、不纯、 不纯,q,纯、 纯 、纯 接受,q,q,H3：,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,p=1-0.01=0.99, q=1-0.95=0.05,纯、纯 、纯,纯、纯 、纯 接受,不纯、纯 、纯,纯、纯 、纯 接受,不纯、纯 、不纯,纯、纯 、纯 接受,都 不 纯,纯、纯 、纯 接受,H0 H1 H2 H3,p,p,p,q,q,q,q,q,q,p,p,p,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,另外，按照超几何分布的概率计算公式得：,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,一.独立随机试验,5 n重贝努里概型,二.n次相互独立试验,5 n重贝努里概型,返回主目录,三.

45、n次相互独立试验的例子,掷n次硬币，可看作是n次独立试验； 某射手对同一目标射击n次，可看作是n次独立试验； 观察n个元件的使用寿命，可看作是n次独立试验,返回主目录,5 n重贝努里概型,例 1,三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标 的概率分别为0.3，0.6，0.8若有一门火炮击中 目标，目标被摧毁的概率为0.2；若两门火炮击中 目标，目标被摧毁的概率为0.6；若三门火炮击中 目标，目标被摧毁的概率为0.9试求目标被摧毁 的概率 解：设：B = 目标被摧毁 ,返回主目录,5 n重贝努里概型,由全概率公式，得,而,返回主目录,5 n重贝努里概型,所以,返回主目录,5 n重贝努里概型,四.

46、Bernoulli 试验,如果随机试验 E 只有两个结果，则称E为Bernoulli试验,Bernoulli 试验的例子,掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面”两种结果， 因此“掷一枚硬币”可看作是一次Bernoulli试验 掷一颗骰子，有六种结果但如果我们只关心“出现六 点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子”也 可以看作是Bernoulli试验,返回主目录,5 n重贝努里概型,对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中目标”与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行一次射击”是Bernoulli试验 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过

47、99辆车”这两种情况，这也是Bernoulli试验,Bernoulli 试验的例子,返回主目录,5 n重贝努里概型,n重Bernoulli 试验,若独立重复地进行n次Bernoulli试验，这里“重复”是指每次试验中事件 A 发生的概率（即每次试验中“成功”的概率）不变，则称该试验为 n 重Bernoulli 试验,n重Bernoulli 试验的例子,返回主目录,5 n重贝努里概型,对同一目标进行n次射击，若每次射击只考虑“击中目标”与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行n次射击”是一n重Bernoulli试验 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车”这两种情况，这是一次Bernoulli试验若独立重复地做该试验 n 次，则它是一n重Bernoulli试验,n重Bernoulli 试验的例子,返回主目录,5 n重贝努里概型,n重Bernoulli 试验中的样本点,n重Bernoulli 试验中的每一个样本点可记作,返回主目录,5 n重