第3随机信号分析(0).ppt

1、2020/9/5,1,第二章 随机信号分析,补充知识 随机过程的一般表述 平稳随机过程 高斯过程 窄带随机过程、正弦波加窄带高斯过程 随机过程通过线性系统,2020/9/5,2,随机变量的特征：统计特征、数字特征,一维随机变量的分布函数：,概率密度函数：,2020/9/5,3,方差：,重要关系：,数学期望（均值）：,均方值：,2020/9/5,4,二维随机变量,分布函数：,概率密度函数：,2020/9/5,5,相关函数：,协方差函数：,重要关系：,2020/9/5,6,3.1 随机过程的一般表述,自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类 确定性过程 随机过程,2020/9/5,7,其变化过程具

2、有确定的形式，或者说具有必然的变化规律。 用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间 t 的确定函数来描述。,确定性过程,2020/9/5,8,研究确定性过程的意义 （1）利用确定性过程的规律来携带随机过程 （2）认识确知信号的特性是分析和处理随机过程的基础,2020/9/5,9,没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。 用数学语言来说， 这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间 t 的确定函数来描述。 随机信号和噪声统称为随机过程。,随机过程,2020/9/5,10,随机信号：信号参数具有随机性的信号 随机噪声：不能预测的噪声，简称噪声 随机过程：随机变量

3、随时间变化的集合（或看成随机的时间函数） 包括：随机信号、噪声,2020/9/5,11,是时间的函数，但又不确定 任一时刻 t0 取值为随机变量 随机过程是在时间进程中多维随机变量的集合。 随机过程是随机实验的样本函数集合。,随机过程特点：,2020/9/5,12,3.1.1 随机过程的定义,随机过程定义： 设Sk(k=1, 2, )是随机试验。 每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体x1(t), x2(t)， , xn(t)， 就构成一随机过程，记作(t)。 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。,2020/9/5,13,样本函数的总体,20

4、20/9/5,14,随机过程具有随机变量和时间函数的特点。 在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。 全体样本在t1时刻的取值(t1)是一个不含t变化的随机变量。,2020/9/5,15,3.1.2 随机过程的描述,统计特性 数字特征,设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T， 其取值是一个 (t1) 一维随机变量。,2020/9/5,16,统计特性,把随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率 P(t1) x1 ，简记为F1（x1, t1），,即 F1（x1, t1） = P(t1) x1 ,称为随机过程(t)的一维分布函数。,如果,存在,则称 f1（x1, t1），为(t)的一

5、维概率密度函数。,2020/9/5,17,为了说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，引入多维分布函数。 ,任给t1, t2, , tnT, 则(t)的n维分布函数被定义为Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2, (tn)xn,为(t)的n维概率密度函数,2020/9/5,18,n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。,F2(x1,x2; t1,t2)=P(t1)x1, (t2)x2,2020/9/5,19,数字特征,a(t)是时间 t 的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆

6、动中心。,数学期望：,2020/9/5,20,B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2),f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2,方差：,协方差：,2020/9/5,21,相关函数：,B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2),2020/9/5,22,平稳随机过程是一种特殊而广泛应用 的随机过程, 在通信系统中占有重要 地位,语音信号、图像信号、电视信号、已调信 号、各种噪声干扰等都可以看成平稳随机 过程,3.2 平稳随机过程,2020/9/5,23,严平稳：统计特性不随时间的推移而变化。,宽平稳：均值与时间无关；自相关函数只与时间间隔有关，即,a(t

7、)=常数；且 R(t1, t1+)=R(),宽平稳和严平稳,2020/9/5,24,范 例,2020/9/5,25,2020/9/5,26,(1)均值,2020/9/5,27,(1)自相关函数,2020/9/5,28,X(t)为平稳随机过程,2020/9/5,29,平稳性讨论,严平稳一定是宽平稳的，反之不一定成立,严平稳与宽平稳,2020/9/5,30,短时平稳性,在实际应用中，通常并不需要随机过程在 所有时间内都满足平稳特性，只需要在所 观测的时间内平稳即可,例如语音信号通常在20ms内满足宽平稳性,2020/9/5,31,例 设随机过程,其中X和Y是相互独立的随机变量,它们都 分别以2/3

8、和1/3的概率取值-1和2,试求： （1）Z(t)的均值和自相关函数 （2）讨论该随机过程的平稳性,2020/9/5,32,解:,2020/9/5,33,2020/9/5,34,(1) 均值,2020/9/5,35,Z(t)是宽平稳随机过程,(2)自相关函数,2020/9/5,36,Z(t) 是严平稳过程 ？,由于Z(t)的三阶矩与t有关，因此Z(t)不是 严平稳过程,2020/9/5,37,什么是统计平均,需要知道随机过程的一维和二维分布函数 或概率密度函数，但通常是无法得到的,2020/9/5,38,什么是时间平均,对某个样本函数求时间平均,2020/9/5,39,各态历经性,这是一个非常

9、重要的概念！,若一个随机过程具有各态历经性，则它的 统计平均值等于其时间平均值,2020/9/5,40,理解各态历经性,各态历经性表示一个平稳随机过程的一个 实现(样本)能够经历此过程的所有状态 计算均值和自相关函数只需要对一个实现 求时间平均 求各态历经过程的统计特性,无需做无限次观测, 只需做一次观测,即可通过某个样本函数求时间 平均得到，大大简化了实验和计算,2020/9/5,41,均值各态历经性,若存在,则称随机过程对平均值而言是各态历经的,2020/9/5,42,自相关函数的各态历经性,若存在,则称随机过程对自相关函数而言是各态历经的,2020/9/5,43,各态历经性与平稳随机过程

10、,（1）一个随机过程若具有各态历经性， 则它必定是平稳随机过程 但平稳随机过程不一定具有各态历经性,（2）分析绝大多数通信的稳态特性时， 通常都假定信号和噪声的均值和自相关 函数是各态历经的,2020/9/5,44,范例,2020/9/5,45,(1)求统计平均值,2020/9/5,46,即,(2)求时间平均值,2020/9/5,47,2020/9/5,48,显然,2020/9/5,49,平稳随机过程自相关函数的性质,当均值为0时，有 。,（1）, 的平均功率,（2）, 的直流功率,（3）, 的偶函数,（4）, 的上界,（5）,方差， 的交流功率,2020/9/5,50,平稳随机过程的功率谱密

11、度,任一样本的功率谱密度：,2020/9/5,51,功率信号f(t)及其截短函数,2020/9/5,52,过程的功率谱密度应看做是所有实现的功率谱的统计平均，即,某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度,直接计算难度很大,2020/9/5,53,确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过程，也有类似的关系，即,-Wiener-Khinchine关系,2020/9/5,54,结论：,从频域角度给出了计算平均功率的方法,（1）,（2） 各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于整个过程的功率谱密度。 证明：从自相关函数的各态历经性出发,2020/9/5,55,

12、因此，可定义单边谱密度 P1()为,（1）,非负性,（2）,偶函数,功率谱密度P() 性质： ,2020/9/5,56,某随机相位余弦波 ，其中A和 c均为常数，是在(0, 2 )内均匀分布的随机变量。 （1） 求 (t) 的自相关函数与功率谱密度； ,解：(1) 先考察(t)是否广义平稳。 (t)的数学期望为, 例 ,2020/9/5,57,(t)的自相关函数为,根据,以及,所以，(t)是广义平稳。,则功率谱密度为,平均功率为,2020/9/5,58,范例,2020/9/5,59,2020/9/5,60,2020/9/5,61,3.3 高 斯 过 程,也称为正态随机过程 它是通信领域中最重要

13、的一种平稳随机 过程 例如通信信道中的热噪声通常是一种高斯 过程,2020/9/5,62,1. 高斯过程的定义,高斯过程(t)的n维（n1，2，)分布,ak为xk的均值 2k为xk的方差,2020/9/5,63,概率密度函数fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn) 表示 在时刻t1的样值为随机变量x1 在时刻t2的样值为随机变量x2 在时刻tn的样值为随机变量xn 的概率密度,2020/9/5,64,2. 重要性质,（1）若高斯过程是广义平稳的，则也是狭义平稳的。 （2）若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的。 （3）若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯过程。 （4）高斯过

14、程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯型。,2020/9/5,65,（5）高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。,2020/9/5,66,3. 一维概率密度和正态分布函数,高斯随机过程任一时刻上的样值是一个一维随机变量，其一维概率密度函数可以表示为：,式中a 及2是两个常量（均值及方差）,2020/9/5,67,（1）对称于xa的这条直线,（2）,的特性：,2020/9/5,68,（3）a表示分布中心，表示集中程度，f(x)图形将随着的减小而变高和变窄。当a=0，=1时，称f(x)为标准

15、正态分布的密度函数。,（4） f(x)在（-，a）内单调上升，在（ a ， ）内单调下降，且在a点处达到极大值,当,或,时，,2020/9/5,69,正态分布函数是概率密度函数的积分，它表示高斯随机变量小于或等于任意取值x的概率P(x)，即,2020/9/5,70,误差函数：,误差函数与互补误差函数,是自变量的递增函数,2020/9/5,71,互补误差函数：,它是自变量的递减函数：erfc(0)=1，erfc()=0 且erfc(-x)=2-erfc(x) 。当x1 时（实际应用中只要求x2即可近似），有,2020/9/5,72,分布函数F（x） 可表示为,当 时,当 时,利用误差函数表示F（

16、x）的好处是，它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。,2020/9/5,73,例解,2020/9/5,74,解,2020/9/5,75,3.5 窄带随机过程,随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即为窄带随机过程。 所谓窄带系统，是指其通带宽度f0的系统。若用示波器观察其一个实现的波形，它是一个频率近似为fc ，包络和相位随机缓慢变化的正弦波。,1. 定义与表达式,2020/9/5,76,2020/9/5,77,窄带随机过程(t)可表示为：,2020/9/5,78,结论1：一个均值为零，方差为 的平稳高斯窄带过程(t) ，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同样是平稳高斯过

17、程，而且有下列式子成立：,2. 统计特性,2020/9/5,79,c(t)和s(t)的统计特性,数学期望：对(t)求数学期望得到 因为(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有E(t) = 0 ，所以,2020/9/5,80,(t)的自相关函数： 因为(t)是平稳的，故有 这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与有关。因此，若令 t = 0，上式仍应成立，,c(t)和s(t)的统计特性,2020/9/5,81,它变为 因与时间t无关，以下二式自然成立 所以，上式变为,c(t)和s(t)的统计特性,2020/9/5,82,再令 t = /2c，同理可以求得 由以上分析可知，若窄带过程(t)是平

18、稳的，则c(t)和s(t)也必然是平稳的。 进一步分析，下两式应同时成立，,c(t)和s(t)的统计特性,2020/9/5,83,故有 c(t) 和s(t)具有相同的自相关函数。 根据互相关函数的性质，应有 代入上式，得到 ，表明Rsc()是 的奇函数，所以 因此，同一时刻的同相和正交分量是互相正 交的。,c(t)和s(t)的统计特性,2020/9/5,84,将 代入 得 即 结论：(t) 、 c(t)和s(t)具有相同的平均功率 或方差。,c(t)和s(t)的统计特性,2020/9/5,85,根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式 得到 因为(t)是高斯过程，所以， c(t1)， s(t

19、2)一定是高斯随机变量，从而c(t) 、 s(t)也是高斯过程。,c(t)和s(t)的统计特性,2020/9/5,86,根据 可知， c(t) 与s(t)在 = 0处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此c(t) 与s(t)也是统计独立的。,c(t)和s(t)的统计特性,2020/9/5,87,结论2：,包络一维分布是瑞利分布,相位的一维分布是均匀分布,且统计独立,2020/9/5,88,a(t)和(t)的统计特性,联合概率密度函数 f (a , ) 根据概率论知识有 由 可以求得,2020/9/5,89,于是有 式中 a 0, = (0 2),a(t)和(t)的统计特性,2020/9/5,90

20、,3.5 窄带随机过程,a的一维概率密度函数 可见， a服从瑞利(Rayleigh)分布。,2020/9/5,91,3.5 窄带随机过程,的一维概率密度函数 可见， 服从均匀分布。,2020/9/5,92,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,信号在传输过程中总会受到噪声的影响，接收信号往往是信号和噪声的合成波。正弦波加窄带高斯噪声是通信系统中常见的一种情况。,2020/9/5,93,设合成信号为：,式中 为窄带高斯噪声 ，其均值为零； 正弦波的振幅A和频率c均为常数，在(0, 2)上均匀分布。,2020/9/5,94,则,式中,2020/9/5,95,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,正弦波加窄带高斯噪

21、声的包络和相位表示式 包络： 相位： 包络的概率密度函数 f (z) 由,2020/9/5,96,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,根据zc，zs与z，之间的随机变量关系，求得在给定相位 的条件下的z与的联合概率密度函数,2020/9/5,97,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,然后求给定条件下的边际分布， 即 由于 故有 式中I0(x) 第一类零阶修正贝塞尔函数,2020/9/5,98,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,因此 由上式可见，f (, z)与无关，故 称为广义瑞利分布，又称莱斯（Rice）分布。,2020/9/5,99,合成信号r(t) 的包络和相位分别为,z(t) 服从广义瑞利分布；,(t

22、) 不再是均匀分布。,2020/9/5,100,式中，I0(x)是零阶修正贝赛尔函数，当x0时， I0(x)是单调上升函数，且有I0(x)=1 。如果A=0，则上式变为瑞利分布。,这个概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice）密度函数。 上式存在两种极限情况：,包络的概率密度函数,2020/9/5,101,当信号很小，A0，即信噪比 时，x值很小，有I0(x)=1，这时合成波r(t)中只存在窄带高斯噪声，由莱斯分布退化为瑞利分布。 当信噪比r很大时，有I0(x) ，这时在zA附近， f(z)近似于高斯分布。,由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信噪比时，它接近于瑞利分布

23、；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。,2020/9/5,102,正弦波加高斯窄带过程的包络和相位分布,2020/9/5,103,在室温条件下，f1000 GHz时，其功率 谱密度基本上是平坦的, 这种在很宽的频 率范围内具有平坦功率谱密度的噪声称为,3.7 白噪声,白噪声,2020/9/5,104,理想白噪声的功率谱密度 理想白噪声是指其功率谱密度函数在整个 频率域（f）内为常数 理想白噪声的双边功率谱密度,2020/9/5,105,理想白噪声的自相关函数,对Pn(f)求傅里叶反变换可得到白噪声的 自相关函数,(t)为冲激函数，当0时，R()=0 白噪声的任意两个样值都是

24、不相关的,2020/9/5,106,2020/9/5,107,高斯噪声 高斯噪声是指其概率密度函数服从高斯分 布(即正态分布)的一类噪声 热噪声就是一种高斯噪声,2020/9/5,108,高斯白噪声 高斯白噪声是指噪声的概率密度函数满足 正态分布统计特性，同时它的功率谱密度 函数是常数的一类噪声 在通信系统理论分析中，通常假定通信系 统信道中的噪声为高斯白噪声(AWGN),2020/9/5,109,根据香农信息理论的最大熵定理，高斯白 噪声具有最大噪声熵，即高斯白噪声是最 有害的噪声，在一定平均功率条件下造成 最大数量的有害信息 将高斯白噪声作为设计标准，这不完 全是为了简化分析，而是根据最坏的