12矩阵的基本运算.ppt

1、1.2矩阵的基本运算,例 某电视机厂生产三种型号的35厘米(14英寸)彩电TC-1、TC-2、TC-3,它们的主要零部是:S1(显像管)、S2(电路板)、S3(扬声器)、S4(机壳)，而这些零部件的主要原材料为：M1(铜)、M2(玻璃)、M3(塑料)。生产不同型号的彩电所需零部件的数量以及生产不同的零部件所需原材料的数量 在下列两表中给出:,上述两个数表可简记为,一、矩阵的基本概念 定义 mn个数构成的m行n列的矩形数表,称为mn 矩阵，简记为 ；其中,是矩阵 的第i行, ,是 aijmn的第j列。因此，aij 位于 aijmn 的第i行j列,称之为矩阵 的 (i,j)-元。,行矩阵：只有一行

2、的矩阵 列矩阵：只有一列的矩阵 零矩阵：全部元素均为零的矩阵，记为0,注： 1阶方阵可视为数 设 是n阶方阵, 称 为A的主对角元,n阶方阵：行数与列数均为n的矩阵,例 某县有三个乡镇,县里决定建立一个有线电视网。通过勘察测算，获得一组有关建设费用的预算数据： 我们也可以用矩阵的形式给出有关建设费用的预算数据：,二、矩阵的基本运算 定义 设 与 是两个矩阵， 若它们满足 （1）m = p 且 n = q （2）aij = bij，其中i =1,2, ,m; j = 1,2, ,n 则称A与B相等，记为A=B。,例 某公司有三项工作需向社会临时招聘三名人员，这些工作必须同时进行。现有甲、乙、丙三

3、人前来应聘，他们对这些工作提出了各自的费用要求，见下表（单位:百元）,问如何安排这三人的工作，可使公司的总付出最小？ 解 根据要求，这些工作需由不同的人员承担， 利用上表，构造一个矩阵,每一种安排方案，对应 中的3个元素，它们分属3个不同的行与3个不同的列。每一种方案的费用即为对应3个元素的和。于是，问题转化为： 求费用最小的方案，即找 中不同行不同列的3个元素，使它们的和最小。 中不同行不同列元素的3元组共有6个，穷举如下,满足要求的3元组有两个，它们的和最小，均为176。 由此得有两种方案的总费用最少：,甲工作一 甲工作三 乙工作二 或 乙工作一 丙工作三 丙工作二 ,若甲、乙、丙继续承担

4、第二阶段工作，其费用矩 阵与完全相同，即 ，则对第一阶段的最优安排方案也 是对第二阶段的最优方案。此时，总的费用矩阵为,若费用矩阵与不相同，例如,则总的费用矩阵为,定义 设 令,称矩阵C为矩阵A与矩阵B的和，记为 。,定义 设 是矩阵，k是数，令,称矩阵B为数k与矩阵A的数量积，记为 B= kA。 称 为A的负矩阵，记为 。,规定： ，称为A与B的差,例 1组与2组都需要去教材科领取种类相同但数量 不同的教材，领书单简记为 令,Z = X + Y =,则1组按Z领回书后，通过运算交给2组应得的教材 Y = ZX。,例 设A = , B = , 计算2A-B,性质 矩阵的加法与数量乘法具有下述性

5、质 （1） A+B=B+A （2）（A + B）+ C = A +（B + C） （3） A +（A）= 0 （4） A + 0 = A （5） 1A = A （6）（k l）A = k（l A） （7）（k + l）A = k A + l A （8） k（A + B）= k A + k B 这里， A、B、C是同型矩阵， k、 l 是数。,例 已知A2B = 3AC ，其中,A = ， C = 求B。,例 已知平面直角坐标系 Oxy，把它逆时针绕原点O旋转角，得到另一直角坐标系 ，相应的坐标变换公式为,对坐标系 绕原点O再逆时针旋转角，得又一 坐标系 ，相应的坐标变换公式为,设点P 在坐标系

6、Oxy 中的坐标为（x, y），在坐标系 中的坐标为 ，在坐标系 中的坐标 为 ，则 把 变换为 ，称,为 的系数矩阵。 把 变换为 ，称 为 的系数矩阵。,连续施行 ， ，可把 变换为 ， 对应变换记为 ，即,的系数矩阵为,在解析几何及代数学中，称变换 为变换 与 的乘积，记为 。对等地，自然把 的 矩阵C 也记为 A B ，即,称C为A与B 的乘积。 不难发现，矩阵A、B、C 的元素间有下述关系,定义 设 ，令,称矩阵 为矩阵 A 与矩阵 B 的积，记为,两个重要的关系式：,例（1） （2） （3）,例 生产彩电所需零部件的情况与生产零部件所 需原材料的情况分别可用矩阵 S与 M 表示出来

7、，,S = , M =,我们如何导出彩电与原材料的直接联系呢？,例 某人到商店去买0.5千克糖，1千克水果，3千克 面粉，2.5千克大米。已知糖、水果、面粉、大米的价格 分别为5元/千克、4.5元/千克、3元/千克、4元/千克，问 购买这些商品要花多少钱？,例 前面坐标旋转的例 三个坐标变换公式可以矩阵形式表示如下：,因为 故 。,性质 矩阵的乘法具有下述性质： （1）(AB)C = A(BC) （2）A(B+C)= AB + AC , (B+C)A = BA + CA （3）k(AB)=(kA)B=A(kB),定义 主对角元全为1、其余元素全为0的n 阶方阵 称为n 阶单位矩阵，记为 或 I

8、 。,性质 对任一 mn矩阵 ，均有,例 设AX=B，CA=I，其中,求X。,定义 设A是方阵，k是正整数，称k个A的连乘积为 方阵A的k次幂，记为 ；我们规定 ； 称,为方阵A的多项式，这里 均为常数。,例 设A = ，计算 。,性质 设A是方阵，k,l是非负整数，f(x)是x的一元 多项式，则有 （1） （2）若f(x)=g(x)h(x)，则 f (A)=g(A)h(A),这里 f (A) 表示：若 f(x) = 则 f (A) = 。,例 设A是方阵，则,例 设 ，计算 。,解 因为,所以猜想,对n作归纳法验证此猜想： n =1，结论成立；设结论对n -1成立； 下面证明结论对n也成立。

9、,根据归纳法原理，上述猜想对任意n均成立。,例 设A=BC，其中,计算 。,解 因为,所以,例（矩阵二项式定理） 设A与B是同阶方阵，n是正 整数。如果AB=BA，那么,这里,例 计算,解 首先,因为,且,所以,注： 1一般地， AB有意义，但不一定BA也有意义 即使AB与BA都有意义，它们也不一定同型 即使AB与BA同型，它们也不一定相等,例 已知矩阵等式A=B，则有,2 ，这里A与B是同阶方阵,例 已知 ，而 但结论 是不对的。,3由AB=0不能导出A=0或B=0、 4由AB=AC，A0不能导出B=C,同理，由 也不能导出A=2I。,例 设A、B是同阶方阵，则等式 成立的充分必要条件为 AB=BA。,定义 设A是mn矩阵，,把A的行写成列，得到nm矩阵,称之为A的转置