函数与方程思想的应用.ppt

1、函数与方程思想的应用,高考对数学思想的考查是与数学知识的考查结合进行的. 是通过对数学知识的考查来反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度. 对数学思想方法的考查是考查考生能力的必由之路.,体现的思想,在“方法型解法”中， 建立了已知量与未知量之间的等量关系.体现了数学中一种重要的思想 “方程的思想”.,两式相加，得,由正弦定理 得,由余弦定理 得,解得 或 (舍).,【例1】(体积法)在单位正方体ABCDA1B1C1D1中，求A到截面A1BD的距离.,o,【例1】(体积法)在单位正方体ABCDA1B1C1D1中，求A到截面A1BD的距离.,另一方面，,【解】设A到截面A1BD距离为d， 一方

2、面，在三棱体AA1BD中，,若定义在R上的函数 的图象满足,既关于直线 对称，又关于直线 对称，且 ，,则 是周期函数， 且 是它的一个周期.,【例2】函数的对称与周期的关系之一：,解：由条件，得,由 (3)、(4) 得,这表明， 是周期函数，且 .,于(1)式中用 替换 ，得,于(2)式中用 替换 ，得,于(5)式中用 替换 ，得,算两次原理,函数的对称与周期的关系(续前例)：,思路点拨,利用题中的两个对称条件，运用算两次原理，得到一个关系式，进而证明问题.,背景函数,【例3】（2007全国理16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角

3、形的斜边长为 .,【解】在等腰直角A1BC中，易知A1C为斜边，,从而PA1=PC且P为BB1的中点.设BB1=h,一方面， 在RtAA1C 中，,从而,解之， ， .,另一方面，在等腰RtA1PC 中，,算两次原理,考试大纲的说明中指出：所谓方程的思想，就是突出研究(建立)已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程(等式)或方程组， 解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础. 方程的思想应用的关键点(难点)是建立等式，算两次原理就是方程思想的一个典型运用.,教材中一些定理、公式的证明都利用了方程的思想，下面举例说明.,【例4

4、】 关于两角和余弦公式的证明：,解：如图在直角坐标中作单位圆和角 ，,为了得到一个等量关系式，教材上用 两种方法得到 + .,一方面，以 的终边OP2按逆时针,另一方面，以 的始边OP1按顺时针方向旋转 ，,得OP4，于是P2OP4 + .,旋转 , 得OP3 ,于是P1O P3 + ；,综合起来，就得到P1OP3P2OP4 . 于是有,再将P1、P2、P3、P4的坐标分别用 和 的三角函数的表示，代入两点间距离公式，整理即得,【例5】正弦定理和余弦定理的向量证法.,对于ABC，考虑向量等式,对于(1)式，我们有两种思路(都是研究方程 问题的常用手段),思路一：两边平方,展开，得,即,从而,注

5、意到,这就是余弦定理.,再考虑等式 ，就得到,余弦定理的另两个公式.,背景知识,我们知道，利用不等式可以求函数的最值.,例如，求 的最大值就可以利用,不等式 来求解.,当且仅当 时，函数有最大值 .,提出问题,函数 的最大值,能用上述方法求解吗？我们尝试一下.,?,小试牛刀,两边平方,求函数 的最大值,当且仅当 时，函数的,最大值为 .,小试牛刀,导数方法,求函数 的最大值,令 ，解得 (舍),在 上，,在 上，,原函数为增函数；,原函数为减函数.,从而，当 时，,函数的最大值为,【例5】正弦定理和余弦定理的向量证法.,对于ABC，考虑向量等式,对于(1)式，我们有两种思路(都是研究方程 问题

6、的常用手段),思路一：两边平方,思想二：两边乘以一个恰当的向量(如乘以 的单位法向量 ),【例6】求 的值.,解：设 ，则,解之得,建立方程 两边平方,?,?,解：（）由导函数图象可知，函数,在（，1），（2，）上递增，在（1，2）上递减.,.,所以 在 x=1处取得极大值，所以,即,（）由导函数图象可设,另一方面，由 得,即,又由 知,对比(1)、(2)，得 ，,算两次原理,；,就可得到一个等量关系式，进而证得 .,证明：一方面，设,，代入椭圆方程，得,解得 ,另一方面，我们来求 的长. 如图，作 ,我们再从两个角度来考虑 .,其一，易知,，故,其二，由椭圆定义知,所以有,解得 ,由，得 ，

7、,所以 .,解得 ,即,我们作第（）问.,思路的选择取决于对知识掌握程度.,体积法,方程的思想;,转化法,化归与转化的思想;,向量法,数形结合的思想;,一方面，,思路1,另一方面，作APCD，连结OP，在RtAPD中，,在RtOAP中，,设B到平面OCD的距离为h,对比(1)、(2)，得,算两次原理,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离,所以点B到平面OCD的距离为,过点A作,思路2,转化的思想,思路3,设平面OCD的法向量为,即,设点B到平面OCD的距离为 ，,则,数形结合,考试中心对考试大纲的说明中指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方

8、程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查.”,解之得,从两道简单的例子谈数学思想与方法(一),从两道简单的例子谈数学思想与方法(一),从两道简单的例子谈数学思想与方法(二),可得,即,从两道简单的例子谈数学思想与方法(二),（）由,得,思路一：不等式法,当且仅当 时，等号成立，,从两道简单的例子谈数学思想与方法(二),思路二：方程的思想,解得,即,从两道简单的例子谈数学思想与方法(二),思路三：导数法,所谓函数思想，还不仅仅是使用函数的方法来研究解决函数的问题。构建函数关系式，使用函数的方法来研究解决非函数的问题应该是函

9、数思想的核心。因此，可以认为函数思想的精髓是构建函数关系，产生使用函数方法来解决问题的思路。 在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，函数思想也起着十分重要的作用。,【分析】此题若讨论不等式组,解的情况，将十分烦琐.,注意到一元二次不等式解的讨论是借助于二次函数的图象得到的，故得如下解法.,有且只有一个点，所以,解得,评注：这个解法体现了三种数学思想方法.,若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于函数 在区间 上的最大(小)值大(小)于 .,若不等式 在区间 上恒成立,则等价于函数 在区间 上的最小(小)值大(小)于 .,若不等式 在区间 上恰成立,则等价于不等式 的解集为 .,

10、解：这是不等式能成立的问题.,于是 ，,解得 或,则存在 使 能成立.,而,设,即,另解：令,使 能成立.,由题意知存在 ，,于是 的图象与x轴有交点，,从而,即,【解】 依定义,则,在区间（1，1）上是增函数,设 ，,则,对称轴为 ，, t的取值范围是,【分析】用函数思想去分析题意，设函数,即可.,比如,设,所以，当 时，,亦即,单调递增；,当 时，,单调递减.,则,【分析及解】（1）,最小值为,当公比 时，,当公比 时，,故选D；,【解2】：函数思想.,令 ，解得,， 故选D；,【分析及解】将 化成同一个角的表达式.,所以当 ，,即当 时，,的最大值为 .,设 在点 处切线的斜率为 ，倾斜角为 ，点 到,对称轴的距离为 .,先利用导数求切线的斜率.,我们的首要任务是建立 与 之间的函数关系.,由导数的几何意义，知 即为点 处,将代入式，得,由于,容易求得,令 ,所以 .,得 ，,易知 ,所以 .,令 ,所以 .,联想等差数列前 项和公式的函数特征,得 ，,(可以口算通项公式),【分析】由条件知：,故 和 都是关于 的方程 的实数解.,构造 ,易证 是 上的增函数.,【例11】 设不等式2x 1 m ( x2 1 ) 对满足| m |2 的一切实数m的取值都成立，