初中数学,巧添辅助线解证几何题

1、最新资料推荐巧添辅助线解证几何题引出问题 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。下面我们分别举例加以说明。例题解析 一、 倍角问题例 1：如图 1，在 abc中， ab=ac,bd ac于 d。求证： dbc=1 bac.a2分析： dbc、 bac所在的两个三角形有公共角c，可利用d三角形内角和来沟通 dbc、 b

2、ac和 c的关系。证法一：在 abc中， ab=ac，bc abc=c=11 bac。（ 180- bac） =90 -22bd ac于 d bdc=90-11bac dbc=90 - c=90 -(902 bac)=即 dbc= 1 bac22分析二： dbc、 bac分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“dbc= ? bac”中含有角的倍、半关系，因此，可以做a 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把? a 放在直角三角形中求解；也可以把dbc沿 bd翻折构造 2 dbc求解。证法二：如图 2，作 ae bc于 e，则 eac+ c=90a1 ab=ac eag= bac2 b

3、d ac于 dd dbc+ c=90bc eac= dbc（同角的余角相等）1e bac。即 dbc=2证法三：如图 3，在 ad上取一点 e，使 de=cd连接 bea bd ac bd是线段 ce的垂直平分线e bc=be bec= cd ebc=2dbc=180 -2 c ab=acbc abc= c bac=180 -2 c ebc= bac1 dbc=bac说明：例 1 也可以取 bc中点为 e，连接 de，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。同学们不妨试一试。1最新资料推荐例 2、如图 4，在 abc中， a=2 b22求证： bc=ac+ac?ab22分

4、析：由bc=ac+ac?ab= ac（ ac+ab），启发我们构建两个相似的三角形，且含有边 bc、 ac、 ac+ab.又由已知 a=2 b 知，构建以 ab 为腰的等腰三角形。证明：延长 ca到 d,使 ad=ab,则 d= dba bac是 abd的一个外角 bac= dba+ d=2d bac=2abcb d= abc又 c= c abc bdc acbcac2bc cdad=ab bc=ac?cd22 bc= ac（ ac+ab） =ac+ac?ab二、 中点问题例 3已知：如图，abc中， ab=ac,在 ab 上取一点 d，在ac的延长线上取一点e, 连接 de交 bc于点 f,

5、 若 f 是 de的中点。求证： bd=cea分析：由于 bd、 ce的形成与 d、 e 两点有关，但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形，所以关系不明显，由于条件f 是 de的中点，如何利用这个中点条件，把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。d由已知 ab=ac,联系到当过 d 点或 e点作平行线，就可以形成新b的图形关系构成等腰三角形，也就是相当于先把bd或 cec移动一下位置，从而使问题得解。gf证明：证法一：过点 d 作 dg ac,交 bc于点 g（如上图）e dgb= acb, dgf= fce ab=ac b= acb b= dgb bd=dgf 是 de的中点 df=e

6、f在 dfg 和 defc 中，dfg=efcdgf=fcedf=ef dfg efc dg=cebd=ce2最新资料推荐a证法二：如图，在 ac上取一点 h, 使 ch=ce,连接 dhf 是 de的中点 cf是 edh 的中位线dh bch adh= b, ahd=bcad ab=ac b= bcabc adh= ahd ad=ahf ab-ad=ac-ah bd=hce bd=ce说明：本题信息特征是“线段中点”。也可以过 e 作 em bc,交 ab延长线于点 g，仿照证法二求解。例 4如图，已知 ab cd， ae平分 bad，且 e 是 bc的中点求证： ad=ab+cd证法一：延

7、长ae交 dc延长线于 fab ab cd bae= f, b=ecf e 是 bc的中点 be=ce在 abe和 cef中bae=fb=ecfbe=ce abe cef ab=cf ae平分 abd bae= dae dae= f ad=df df=dc+cfcf=ab ad=ab+dc证法二：取ad中点 f，连接 ef abcd， e 是 bc的中点 ef是梯形 abcd的中位线 efab , ef= 1 （ ab+cd）2 bae= aef ae平分 bad bae= fae aef= fae af=ef af=df1 ef=af=fd= ad2 1 (ab+cd)= 1 ad22 ad

8、=ab+cdefcabfedc3最新资料推荐三角平分线问题例 5如图（ 1）， op是 mon的平分线，请你利用图形画一对以op所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。（ 1）（ 2）oa如图（ 2），在 abc中， acb是直角， b=60 ,ad、 ce分别是 bac、 bca的平分线，ad、 ce相交于点 f, 请你判断并写出 ef 与 fd之间的数量关系。如图（ 3），在 abc中，如果 acb不是直角，而（ 1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。mebapefdfacn( 1 )( 2

9、)bedfc( 3 )分析：本题属于学习性题型。这类题型的特点是描述一种方法，要求学生按照指定的方法解题。指定方法是角平分问题的“翻折法”得全等形。解：（ 1） ef=fd（ 2）答：（ 1）结论 ef=fd仍然成立理由：如图（ 3），在 ac上截取 ag=ae,连接 fg在 aef和 agf中，ae=ageaf=fagaf=af aef agf ef=gf, efa= gfa由 b=60， ad、ce分别是 bac bca的平分线4最新资料推荐可得 fag+ fca=60 efa= gfa= dfc=60 gfc=60在 cfg和 cfd中gfc=dfccf=cfdce=ace cfg cf

10、d fg=fd又因为 ef=gf ef=fd说明：学习性问题是新课程下的新型题，意在考查学生现场学习能力和自学能力。抛开本题要求从角平分线的角度想，本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的。解法二：（ 2）答（ 1）中的结论 ef=fd仍然成立。b理由：作 fg ab于 g,fh ac于 h,fm bc于 m ead= dac fg=fh ace= bce fh=fg b=60 dac+ ace=60e gm d efd= afc=180- 60 =120f在四边形 befd中 bef+ bdf=180 bdf+ fdc=180 fdc =befahc在

11、 efg和 dfm中fdc =bef( 3 )egf=dmf=90 0fg=fm efg dfm ef=df四、线段的和差问题例 6 如图，在 abc中， ab=ac,点 p 是边 bc上一点， pd ab 于 d,pe ac于 e,cm ab于 m,试探究线段 pd、pe、 cm的数量关系，并说明理由。分析：判断三条线断的关系，一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系，通过测量猜想pd+pe=cm.分析：在 cm上截取 mq=pd，得 pqmd,再证明 cq=pea答： pd+pe=cm证法一：在cm上截取 mq=pd，连接 pq. cm ab于 m, pd ab于 d cmb= pdb=

12、90 cm dp四边形pqmd为平行四边形 pq abmqed5bpc最新资料推荐 cqp= cmb=90 qpc= b ab=ac b= ecp qpc= ecp pe ac于 e pec=90在 pqc和 pec中pqc=pecaqpc=ecppc=pc pqc pec qc=pe mq=pd mq+qc=pd+pe pd+pe=cm分析 2：延长 df到 n 使 dn=cm,连接 cn,得平行四边形 dncm, 再证明 pn=pe证法 2：延长 df到 n，使 dn=cm，连接 cn同证法一得平行四边形dncm，及 pnc pec pn=pe pd+pe=cmmedbpcn分析 3：本题

13、中含有ab=ac及三条垂线段 pd、de、 cm，且 s pabs pac s abc ，所以可以用面积法求解。a证法三：连接ap, pdab 于 d,pe ac于 e,cm ab于 m pqc= pec qpc= ecp pc=pcs abp1pdmabe2s acp1 acped2bpcs abc1 abcm2 ab=ac 且 s pab s pacs abc1 abpd1 abpe1 ab cm 222ab0pdpecm说明：当题目中含有两条以上垂线段时，可以考虑面积法求解。6最新资料推荐五、垂线段问题例 7 在平行四边形abcd中， p 是对角线bd上一点，且 peab,pfbc,垂足

14、分别是 e、 f求证： abpfdcbcpepfaeb分析：将比例式 abpf 转化为等积式 ab pebc pf ，联想到1 ab pe，bcpe1 bc pf22即 pab与 pbc的面积相等，从而用面积法达到证明的目的。证明：连接ac与 bd交于点 o,连接 pa、 pc在平行四边形abcd中， ao=cos aobs bocs aops cop同理，s aobs aops bocs cops pabs pbc peab,pfbc,s pab1 abpe, s pbc1 bc pf2211bc pfab pe22aabpe bcpfabpfedbcpebfc例 8 求证：三角形三条边上的

15、中线相交于一点。分析：这是一个文字叙述的命题。要证明文字命题，需要根据题意画出图形，再根据题意、结合图形写出已知、求证。已知： abc中， af、 bd、 ce是其中线。求证： af、 bd、cg相交于一点。分析：要证三线交于一点， 只要证明第三条线经过另两条线的交点即可。证明：设bd、 ce相交于点 g，连接 ag，并延长交bc于点 f, .7最新资料推荐addcs abd s cbd ,s agd s cgds agbs cgb同理， s cgbs agcs agbs agc作 bm af, 于 m,cnaf, 于 n则 s agb1 agbm , s agc1 ag cn221 agbm

16、1 ag cn22bmcn,在 bmf和 cnf中bf mcf nbmfcnfbmcn bmf cnf bf cf , af 是 bc边上的中线 af 与 af, 重合即 af 经过点 d af、 bd、 ce三线相交于点 g因此三角形三边上的中线相交于一点。六、梯形问题例 9以线段 a=16,b=13为梯形的两底，以c=10 为一腰，则另一腰长d 的取值范围是分析：如图，梯形abcd中，上底 b=13，下底 a=16，腰 ad= c=10，过 b 作 be ad,得到平行四边形 abed，从而得 ad=be=10,ab=de=13ab所以 ec=dc-de=16-13=3.所以另一腰d 的取

17、值范围是10-3 d10+3答案： 7d 13dec例 10如图，已知梯形 abcd中， abdc,高 ae=12,bd=15,ac=20,求梯形 abcd的面积。分析：已知条件中给出两条对角线的长，但对角线位置交错，条件一时用不上。另外，求梯形面积只要求出上、下底的和即可，不一定求出上、下底的长，所以考虑平移腰。解：解法一：如图，过a 作 af bd,交 cd延长线于f8最新资料推荐ab/ fc四形abdf是平行四形abfdab, af bd15fcabdcaefcaef。fdecaec 90在直角三角形 aef中， ae=12,af=15efaf 2ae21521229在直角三角形aec中

18、， ae=12,af=15ecac 2ae 220212216abdc fc ef ec9 1625s梯形 abcd1 ( abdc )ae12512 15022解法二：如图，过b 作 bfdc于 fab bfc=90 aedc于 e。aed=aec=90aec=bfc=90 。ae / bfab / dcabfe是平行四形defcbfac12, abef在直角三角形abc中， ae12, ac20ecac 2ae216在直角三角形bdf中，bf12, bd15dfbd 2bf 29abdcdf ce 91625s梯形 abcd1 ( abdc )ae125 12 150229最新资料推荐例

19、11. 如图，在梯形 abcd中， ad bc, b+ c=90 ,m、n 分别是 ad、 bc的中点，试说明：1 (bcmnad)g2分析 1： b+ c=90，考虑延长两腰，使它们相交于一点，ad构成直角三角形。m解法 1：延长 ba、 cd交于点 g,连接 gm、 gnbc。bgc。b9090cammdgmamngamagm又 bncngnbnbbgnadbcgambagmbgn b、 a、 g共线 g、 m、n 共线gm1 ad,gn1 bc22mngn gm1 (bc ad )2分析 2：考虑 m、n 分别为 ad、bc中点，可以过m分别作 ab、dc的平行线，梯形abcd内部构成直

20、角三角形，把梯形转化为平行四边形和三角形。解法 2：作 me ab交 bc于 e, 作 mf dc交 bc于 f ad bc 四边形 abem、 dcfm都是平行四边形 be=am,fc=dmadmammdbe fcbncnenfn由 meab, mfdcmefb,mfec bcbc。mefmfe。enf9090 emf=90 , 又 en=fnmn1 ef1 ( bc ad )2210最新资料推荐 模式归纳 通过上面各例的分析、解证，发现添加适当的辅助线能使解题思路畅通，解答过程简捷。但辅助线的添加灵活多变，好像比较难以把握。其实添什么样的辅助线？怎么添辅助线？与已知条件的特征和所求问题的形

21、成关系密切。下面分类归纳几种常用的辅助线的添加方法。一、倍角问题研究 2 或 = 1 问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形：21. 与 在两个三角形中，常作 的平分线，得1= 1 ，然后证明 1= ；或把 2翻折，得 2=2 ，然后证明 2= （如图一）2. 与 在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二）12图二图一二 中点问题已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。这类问题常用三种方法添加辅助线（ 1）延长中线至倍（或者倍长中线） ，如图一。若图形中没有明显的三角形的中线，也可以构造中线后，再倍长中线，如图二。（ 2）构造中

22、位线，如图三（ 3）构造直角三角形斜边上的中线，如图四。图一图二图三图四11最新资料推荐三、角平分线问题已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题。常用的辅助线有两种：1. 以角平分线所在直线为对称轴，构造全等三角形，如图一、二所示。2. 由角平分线上的点向角的两边做垂线，构造全等三角形，如图二所示。图一图二图三四、线段的和差问题已知条件或所求问题中含有a+b=c 或 a=c-b ，称为线段的和差问题，常用的辅助线有两种：1. 短延长：若 ab=a, 则延长 ab到 m,使 bm=b,然后证明 am=c；2. 长截短：若 ab=c, 则在线段 ab上截取 am=a,然后证明 mb=b。五、垂线

23、段问题已知条件或所求问题中含有两条或者两条以上的垂线段时，而所研究的问题关系又不明显时，可以借助于可求图形的面积转化。常用的面积关系有：1. 同（等）底的两个三角形的面积与其高的关系；2. 同（等）高的两个三角形的面积与其底的关系。六、梯形问题梯形可以看作是一个组合图形，组成它的基本图形是三角形、平行四边形、矩形等。因此，可以通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等问题求解，其基本思想为：转化梯形问题三角形或者平行四边形问题分割、拼接在转化、分割、拼接时常用的辅助线：1. 平移一腰。即从梯形一个顶点作另一个腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（如图一） 。研

24、究有关腰的问题时常用平移一腰。2. 过顶点作高。即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形（如图二） 。研究有关底或高的问题时常过顶点作高。3. 平移一条对角线。即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形（如图三） 。研究有关对角线问题时常用平移对角线。这种添加辅助线的方法，可以将梯形两条对角线及两底的和集中在一个三角形内， 使梯形的问题转化为三角形的问题。此三角形的面积等于梯形的面积。4.延长两腰交于一点。把梯形问题转化为两个相似的三角形问题（图四）；5. 过底的中点作两腰的平行线。当已知中有底的中点时，常过中点做两腰的平行线，把

25、梯形转化成两个平行四边形和一个三角形（图五） ；6. 过一腰中点作直线与两底相交。当已知中有一腰的中点时，常连接梯形一顶点和此中点，并延长交另一底于一点， 将梯形问题转化为一对全等三角形和一个含有梯形两底之和的三12最新资料推荐角形。此三角形的面积等于梯形的面积（图六）；7. 作梯形中位线。 当已知中有一腰的中点时， 常取另一腰的中点， 作梯形的中位线， （图七），利用梯形中位线性质解题。图一图二图三图四图五图六图七 拓展延伸 1. 已知：如图， abc中， d 是 bc的中点， f 是 ca延长线上一点，连接 fd交 ab于 e，若 ae=af求证： be=cf证法一：延长 ed到 g使 dg=de,连接 cg.在 bde和