多项式拟合与插值.ppt

1、在生产和科学实验中，自变量x与因变量y之间的函数关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值. 当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数在该点的数值. 这就要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数(x)，办法是很多的. 根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法： 测量值是准确的，没有误差，一般用插值. 测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合.,第六讲 曲线拟合与插值,一. 曲线拟合,已知离散点上的数据集 求得一解析函数y=f(x)，使f(x)在原离散点xi上尽可能接近给定yi的值，这一过程叫曲

2、线拟合. 最常用的曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最小，即找出使下式最小的f(x) :,通常，在解决实际问题时先将已知数据的散点图画出，然后设计拟合的曲线类型，最后根据某种准则选定最佳的曲线.,1.多项式拟合,多项式拟合就是选择适当的多项式对数据集进行拟合，其命令为：格式：p=polyfit(X,Y,n).,说明：求出已知数据(X,Y)的n阶拟合多项式f(x)按降幂排列的系数p，X必须是单调的.,例1.对以下数据作出散点图，然后用多项式拟合：(0.5,1.75),(1,2.75),(1.5,3.81),(2,4.8),(2.5,7),(3,8.6),解： x = 0.5,

3、1.0,1.5,2.0,2.5,3.0; y = 1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60; plot(x,y),发现：这些点大致地位于某条直线附近，故可考虑线性拟合：,x = 0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0; y = 1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60; plot(x,y) ),ans: p =2.7937 -0.1540,即拟合函数为：y=2.7937x-0.154,(图6.1),上述函数的拟合效果如何？我们可以通过计算误差平方和的大小进行考察（两种方法）：,(1)sum(2.7937*x-0.154-y).2)=0.9136,如果

4、用二次函数进行拟合，则有： p=polyfit(x,y,2),p = 0.5614 0.8287 1.1560,即拟合函数为：,此时误差平方和为：,sum(polyval(p,x)-y).2) =0.1781,根据误差平方和最小原则：二次函数优于线性函数,(2)sum(polyval(p,x)-y).2) )=0.9136,是否有误差等于零的多项式？有，那就是该数据点的插值多项式（五次多项式）,通常，给出两点的坐标，我们可以得到一条直线；若给出三点的坐标，我们可以得到一条抛物线；，给出n个点的坐标，我们可以得到一个n-1阶的多项式. 是否多项式的阶数越高越好呢？非也！在解决实际问题时，只要达到

5、所需的精度，应尽量选择简单的函数.,p = -1.6000 13.7400 -44.0733 65.6650 -42.6317 11.3500,此时多项式在x处的函数值为： polyval(p,x) ans =1.7500 2.4500 3.8100 4.8000 7.0000 8.6000,例2. 某种合金中的主要成分为A,B两种金属，经过试验发现：这两种金属成分之和x与合金的膨胀系数y有如下关系，建立描述这种关系的数学表达式.,解：首先作出散点图: x=37:0.5:43; y=3.4,3,3,2.27,2.1,1.83,1.53,1.7,1.8,1.9,2.35,2.54,2.9; pl

6、ot(x,y,*),发现：有点像抛物线，故选二次函数拟合.,p=polyfit(x,y,2),p = 0.1660 -13.3866 271.6231,即为所求拟合曲线,误差平方和：R=sum(polyval(p,x)-y).2)= 0.2523,(图6.2),二.函数插值 1.一维插值,格式一： YI = INTERP1(X,Y,XI,method),X,Y为原始数据，XI, YI为插值出的数值， method是插值所用的方法.,. Available methods are: nearest - nearest neighbor interpolation linear - linear

7、interpolation spline - piecewise cubic spline interpolation (SPLINE) pchip - piecewise cubic Hermite interpolation (PCHIP) cubic - same as pchip,例4.对 y=cosx的数据进行插值，比较各种插值方法,x=-2*pi:0.5*pi:2*pi;y=cos(x);xi=-2*pi:0.1*pi:2*pi; y_nearest=interp1(x,y,xi); y_linear= interp1(x,y,xi); y_spline= interp1(x,y,

8、xi, spline ); y_cubic= interp1(x,y,xi, cubic );,plot(x,y,o,xi,y_nearest,-,xi,y_linear, r* , xi,y_spline,k:,xi,y_cubic,k -); legend (original data,nearest,linear,spline,cubic),(图6.5),2.二维插值,格式：ZI = interp2(X,Y,Z, XI ,YI ,method) 说明：用指定的算法method计算二维插值. 返回矩阵ZI 其元素对应于参量XI与YI的元素. 用户可以输入行向量和列向量Xi与Yi，此时，输出

9、向量Zi与矩阵meshgrid(xi,yi)是同型的. 参量X与Y必须是单调的，且相同的划分格式，就像由命令meshgrid生成的一样. method有： linear：双线性插值算法（缺省算法）. nearest：最近邻插值. spline：三次样条插值. cubic：双三次插值.,例5. 下表给出了美国从1950-1990年工作年限10,20,30年的工资情况，使用插值计算1975年工作15年的工资,years = 1950:10:1990; service = 10:10:30; wage = 150.697,199.592,187.625; 179.323,195.072,250.287; 203.212,179.092,322.767; 226.505,153.706,426.730; 249.633,120.281,598.243; w = interp2(service,years,wage,15,1975),结果为：w = 190.6288,例6. 在某处测得海洋不同深处水温 如下：,试求在深度500米、1000米、1500米处的水温,解：h=446,714,950,1422,1634; w=7.04,4.28,3.40,2.54,2.13; h