近世代数2-12习题.ppt

1、2020/9/11 20:07,近世代数,第二章 习题课,2020/9/11 20:07,1.,设G是群. 证明: 如果对任意的,则G是交换群.,证明：,得证G是交换群.,由消去律，有,2020/9/11 20:07,2.,证明: 有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数.,证明:,若,若,必有,且,否则,若,若,与a，b取法矛盾.,故有限群中阶数大于2的元都是成对出现的，,个数必是偶数.,2020/9/11 20:07,3.,假定G是一个阶是偶数的有限群 ，在G 中阶等于2的元的个数一定是奇数.,证明：,有限群中阶大于2的元的个数是偶数，,阶等于1的元只有1个，,而群G的阶是偶数，,于是阶等于2

2、的元的个数一定是奇数.,2020/9/11 20:07,4.,一个一一变换群的单位元一定是恒等变换.,证明：,设G 是某个集合A的一一变换群，,是其单位元，,则,而,是一一变换,得证一一变换群的单位元是恒等变换.,2020/9/11 20:07,6.,找出3次对称群的所有子群.,解：,子群的阶整除群的阶,1阶子群只含1阶元，即单位元,2阶子群只含1个1阶元和1个2阶元,3阶子群只含1个1阶元和2个3阶元,6阶子群是其本身,2020/9/11 20:07,6.,找出3次对称群的所有子群.,解：,所有子群为：,2020/9/11 20:07,7.,找出模12的剩余类加群的所有子群.,解：,所有子群

3、为：,2020/9/11 20:07,8.,阶是素数的群一定是循环群.,证明：,设,是素数,是素数,2020/9/11 20:07,9.,假定H是G的子群，N是G的不变子群，证 明，HN是G的子群.,证明：,2020/9/11 20:07,10.,指数为2的子群一定是不变子群.,证明：,得证指数为2的子群一定是不变子群.,2020/9/11 20:07,11.,设G是群，且|G|1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.,证明:,设这个相同的阶不是无限，是合数n.,与题中条件矛盾.,得证这个相同的阶不是无限，就是素数.,2020/9/11 20:07,1

4、2.给出下列6元置换：,求（1）循环置换分解， （2）逆元，（3）阶,（4）,2020/9/11 20:07,13.,设,为整数加群,（1）证明,；（2）求,2020/9/11 20:07,14.,（1）证明,；（2）求,2020/9/11 20:07,15.,用三种颜色的珠子，串成有5个珠子的项链。问有多少种不同类型的项链？,1,2,3,4,5,(1) 15 35,(12345) 51 3,(13524) 51,(14253) 51,(15432) 51,(25) (34) 11 22 33,(13) (45) 11 22,(15) (24) 11 22,(14) (23) 11 22,(12) (35) 11 22,2020/9/11 20:07,16.,证明：pm阶群（p是素数）一定有p阶子群.,证明：设群G的阶是pm（p是素数）,若,是p阶子群.,若,是p阶子群.,2020/9/11 20:07,17.,证明：假定群G的不变子群N的阶