第九章_多元函数微分法及其应用.ppt

1、1,重点:,多元函数一般概念(定义域,极限,连续),偏导数及其求法(复合函数求导,隐函数求导),全微分及其求法,多元函数极值及其求法,2,以点 为中心, 以 为半径的圆内部点的全体称为 p0 的 邻域.,记 (p0, ) = U (p0, ) p0 , 称为 p0 的去心 邻域.如图,3,U (p0, ), (p0, ),4,2.区域,例如，,即为开集,5,6,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,7,有界闭区域；,无界开区域,例如，,8,3.聚点,* 内点一定是聚点；,说明：,* 边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是边界点也是聚点,9,* 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如

2、,(0,0) 是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,10,4.n维空间,* n维空间的记号为,说明：,* n维空间中两点间距离公式,11,* n维空间中邻域、区域等概念,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域：,设两点为,12,类似地可定义三元及三元以上函数,13,14,例3 求 的定义域,解,所求定义域为,15,2.二元函数 的图形,（如下页图）,16,二元函数的图形通常是一张曲面.,17,例如,图形如右图.,例如,球面.,单值分支:,18,19,就是 0, 0.,当0|x x0| 时, 有|f (x) A | .,设

3、二元函数 z = f (x, y). 定义域为D. P0 (x0, y0)是 D 的一个点. A 为常数.,若 0, 0, 当,对应的函数值满足,| f (x,y) A | ,则称 A 为z = f (x,y), 当 P 趋近于P0时(二重)极限.,记作,或,定义1,二元函数的极限,21,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,22,例1 求证,证,当 时，,原结论成立,23,24,例3 求极限,解,其中,25,例4 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,26,27,28,确定极限不存在的方法：

4、,29,利用点函数的形式有,30,四、多元函数的连续性,31,定义2,32,33,34,35,36,37,38,例1,解,39,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,四、小结,多元函数的定义,40,41,42,43,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,44,把 y 看成常量,把 x 看成常量,45,把 y 看成常量,把 x 看成常量,46,47,48,偏导数的几何意义,49,偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,50,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105