数学极限的求法

1、数学极限的求法数学极限得求法常见 : 夹逼准则 , 无穷小量得性质 , 两个重要极限，等价无穷小，洛必达法则 ,中值定理 ,定积分 ,泰勒展开式。后四种不常见。 另外求代数式极限可参见课本 p48 上。证明极限用定义证。1：利用等价无穷小代换求极限当 x 趋于 0 时等价，例如 x sin x tan x arcsin x arctanx ln(1 x) e x1sin x x, tan x x,arcsin x x,1cos x 1 x 2 , (1 x) a1 ax, nx 1 x2n当上面每个函数中得自变量x 换成 g( x) 时（ g(x)0 ），仍有上面得等价关系成立，例如： 当 x

2、0时， e3x13x ； ln(1x 2 ) x2。x4x3limx)3x 0(sin例：求2sin x :x解： q22x4x3limx4x3limx4x3limx 3x 3x3x 0x 0x 0(sin)()8 8222：利用极限得四则运算性质求极限进行恒等变形， 例如分子分母约去趋于零但不等于零得因式；分子分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项得与（或积）为有限项。例；求极限limx21x1(1)x1 2x2lim1x2x3(2)x3数学极限的求法lim(x1x33)(3)x111xn11ll1,lim xn(4)已知1223( n1)n求 nlimx21lim ( x 1)(x1)

3、limx12解： (1)x1 2x2x1 x1 (x 1)(2 x1) = x 1 2x1 3lim (1x2)(1x2)limx31(2)（2） x3( x3)(1x2) x3 ( x3)(1x2) 4(3)lim (x1x33)x111limx2x 2lim(x 1)( x 2)limx 2x311)(x2x1 -1 x1 x1 (xx 1) x1 x2xn11l l1,(4)因为1223(n1)n1111111ll11112 2 3 3 4 4n 1 n 1 n1nlimxnlim(111)所以 nnn3：利用两个重要极限公式求极限limsin x11(1)lim xgsinx 0xxx

4、1) x1lim(1lim(1 x) xe(2)xxx0例：求下列函数得极限 4limlimcos x cos x2 cos x3 l lcos xn(1)n 0n2222n2lim(12 )m(2)mm1（3） lim ( xa x ) x ,(a 0, a1)x 0数学极限的求法解： (1)cos x cos xcos x l lcos x222232n1sin x cos x cos xcos xl lcos xsinx2 sinx222232n2n2n1x sin xnsin22nxxxcosxlim coscos 2 cos3 l lnn2222lim1sin x=sin x2nsi

5、nxnlim 2n sinxnsin xn2n2 xlimxcosxcosxl lcosxsin xlim cos23nlimx0n222x 12 x0n2m2n2n2m2n222g(2 )gm2 g(mlim(1n) mlim(1)nmlim(1)n)(2)m2m2 e0 1mm2 m m11a x（3）lim a(1xa x )xa lim (1xax ) xaxx 0x01xlim a xa lim (1xax ) xa x 0ae1ae 、x04、利用两个准则求极限。(1)夹 逼 准 则 ： 若 一 正 整 数n, 当 nn 时 ， 有 xnynzn 且lim xnlim zn a,l

6、im ynaxx则有 x、利用夹逼准则求极限关键在于从 xn 得表达式中，通常通过放大或缩小得方法找出两个有相同极限值得数列 yn 与 zn ，使得 yn xn zn 。111xn.n , 求 xn 得极限例 1、n2 1n22n2解：因为 xn 单调递减，所以存在最大项与最小项数学极限的求法xn111nnn2.nn2nn2nn211.1nxn1nn21n2 1n221nxnn则 n2nn2 1limnlimn122xnnx又因为n 1lim xn1x（ 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列得存在，然后根据数列得通项递推公式求极限。例：

7、 1证明下列数列得极限存在，并求极限。y1a , y2aa , y3aaa ,l l , ynaaala证明：从这个数列构造来瞧yn 显然就是单调增加得。用归纳法可证。又因为 y2ay1 , y3ay2 ,l l , ynayn 1所以得y2ayn 1 、 因为前面证明 yn 就是单调增加得。nyna1yyn两端除以n 得aaa因为 yny1a, 则 yn1a 1,从而 ynayna1即yn就是有界得。根据定理yn有极限，而且极限唯一。令limynllim yn2lim( yn 1a)n则nn14a1则 l 2la 、 因为yn0, 解方程得 l2数学极限的求法14a1lim yn l2所以n

8、5：洛必达法则求极限：0洛必达法则只能对 0或型才可直接使用，其她待定型如0 ?,00 ,1,0limf / ( x)lim f ( x)必可以化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则g /( x)=g( x) =a、00或1100101通分化为 0000 ? 可以通过0，后面两个幂得形式通过取对数来变化。ln sin mxlim例 1 ：(1) 求 x 0 ln sin nx(2)lim x x求 x 0解： (1)limlnsinmx limlnsinnx由 x 0x 0lim ln sin mxlim m cosmx sin nx所以上述极限就是待定型，则 x0 ln sin nx x

9、0 n cosnx sin mx m sin nxlimn x 0 sin mx 1(2)lim x x它为 00x 0型由对数恒等式可得 xxex ln xlimx ln xlim x xx0x 0= elimx ln xlimln x0x 0x 01x数学极限的求法lim x x01x0 elim f /( x)limf ( x)如果g /( x)不存在时，并不能断定g( x) 也不存在，只就是这时不能用洛必达法则。例 limx2sin xx 3x cos x解：该极限就是“0 ”型，但用洛比达法则后得到：lim 12cosx ，此极限0x3sin x不存在，而原来极限却就是存在得。正确做

10、法如下：12 sin x原式 = limx（分子、分母同时除以x）cosxx3x1=36：利用单侧极限相等求极限用于求分段函数在分段点处得极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处得极限存在，否则极限不存在。1x0f ( x)x sin ,x例：1 x 2 ,x 0求 f(x) 在 x=0 得左右极限limxsin 1解： x0x 1limxsin 1x0x 1limf ( x) lim f ( x) 1x0x 0lim f ( x)1x07：利用函数得连续性求极限数学极限的求法用于直接将值带入函数或求复合函数得极限。如果u=g(x)在点 x0 连续g( x0 )= u0 , 而 y=

11、f(u) 在点 x0 连续，那么复合函数 y=f(g(x)在点 x0 连续。即lim f (g( x) f ( g( x0 )f (limg( x)lim互换顺序。x x0xx0，极限号 x x0 可以与符号 flim ln(11) x例：求 xxu(11 ) x解：令 y ln u ,则x因为 ln u 在点u0lim ln(11 )xexx处连续lim ln(11) x所以xxlnlim(11) xxx ln e18：利用无穷小量得性质求极限：可以处理一个有界函数与无穷小得乘积就是无穷小类得问题。sin xlim例：求 xxsin x1lim 10解： 因为xxlimsin x0所以 xx

12、9：换元法求极限：当一个函数得解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元得方法加以变形，使之简化易求。limxx1例： 3求 x 1 x ln x数学极限的求法解：令 txx1 则 ln xln( t1)1xx1tlim1)limt0 ln( tlim1) t1x1x ln x t0 ln( t例 lim 1n x( m,nn) 、x1 1m x解（变量替换法）令 tmn x ，则当 x1时， t1. 于就是 ,原式lim1t m(1t)(1tt 2t m 1 )m、t nlimt)(1tt 2t n 1 )nt1 1t 1 (1例 lim (x)x 、x x 1解（变量替换法）令xt , x,

13、 t，原式 lim (2t 2) tlim ( tt )tlim (11) 1 (11) 1 ttt1tt1 t1tttlim (1 1) t (11) te 1ee01、ttt10：利用中值定理求极限：1 ：微分中值定理：若函数 f(x)满足 ( i )在 a,b连续 、 ( ii ) 在(a,b)可导则f (b)f (a)在 (a,b) 内至少存在一点，使 f (b)f (a)(b a) f( ) ，或f ( )ba例 2lim sin(sin x)sin x：求 x 0x3解：01sin(sin x)sin x(sin xx) cos( x sin x)xlimsin(sin x)sin

14、 xx3x 0(sin xx)cos( x sin x)xlimx3 x0cos x 1cos0 lim3x2x 0数学极限的求法sin xlim x 0 6 x1 62：积分中值定理：设函数 f(x)在闭区间a,b 上连续 ;g(x)在 a, b 上不bf ( x) g( x) f ( )b变号且可积，则在a,b 上至少有一点使得 ag( x)dxaablim4 sin n xdx例：求n0lim4 sin n xdx解：n0lim six n(0)0 n44lim(sin)n 4 n011：利用泰勒展开式求极限泰勒展开式：若f(x)在 x=0 点有直到 n+1 阶连续导数 , 那么fxf

15、(0)f / (0) x f / ( x) x2 l lf n ( x) xnrn (x)2!n!rn ( x)f n 1 ( ) xn 1(n 1)!x2例： 1limcos xe 2x4x 0x2cos x1解：泰勒展开式2!其中在 0 与 1 之间 )x440( x)4!x2x21x220( x4 )e 2122!2数学极限的求法x21x40( x4 )于就是 cos x - e 2 12x2144limcos x e212x0( x)1x4limx412所以 x 0 x012：利用导数得定义求极限导数得定义：函数f(x) 在 x0 附近有定义，vx, 则 vy f ( x0 vx)f

16、( x0 )vylimf (x0vx)f ( x0 )limvx存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 x0得如果 v x 0 vxv x 0/f / (x0 )lim0f (x0 vx)f ( x0 )导数，记为 f ( x0 )、即v xvx在这种方法得运用过程中。首先要选好 f(x) 。然后把所求极限。表示成f(x) 在定点 x0 得导数。lim( x) ctg 2xx 2例：求2解：取 f(x)=tg 2x 、则lim( x) ctg2x11tg 2xx2limtg 2x tg(2 )2x2xlim22x2x2f ( x)f ()11lim2/2xxf()(2sec2x) x222 2

17、1 213：利用定积分求与式得极限利用定积分求与式得极限时首先选好恰当得可积函数f(x) 。把所求极限得与式表示成f(x)在某区间a,b上得待定分法（一般就是等分） 得积分与式得极限。数学极限的求法lim1nn2 l ln22222nnn1n2n(n 1)例：求1nnl ln解：由于 nn212n222n2(n 1)21111n22 12 l l21 1n11n11nn11可取函数 f(x) 1x2 区间为0,1 上述与式恰好就是f ( x)1 x2在 0,1 上 n 等分得积分与。lim 12n2n2n2 l ln2n1)2所以nnn12(n111l l1n2221 12 1n 1lim111nnn n11dx 01 x2 414：利用级数收敛得必要条件求极限n 1nn0 n利用级数收敛得必要条件：若级数收敛，则运用这个n方法首先判定级数n 1收敛，然后求出它得通项得极限limnn2例： 2nn!求annn2解：设n!数学极限的求法an 1(n1)n12limlimn!an2nn则nn(n1)!=lim1(11)n=00 ，存在(