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第九章 重积分及其应用,9.1 二重积分的概念和性质,一 二重积分的概念 二 二重积分的性质,一 二重积分的概念,（1）曲顶柱体的体积,1 概念的引入,求其体积 V.,1）分割,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2) 近似替代,在每个,3)求和,则,中任取一点,小曲顶柱体,4)取极限,令,（2）平面薄片的质量,1) 分割,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域 .,2) 近似替代,中任取一点,3) 求和,4) 取极限,则第 k 小块的质量,2 二重积分的定义,定义:,将D 任意分成 n 个小区域,若存在一个常数 I , 使,在D上可积 ,在D上的二重积分.,是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ,注：如果 在D上可积,也记作,这时,来分区域D ,则可用平行坐标轴的直线,实例1中曲顶柱体体积:,实例2中平面薄板的质量:,二重积分,4 二重积分存在定理,3 二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积 的负值,二 二重积分的性质,性质,当 为常数时，,性质,性质,若 为,的面积，,性质,若在D上,则有,特殊地,性质,（二重积分 中值定理）,性质,（二重积分估 值不等式）,解,从而,由图可见 ：在 D 上,积分域 D 的边界为圆周,例2,计算,解

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