2-1导数的概念

1、第二章 一元函数微分学及其应用,第一节 导数的概念,作业 习题2.1(a) 1(4),2(3)(4),7,8,9,11,16,17 (b)1,2,3,第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),一元函数微分学及其应用,导数思想最早由法国数学家 ferma 在研究极值问题中提出.,英国数学家 newton,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的关系,第一节,导数的概念,五、导数在其它学科中的含义,一、 引例,1. 变速直线运动的瞬时速度,设描述质点运

2、动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线,在 m 点处的切线,割线 m n 的极限位置 m t,2. 平面曲线切线的斜率,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数改变量与自变量改变量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度改变量与时间改变量之比的极限,是转角改变量与时间改变量之比的极限,是质量改变量与长度改变量之比的极限,是电量改变量与时间改变量之比的极限,变化率问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、导数的定义,定义1.1 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,

3、则称函数,若,的某邻域内有定义 ,例1,解,例2,例3,解,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,定理,一般地，分段函数分段点处的可导性要利用左右导数来判定。,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间 i 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,就说函数,就称函数在 i 内可导.,的导数为无穷大 .,例5,解,例4,解,例6,解,更一般地,例如,例7,解,例8,解,1、几何意义,切线方程为,法线方程为,三、导数的几何意义、物理意义,2.物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率.,变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,交流电路:电量对时间的导数为电

4、流强度.,非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,四、可导与连续的关系,定理1.1,证,注意: 该定理的逆定理不成立，即连续不一定可导。,五、导数在其它学科中的含义变化率,平均变化率,变化率,例1: 直流电路中，电量q= q(t) 对t 的变化率为,它表示t 时刻的电流强度,例2：设n=n(t)表示某生物种群在t时刻个体的数目,例: 经济学中的边际成本,设p=p(x)它表示生产x个某种产品的总成本,表示t时刻种群的增长率,平均成本,边际成本,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,5. 已学求导公式 :,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,改变量之比的极限;,切线的斜率;,思考与练习,1. 已知,则,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导, 且,3. 设, 问 a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x = 0 连续 .,解: 因为,所以,在,处连续,