第一章：函数.ppt

1、welcome,欢迎您加入本课堂，希望您刻苦学习，努力争取最优异的成绩。,闫志莲,高等数学（上册） 教材：高等数学同济六版 辅助：高等数学朱士信等,1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续,2. 微分学:一元函数微分（导数）,高等数学（上册）主要内容,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.积分学:一元函数积分（积分）,如何学习高等数学 ?,1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.,2. 学数学最好的方式是做数学.,聪明在于学习 , 天才在于积累 .,学而优则用 , 学而优则创 .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,马克思,恩格斯,要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.,一门科学,

2、只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .,第一节 目录 上页 下页 返回 结束,华罗庚,高等数学的学习方法因人而异,在学习中注意以下几个环节,1. 课前预习,2. 认真听讲,3. 复习巩固,本学科的学习基本方法,4. 作业,5. 答疑,第一章,函数, 高等数学的研究对象,函数,第一章,二、复合函数与反函数,一、函数的定义,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的概念,三、直角坐标系与极坐标系,定义域,一、函数的概念,定义. 设非空数集,如果变量x在内任取一个,数值 时，变量y按照一定的法则f，总有唯一确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作,机动 目录 上页 下页 返

3、回 结束,自变量,因变量,定义域,函数的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.,绝对值函数,定义域,值 域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意：,构成函数的要素：定义域与对应法则,高等数学中常用的表示方法:显式、隐式、 参数式、 分段式,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 已知函数,求,及,解:,函数无定义,并写出定义域及值域 .,定义域,值 域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,u 称为中间变

4、量.,例如, 函数链 :,函数,但函数链,不能构成复合函数 .,可定义复合,二、复合函数与反函数,() 复合函数,复合函数注意： .构成复合函数的条件 ， .两个以上的函数也可以构成复合函数； .善于分解复合函数.,() 反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质:,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,机动 目录 上页 下页 返回 结束,指数函数,三直角坐标与

5、极坐标,极坐标系的定义 在平面内任取一个定点O，叫做极点，引一条射线ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)，对于平面内任意一点M，用 r 表示线段OM的长度， 表示从ox到OM的角度, r 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对 (r, ) 就叫做点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系,(2) 极坐标和直角坐标的互化公式： 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。 设M是平面内任一点，它的直角坐标为 极坐标是 ，从点M作 由三角函数定义，可得出 之间的关系。,x,y,O,y,M,N,x,(1),(2),例2、 解

6、：,第二节 具有某种特性的函数,设函数,且有区间,(1) 有界函数,使,称,使,称,说明: 还可定义有上界、有下界、无界,(见上册 P11),(2) 单调函数,为有界函数.,在 I 上有界.,使,若对任意正数 M , 均存在,则称 f ( x ) 无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,时,称,为 I 上的,称,为 I 上的,单调增函数 ;,单调减函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 奇、偶函数,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,机动 目录 上页 下

7、页 返回 结束,又如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（2）奇函数奇函数偶函数；,偶函数奇函数奇函数；,偶函数偶函数偶函数.,注,奇偶函数的运算性质：,（1）奇函数奇函数奇函数；,偶函数偶函数偶函数.,（4）周期函数,定义,成立，则称f (x)为周期函数，T称为f (x)的一个周期.,若对任意,设函数 f (x)定义与D上，T是一个正数，,有,注1,注2,注3,如果其中有一个是最小的正的周期，则称,这个周期为基本周期，简称周期.,若T是 f (x)的一个周期，则 nT,也是 f (x)的周期.,并非所有的周期函数都有基本周期.,例,下面看一

8、些周期函数的例子:,例,例,函数 f (x) = sin x是周期函数，其周期是,函数 f (x) = xx是周期函数，其周期为1.,常数函数 f (x) = c是周期函数，任意正实数,都是其周期，故不存在基本周期.,狄里克雷函数,例,x 为有理数,x 为无理数,例3,证明：,它在其定义域上是无界函数.,证明函数,在区间1, 2有界，但,对每一个,总有,所以f (x)在1, 2有界.,其次，对任意的 M 0，取,则,故f (x)为无界函数.,例4,解：,判定函数,的奇,偶性.,关于原点对称.,对任意 xD，则有,故,为奇函数.,第三节 初等函数,1 基本初等函数,基本初等函数是指,常值函数、,

9、幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,这六类函数.,y = c (c为常数)；,常值函数,图象为一条水平直线.,定义域,值域,y = c （c 为常数）,幂函数,幂函数的定义域依,例如,而定，,的定义域为,的定义域为,的定义域为,的定义域为,但不论,取何值，当 x0时，它总是有定义的，,其图象都经过(1, 1)点.,为实数,与,指数函数,不论a为何值，函数图象,均经过(0, 1)点.,定义域,值域,当a 1时，ax 严格单增；,当0 a 1时，ax 严格单减.,三角函数,三角函数包括下面六种：,有界函数,(1) 正弦函数 y = sin x.,定义域,值域,它是奇函数和以,

10、为周期的周期函数.,有界函数,（2）余弦函数 y = cos x.,定义域,值域,它是偶函数和以,为周期的周期函数.,（3）正切函数 y = tan x,定义域,值域,它是奇函数和以,为周期的周期函数.,（4）余切函数 y = cot x,定义域,值域,它是奇函数和以,为周期的周期函数.,其定义域与正切函数的定义域相同.,值域,它是偶函数和以,为周期的周期函数.,（5）正割函数,其定义域与余切函数的定义域相同.,值域,它是奇函数和以,为周期的周期函数.,（6）余割函数,三角函数的基本公式,反三角函数,反三角函数是三角函数的反函数.,由于三角函数都是周期函数，故对于值域的每个,y 值，与之对应的

11、 x 值有无穷多个，因此，在三角函,数的整个定义域上，其反函数是不存在的,必须限制,在三角函数的单调区间上才能建立反三角函数.,记为,故其反函数存在，称此反函数为反正弦函数，,它是奇函数，且是严格单增的.,（1）反正弦函数,正弦函数 y = sin x，在区间,上严格单增，,其定义域,值域,记为,故其反函数存在，称此反函数为反余弦函数,它是严格单减的.,（2）反余弦函数,余弦函数 y = cos x，在区间,上严格单减，,其定义域,值域,（3）反正切函数,记为,故其反函数存在，称此反函数为反正切函数，,它是奇函数，且是严格,单增的.,正切函数 y = tan x，在区间,上严格单增，,其定义域,值域,（4）反余切函数,记为,故其反函数存在，称此反函数为反余切函数，,它是严格单减的.,余切函数 y = cot x，在区间,上严格单减，,其定义域,值域,2 初等函数,例如,注,由基本初等函数经过有限次的四则运算与复合，,并能用一个式子表示的函数，统称为初等函数.