定积分的应用

1、定积分得应用微积分学就是微分学与积分学得统称 , 它得创立 , 被誉为“人类精神得最高胜利”。在数学史上 , 它得发展为现代数学做出了不朽得功绩。恩格斯曾经指出：微积分就是变量数学最重要得部分 , 就是数学得一个重要得分支 , 它实现带科学技术以及自然科学得各个分支中被广泛应用得最重要得数学工具 . 凡就是复杂图形得研究，化学反映过程得分析，物理方面得应用 , 以及弹道气象得计算 , 人造卫星轨迹得计算 , 运动状态得分析等等 , 都要用得到微积分 . 正就是由于微积分得广泛得应用， 才使得我们人类在数学科学技术经济等方面得到了长足得发展，解决了许多得困难 . 以下将讲述一下定积分在数学经济工

2、程医学物理方面得中得一些应用 .1 定积分得概念得提出、 1 问题得提出曲边梯形得面积( 如图 1) 所谓曲边梯形， 就是指由直线、 () ，轴及连续曲线 () 所围成得图形。其中轴上区间称yy=f( x)为底边 , 曲线称为曲边。不妨假定，下面来求曲边梯形得面积。 由于 ( ）无法用矩形面积公式来计算 , 但根据连续性 , 任两点, 很bx小时 , 间得图形变化不大，即点、点处高度差oay别不大。于就是可用如下方法求曲边梯形得面积。图 1-1（1） 分割 用直线 , （) 将整个曲边梯形y=f(x)任意分割成个小曲边梯形 , 区间上分点为：这里取 , 区间被分割成个小区间， 用表示小区间得长

3、度 , 表示第块曲边梯形得面积， , 整个曲边梯形得面积等于个小曲边梯形得面积之与 , 即12ino a=x0 x1x2xi -1 xixn -1xn =bx图 1-2(2) 近似代替 : 对每个小曲边梯形 , 它得高仍就是变化得， 但区间长度很小时 , 每个小曲边梯形各点处得高度变化不大 , 所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形得面积，就就是 , 在第个小区间上任取一点 , 用以为底 , 为高得小矩形面积 , 近似代替这个小曲边梯形得面积（图 1-1), 即、(3 ）求与整个曲边梯形面积得近似值为个小矩形面积之与，即上式由于分割不同，选取不同就是不一样得, 即近似值与分割及选取有关( 图 1

4、) 。（4）取极限将分割不断加细，每个小曲边梯形底边长趋于零, 它得高度改变量趋于零，曲边梯形得面积与取代它得矩形面积无限接近, 从而与式得极限就定义为曲边梯形面积得精确值。令 , 当时 , 有上面得例子 , 最终归结为一个特定得形式与式逼近。在科学技术中还有许多同样得数学问题 , 解决这类数学问题得思想方法概括说来就就是“分割 , 近似求与，取极限”这就是定积分概念得背景。1、定积分得定义设函数在区间上有界，在中任意插入若干个分点把分成个小区间：各个小区间得长度依次为: ，, ，在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度得乘积。并作与记，如果不论对怎样分割 , 也不管在小区间上点（）怎样取

5、法 , 只要当时 , 与总就是趋于确定得极限，我们称这个极限值为函数在区间上得定积分 ( 简称为积分） , 记作 , 即(1)其中称为被积函数 , 称为被积表达式，称为积分下限，称为积分上限, 称为积分变量，称为积分与 .（1）曲边梯形得面积就是曲边方程在区间上得定积分。即定积分在几何学上得应用、 1 定积分在平面几何中得应用在初高中我们学习过求圆，三角形，平四边形, 梯形等比较规则得图形面积, 然而对于不规则得图形就无能为力了，所以再学定积分以前我们只能求一些简单图形得面积,部分稍复杂得图形 , 可能用有限个简单图形得分割也能求出来 , 但有很大得局限性， 定积分得出现为这些问题 , 提出了

6、很好得解决条件。一般地 , 由上、下两条连续曲线 y (x ）与 = ( ）以及两条直线 x=a 与 x b(a b)所围成得平面图形 , 它得面积计算公式为 ( ）例 求由抛物线与 x2y- 0 所围成平面图形得面积q解 该平面图形如图所示 , 先求出直线与抛物线交点 p（ 1， -1 ） 与 q（， ) 、用=1 把图形分成左 , 右两部分，应用公式（1） 分别求得它们得面积为、图 2-1a=+=32/3.2、定积分在立体几何中得应用2、 2、 1 由截面面积函数求立方体体积设为三维空间中得一立体， 它夹在垂直于 x 轴得两平面 xa 与 xb 之间（a=) 、这段曲线绕轴旋转一周得到旋转

7、曲面 , 则面积公式 s2。如果光滑曲线 c 由参数方程 x=x(t), y（ t ）， , 给出 , 且 y( )0, 那么由弧微分知识推知曲线 c 绕轴旋转所得旋转曲面得面积为、例 计算圆在 ,r,r 上得弧段绕 x 轴旋转所得球带得面积。解对曲线 y=在区间 , 上应用公式 ( ），得到 2() 。特别当 r， =r 时，则得球得表面积 4、定积分在经济学中得应用、 1 求经济函数在区间上得增量根据边际成本 , 边际收入 , 边际利润以及产量得变动区间上得改变量 ( 增量 ) 就等于它们各自边际在区间上得定积分 :(1)(2 ）( ）例 已知某商品边际收入为 ( 万元 / ), 边际成本

8、为 5（万元 t ）, 求产量从 25 t 增加到 30 t 时销售收入，总成本 c，利润得改变量（增量） 。解首先求边际利润所以根据式（ 1）、式（ 2) 、式 (3), 依次求出 :=15=250万元= 00 万元例 某厂生产某种产品 , 每日生产得产品得总成本得变化率 ( 即边际成本 ) 就是日产量得函数 , 已知固定成本为 0元 , 求总成本函数、解因总成本就是边际成本得一个原函数, 所以已知当时 , ，代入上式得 , 于就是总成本函数为例 某产品销售总收入就是销售量得函数 . 已知销售总收入对销售量得变化率 ( 即边际收入） , 求销售量由 00 增加到 40时所得得销售收入、解因销

9、售收入就是边际收入得一个原函数, 按题意，有( 元)3、 2 求经济函数在区间上得平均变化率设某经济函数得变化率为, 则称为该经济函数在时间间隔内得平均变化率。例 某银行得利息连续计算，利息率就是时间（单位: 年）得函数 :. 求它在开始 2 年，即时间间隔 0 ，2内得平均利息率。解由于所以开始 2 年得平均利息率为例 某公司运行（年 ) 所获利润为 ( 元）利润得年变化率为( 元 / 年 ) 求利润从第年初到第8 年末，即时间间隔 3, 内年平均变化率解由于所以从第年初到第8 年末，利润得年平均变化率为( 元 / 年）即在这 5 年内公司平均每年平均获利元3、 3 由贴现率求总贴现值在时间

10、区间上得增量设某个项目在（年）时得收入为 ( 万元） , 年利率为 , 即贴现率就是，则应用定积分计算 , 该项目在时间区间上总贴现值得增量为。设某工程总投资在竣工时得贴现值为（万元），竣工后得年收入预计为 ( 万元）年利率为 , 银行利息连续计算 . 在进行动态经济分析时，把竣工后收入得总贴现值达到 , 即使关系式成立得时间 t( 年）称为该项工程得投资回收期。例某工程总投资在竣工时得贴现值为100万元 , 竣工后得年收入预计为00 万元 , 年利息率为 0、 , 求该工程得投资回收期 .解 这里， , 则该工程竣工后年内收入得总贴现值为令 =1000, 即得该工程回收期为6、39( 年)3

11、、 利润、产量与开工时数得最佳值得确定例 1 某厂生产一种产品，年产量为吨时，总费用得变化率（即边际费用 ) 为( 单位：百元吨），这种产品每吨得销售价为 3000 元, 问一年生产多少产品工厂利润最大 ,并求出年利润得最大值、解总费用就是边际费用得原函数，故而收入函数 ( 百元 ) ，又由=则令，得 ( 吨) 。驻点唯一。此时,由实际问题可知，当时，取得最大值( 百元 ) 、因此 , 年产量为 88 吨时工厂获得最大利润 6800 元。例 2某工厂生产一种产品 , 每日总收入得变化率 （即边际收入） 就是日产量得函数( 单位 : 元/ 件）。该厂生产此种产品得能力为每小时30 件，问怎样安排

12、生产才能使这种产品每日得总收入最大？并求出此最大总收入值、解由题意,令，得，又，因为只有唯一得驻点 , 由实际问题知 , 当时 , 取得最大值、因此 , 每日取得最大总收入得产量为 150 件，此时 ( 元）、完成 150 件产品需要得工时为（小时 ), 所以 , 每天生产这种产品小时 , 就使每日收入最大 , 最大值为 2250 元。3、 5 资本存量问题例 1 资本存量就是时间得函数。它得导数等于净投资现知道净投资（单位万元 / 年) 。求第一年底到第四年底得资本存量、解因资本存量就是净投资得一个原函数, 故:10（ 10 万元）所以，第一年底到第四年底得总资本存量为400000 元。例

13、2某银行根据前四年存款情况, 知该行现金净存量得变化率就是时间得函数( 单位 : 万元 / 年) ，计划从第五年起积存现金10万元。按此变化率需几年时间?解依题意100即0 0由此，得解此方程，得、所以 , 从第五年积存 1000 万元现金约需6 年、3、消费者剩余与生产者剩余在自由市场中 , 生产并销售某一商品得数量可由这一商品得供给与需求曲线描述 , 它得状态可在如图上直观表现如下：得经济意义就是供应者会生产此商品得最低价。就是消费者会购买此种商品得最高价。就是免费供给此种商品得需求量 ( 如卫生纸 ) 经市场功能调节后 , 市场将趋于平衡价与平衡数量 , 两条曲线在相交。消费者以平衡价格

14、购买了某种商品，她们本来打算出较高得价格购买这种商品,消费者剩余就是指消费者因此而省下来得钱得总数。用积分式来表达就就是:消费者剩余 =曲边三角形面积、生产者以平衡价格出售了某种商品, 她们本来打算以较低一些得售价售出这些商品 , 生产者剩余就是指生产者因此而获得得额外收入。用积分式表达就就是生产者剩余曲边三角形面积、4 定积分在工程中得应用、定积分中值定理定积分中值定理作为定积分得一个重要性质，计算河床得平均深度时，应用定积分中值定理知识此问题主要出现在水利工程专业得工程水文学课程中, 主要应用于计算河流、湖泊等河床横断面水得平均深度，以此用作河流测流、工程设计或施工得一个依据。只要测量出河

15、面在某处得宽度 （b), 河床得横断面形状与河床得最大深度 （h ), 则可运用定积分中值定理知识计算该处河床得平均深度 ( ), 即（ ) 、例 设一河流得河面在某处得宽度为 2 b，河流得横断面为一抛物线弓形，河床得最深处在河流得中央 , 深度为 h , 求河床得平均深度、分析 : 首先，选取坐标系使 轴在水平面上 ,y 轴正向朝下 , 且 y 轴为抛物线得对称轴。于就是 , 抛物线方程为 h- 、然后 , 运用定积分中值定理便可求得河床得平均深度、解 :河床得平均深度 =、4、 2 定积分得近似计算知识得应用近似求物体得截面积，应用梯形法或抛物线法等定积分得近似计算知识。此问题主要出现在

16、水利工程专业得灌溉排水技术课程中, 主要应用于近似计算河床、渠道得过水断面面积 , 进而计算截面流量 ( 即渠系测流 ) 。由水利学知识可知，单位时间内流过某一截面得流体得体积就叫做通过这个截面得流量3, 即 qvt （ m/s) 、在水利工程中，流量得计算通常运用公式 =sv（ 3/s ）, 即过水断面面积（ ) 与流速 (v）得乘积。例 1 有一条宽为 24 米得大型干渠，正在输水浇灌农田 , 试利用流速仪并结合梯形法或抛物线法近似求横截面积等高等数学知识进行测流 .024681012141618202224yyyyy图 4-1x023y11y12110分析 : 根据灌溉管理学知识，首先选

17、择测流断面, 确定测线 . 测流断面选择在渠段正直，水流均匀，无漩涡与回流得地方，断面与水流方向垂直; 测流断面得测线确定为12条。其次 , 测定断面 . 先在渠道两岸拉一条带有尺度得绳索，测出测深线得起点距（与断面起点桩得水平距离）；测线深度，用木制或竹制得测深杆施测，从渠道一岸到对岸每隔 2米测量一次水深，测得数据如下表 . 根据施测结果绘出测流断面图 , 如图所示。第三 ,y利用流速仪施测断面流速。例如, 利用旋环式流速仪测出该渠道断面平均流速为0、0m/s、第四 , 近似计算渠道过水断面面积与流量 .、测线深度施测数据表（单位 :m)x16202 24y 、0 、 、 1 、 1、6、

18、92 、 2、0 1、71、30、8 解答：2/s 、（1） 抛物线法（辛卜生公式 ): 30、6m ; q=18 、 0；3（2） 梯形法： a30、 4m=1、 2m/ 、例 有一条河流 , 宽为 00 米，从河一岸到正对岸每隔0 米测量一次水深，测得数据 如 下 表 。 试 分 别 用 梯 形 法 与 抛 物 线 法 求 此 河 床 横 截 面 积 得 近 似 值 . 单位 : xi2 yi2591 1719211 1164、 3 微元法知识得应用微元法在专业基础课与专业课中应用非常广泛， 求解物体所受液体得侧压力 , 应用微元法知识。此问题主要出现在水利工程专业得水力学 、水工建筑物等

19、课程中 , 主要应用于计算水闸及输水建筑物（如坝下涵管、隧洞、渠道、管道等 ) 上得闸门所受水压力得大小，作为设计或校核闸门结构得一个重要依据 . 水闸就是一种低水头水工建筑物，既能挡水 , 又能泄水，用以调节水位 , 控制泄流量 ; 多修建于河道、渠系及水库、湖泊岸边，在水利工程中得应用十分广泛。闸门就是水闸不可缺少得组成部分，用来调节流量与上、下游水位 , 宣泄洪水与排放泥沙等。闸门得形式很多，按其结构形式通常分为平面闸门、弧形闸门及自动翻倒闸门等 ; 按其工作条件可分为工作闸门与修理闸门 ; 按其所处得位置不同可分为露顶闸门与潜孔闸门 ; 按其所用得材料可分为钢闸门、钢筋混凝土闸门、钢丝

20、网水泥闸门与木闸门等；按其形状不同又可分为矩形闸门、梯形闸门、圆形闸门与椭圆形闸门等。 闸门得主要作用就是挡水 , 承受水压力就是其作用荷载之一。运用微元法计算闸门所受水压力时， 设受水压力作用得区域与水平面垂直且由曲线 y f （） 0，(0 x )x=a,x=b 及轴所组成。 轴正向朝下， y 轴在水平面上 , 水得密度为 =10 0 /m3, 则闸门所受得水压力大小为 （n）、例 有一个水平放置得无压输水管道 , 其横断面就是直径为 6得圆，水流正好半满, 求此时输水管道一端得竖直闸门上所受得水压力分析：首先建立合适得直角坐标系，如图所示，则圆得方程为 =9、然后 , 运用微元法求解即可

21、。解答 :图 4-2=1、76 105n、r5 定积分在医学得应用oy如图显示了人得心血管系统。血液流经全身通过静脉进入右心房, 然后通过肺动脉泵x入肺部补充氧气。 之后通过肺静脉流回左心房, 再通过主动脉流往全身其它部位, 进行血x+dx液循环。心输出量就就是单位时间（一分钟）内 , 心脏泵出得血液量 , 即血液通过动脉得速率 . 安静状态下 , 成年男性每搏输出量为 00毫升 , 心率 75次/ 分钟 , 故心输出量约4、56升; 女性得心输出量比同体重男性得约低10。人体得血液一直在周身循环, 我们x只能人为定义血液流动得起点与终点, 即便这样也很难测定心脏单位时间内泵出得血液总量 ,

22、所以人们就探索利用辅助材料来测定心输出量。最简单得辅助材料就就是染料，即指示剂。具体做法就是把指示剂加入到右心房 , 那么指示剂会与血液一起流经心脏泵入动脉。通过一个插入动脉得探头在一段时间内等间隔测量测出流出心脏得指示剂得浓度, 直到指示剂基本消失 , 即指示剂全部流出心脏。 那么剩余得问题就就是如何利用测得图51图5-2得浓度计算心输出量呢？严格意义 , 只能测定某一时刻指示剂得浓度，就是一系列得离散值，我们假定这些离散值在某一微小得时间段内就是不变得， 所以当时间段分得越细我们测定得值越接近连续值，这种思想使我们很容易想到积分得概念 , 所以可建立数学模型解决这个问题。解令 (t ）就是

23、 t 时刻指示剂得浓度。如果把时间段 0,t 划分成个等长得小时间段，指示剂流量 =( )（ f）, 其中为我们测定得心输出量 , 这样总量即为 , 令时 , 指示剂总 .那么心输出量 f=、这里得 a 为已知量 , 即投入右心房得指示剂总量 , (t ）通过测量探头读取。6 定积分在物理学得应用6、变力做功在功得问题中，恒力做功就是最简单得 , 公式为。“以常代变” , 功得微元应该通过恒力做功公式得到得。例 1 一压簧，原长 1，把它每压缩 1 时所用得力为 0、0。问在弹性范围内把它由1( 如图 61) 压缩到 6( 如图 6-2) 所做得功 .图 6图 62解令起点为原点，压缩得方向为

24、轴得正方向当把弹簧自原点压缩至之间得任意点处时( 如图 3)图 63由胡克定律知所承受得弹簧得压力为在此力得作用下 , 再继续压缩一点点，即压缩至处由于很小，这个压缩过程可认为力不变 , 即恒力做功则由恒力做功公式得功得微元积分得.例 2 在原点处有一带电量为得点电荷 , 在它得周围形成了一个电场 现在处有一单位正电荷沿轴正方向移至处 , 求电场力所做得功 . 又问若把该电荷继续移动，移动至无穷远处，电场力要做多少功。解点电荷在任意点处时所受得电场力为 ( 为常数 )电场力做功得微元为点电荷由任意点处移动至处时电场力所做得功 即则移至处电场力做得功；移至无穷远处电场力做得功( 物理学中称此值为电场在处得电位).例 3 一圆台形水池，深 1, 上下口半径分别为 0 与 10, 如果把其中盛满得水全部抽干，需要做多