北师大版高中数学必修5全本教案

1、北师大版高中数学必修5 全本教案第 1 章数列1.1.1数列的概念与简单表示法（一）教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.教学过程：合作探究折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试 ( 学生们兴趣一定很浓 ).生 一般折 5、 6 次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1 长度单位，

2、面积为1 面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2 ， 4， 8， 16 ， ， 256 ， ；随着对折数面积依次为1111,12, .4816256生 对折 8 次以后，纸的厚度为原来的2 56倍，其面积为原来的1，再折下256去太困难了 .师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化. 请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数 .生 还有一定次序 .师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.教师精讲1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意：（ 1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如

3、果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（ 2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复 出现 .2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项 (或首项 ) ，第 2 项， ，第n 项， .同学们能举例说明吗？生例如，上述例子均是数列，其中中， “2”是这个数列的第1 项 (或首项 )，“16”是这个数列中的第4 项 .3.数列的分类：1) 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1， 2， 3 ， 4 ， 5， 6 是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1， 2， 3 ， 4 ，

4、5， 6 是无穷数列.北师大版高中数学必修5 全本教案2) 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 .请同学们观察：课本p 33 的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生 这六组数列分别是(1) 递增数列， (2) 递增数列， (3) 常数数列， (4) 递减数列，(5) 摆动数列， (6)1.递增数列，2.递减数列 .知识拓展师 你能说出上述数列中的256 是这数列的第多少项？能否写出它的

5、第n项？生 256 是这数列的第8 项，我能写出它的第n 项，应为an =2 n.合作探究同学们看数列2 ， 4， 8， 16， ， 256 ， 中项与项之间的对应关系，项2481632 序号12345你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集n * (或它的有限子集1 ， 2， 3 ， ，n) 的函数a n=f( n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 .反过来，对于函数y=f(x) ，如果 f(i)(i=1、 2、 3、 4)有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1),f(2),f(3),n),f( .师 说的很好 .如果数列 an 的第 n 项 an 与 n

6、之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.3. 例题讲解：例 1 根据下面数列an的通项公式，写出前5 项：ann ;( 2)an( 1) n n（ 1）n1变式训练1 根据下面数列an 的通项公式，写出前5 项： an2n1an2n1)(2n 1)( 2n例 2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：1111（ 1） 1 ， 3 ， 5， 7 ； （ 2） - 1 2 ， 2 3 ， - 3 4 ， 4 5 .变式训练2：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,；(2)2 ,4 ,6,8 ,10

7、 , ；315356399北师大版高中数学必修 5全本教案(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,；(4) 2, 6, 12, 20, 30, 42, .例 3 数列 an 中， ann25n 4 18是数列中的第几项？ n 为何值时， an 有最小值？并求最小值变式训练 3：已知数列 an的通项公式a n1(n n* )，那么1 是这n( n 2)120个数列的第几项？思考 ：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？4. 小结： 数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.北师大版高中数学必修5 全本教案1.1.2 数列的函数特性学习目标：理解数列的概念和几种

8、简要的表示方法，了解数列是一种特殊函数，并能以函数角度给数列分类。学习过程：一、课前准备自主学习：数列概念及相关知识，通项公式阅读 p6-7 通过用图像形象直观地刻画数列，结合图象认真思考、分析数列的特性。二、新课导入递增数列：递减数列：常数数列：自主测评1、下列结论中正确的是（）在直角坐标系中表示数列的图像都是一群孤立的点任何一个数列都有无数次数的通项公式存在且唯一a、b、c、d、2、已知数列1 , 1, 1, 2 的一个通项公式为（）6323a、 1b、 nc、 nd、 nn6343、判断下列数列的增减性（） 1 , 1 , 1 , 1 , 1 k k -3 ， -1 ， 1 ， 3， 5

9、 ， 72481632 -3 ， 2 ， -4 ， -5 ， 1， 6 ， -2 -2 ， -2 ， -2 ， -2 0， 1， 0， 1， 0 ， 1探究：是不是所有的数列都有增减性三、巩固应用例 3 ：判断下列无穷数列的增减性北师大版高中数学必修5 全本教案（ 1） 2， 1， 0， -1 ， 3-n,(2)123n2，k k ，,k k1111134n1例 4 ：作出数列,k k ,()n ，的图像，并分析数列的增248162减性。2、已知数列an 中； a13, a26, 且 an+ 2 = an+ 1 - an ，则数列的第100 项为3、已知数列an 中， an = n2 -2n

10、+ 3 ，则数列an 是增还是减数列4、已知数列an 中， an = n2 -7n + 6，求数列an 的最小项四、总结提升1、探究结论2、数列与函数有什么关系？五、能力拓展一填空题1.数列 1,1,1,1,1l，的通项公式的是。2.1,2,1 ,2 ,的一个通项公式是。3253. 在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 . 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内 .年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115 120 125 130 135（）145舒张压（水银柱毫米）707375788083（） 884 已知数列an1(

11、n n ) ，那么1 是这个数列的第项 .， an2)n(n1205. 已知数列 a n 的图像是函数y1 图像上， 当 x 取正整数时的点列，则其通项x公式为。6.已知数列an ， an2n210n 3 ，它的最小项是。7.已 知 数 列an满 足 a12，2an， 则an 1 2an1a4.8. 如图，图（1）、（ 2）、（ 3）、（ 4）分别包含1 个、 5 个、 13 个、 25 个第二十九北师大版高中数学必修5 全本教案届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含f ( n) 个“福娃迎迎” ，则 f (n 1) f ( n)（答案用 n 的解析式表示）二

12、解答题9. 已知a满足 a13， an 12an 1，试写出该数列的前5 项，并用观察法写n出这个数列的一个通项公式.10. 已知数列an 中， a13， a10 21，通项 an 是项数 n 的一次函数，求 an的通项公式，并求a2005 ；若 bn是由 a2 , a4 , a6 , a8 ,l , 组成，试归纳bn 的一个通项公式 .11. 如果一个数列从第2 项开始， 每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列。已知等和数列an 的第一项为2，公和为7，求这个数列的通项公式an 。北师大版高中数学必修5 全本教案1.2.1等差数列（一）教学要求：了解公差的概念，明确

13、一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式.教学难点：等差数列的性质.教学过程：由学生观察分析：4， 5 ， 6， 7， 8， 9， 10 （ 1）3， 0 ， -3 ， -6 ， -9 ，?（ 2）1/10,2/10,3/10,4/10,（ 3 ）1， 1 ， 1， 1，?（4 ）看这些数列有什么共同特点呢？引导学生观察相邻两项间的关系，由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻

14、两项差为同一个常数的特点）。 等差数列的概念等差数列：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差 ，公差通常用字母d 表示。 那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是1， -3 ， -0.1 ， 0。注意：公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列 an,若an an 1= d(d是与n无关的数或字母) ， n 2 ， n n，则此数列是等差数列，d为公差；(3) 若 d=0, 则该数列为常数列 等差数列的通项公式提问：对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？、我们是通

15、过研究数列 an 的第 n 项与序号n 之间的关系去写出数列的通项公式的。 下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。由学生经过分析写出通项公式：猜想得到这个数列的通项公式是a nn3猜想得到这个数列的通项公式是an3 (3)( n 1)猜想得到这个数列的通项公式是an0.1n猜想得到这个数列的通项公式是an1北师大版高中数学必修5 全本教案、那么，如果任意给了一个等差数列的首项a1 和公差d，它的通项公式是什么呢？引导学生根据等差数列的定义进行归纳：a2a1d ,（ n-1 ）个等式a3a2d,a4a3d ,所以a2a1d ,a3a2d, a3a2d ( a1d) d a

16、 2d,a4a3d, a4a3d (a12d ) d a 3d ,思考：那么通项公式到底如何表达呢？得出 通 项公 式 ： 以 a1 为首 项 ， d 为 公 差 的 等差 数 列 an 的 通项 公 式 为 ：an a1 (n 1) d 或an am n m d也就是说， 只要我们知道了等差数列的首项a1 和公差d，那么这个等差数列的通项an 就可以表示出来了。选讲： 除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（ 迭 代 法 ） ： an 是 等 差 数 列， 则 有anan 1dan 2 d d an 2 2dan 3 d 2d an 33d = a1(n1)d（迭加法） ：

17、 an 是等差数列，anan1d,an1an2d ,an2an3d ,a2a1d ,北师大版高中数学必修5 全本教案两边分别相加得ana1 (n1)d ,所以 ana1( n1)d2. 教学等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d【或 anam (n m)d（ 变式： daman ）】m n3. 例题讲解：例 1 、求等差数列0 ， 3 1 ， 7，的通项公式，并判断20 是不是这2个等差数列的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.（教师引导学生练教师点评）练： 100 是不是等差数列2， 9， 16 ，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由 .例2、已知数列 an 的通项公式an

18、 pn q ，其中 p 、 q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？注：数列 an 为等差数列的充要条件是它的通项公式为anpnq ，此式又称为等差数列的第3 通项公式 .例 3 、在等差数列 an 中，若 a1 + a6 =9, a4 =7, 求 a3 ,a9 .结论：（性质） 在等差数列中，若m+n=p+q ，则， amana paq4.小结： 等差数列的概念、通项公式，等差数列的性质及其应用.三、巩固练习：1.在等差数列an中，已知 a510 ， a12 31 ，求首项 a1 、公差 d 及 a15 .2.作业：教材p46页a 组第 1题1 .2.2等差数

19、列（二）教学要求：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；并能运用所学知识解决一些生活中的等差数列.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教学过程：一、复习准备：1.练习：在等差数列an中 ,若a32a813 ，求公差d 及a14 .2. 提问：如果三角形的三个内角的度数成等差数列，那么中间的角是多少北师大版高中数学必修5 全本教案度？二、讲授新课：1. 教学等差中项的概念：如果在 a 与 b 中间插入一个数a ，使 a ， a ， b 成等差数列数列，那么a 应满足什么条件？由定义得 a- a =

20、 b -a，即： aabab2；反之，若 a，则 a- a = b -a.2由此可可得：ab,b, 成等差数列 .aa2例 1 ：求下列两个数的等差中项52,52 ； a2b,3 a 4b .2. 生活中的等差数列：例 2 、某市居民生活用水的计费标准如下：若居民在某月用水量不超过5 吨，则统一收取水费6 元，否则超过部分则按1.35 元 /吨的标准收取水费. 如果己知某户居民该月用水量为18 吨，问他此月需支付多少水费？（学生自练学生演板教师点评）例 3 、某地区1997 年底沙漠面积为9105 hm2 .沙漠面积的变化情况，从1998 年开始进行了连续地质工作者为了解这个地区5 年的观测，

21、并在年底将观测结果记录如下表：观 测该 地 区 沙漠 面 积 比 原 有 面积 增 加年份数hm220001998400019996001200079992001100012002请根据上表所给的信息进行预测.（ 1）如果不采取任何措施，到 2010 年底，这个地区的沙漠面积将大约变为多少 hm2 ？北师大版高中数学必修5 全本教案（ 2）如果从2003 年初开始，采取植树造林等措施，每年改造8000 hm2 沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将小于9 10 2 hm2 ？3. 小结： 等差中项的概念，等差数列的公差、首项、项数及通项公式间的关系，等差数列的

22、性质及其应用.三、巩固练习：1. 有 30 根水泥电线杆，要运往1000m 远的地方开始安装，在1000m 处放一根，以后每50m 放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少km ？2. 作业：教材p46第 4、 5 题北师大版高中数学必修5 全本教案等差数列性质教学目标知识与技能: 掌握等差数列概念、通项公式、性质过程与方法:梳理知识点，以填空的形式复习，习题巩固情感、态度与价值观:培养和提高转化、分析问题和解决问题的能力教学重点掌握等差数列的通项公式灵活运用性质解决相关问题教学难点选择合适的方法，解决问题.教学方法“三学一教”四步教学法教学课时一课时

23、教学手段多媒体辅助教学教学过程.一、明标自学知识梳理1. 等差数列的定义： anan 1d （ d为常数） （ n2 ）；2. 等差数列通项公式：an a1 (n 1)ddn a1 d (n n * )，首项 :a1 ，公差 :d，末项 : an推广：anam(nm)d 从而 danam ；3. 等差中项nm(1) 如果 a ，a ，b 成等差数列， 那么 a 叫做 a 与 b的等差中项 即： aa b22 aab或(2)等差中项：数列an是等差数列2anan -1an 1 (n 2)2an 1anan 24 . 等差数列的判定方法(1) 定义法：若anan 1d 或 an 1and ( 常数

24、 nn)an是等差数列(2)等差中项：数列an是等差数列2anan -1an 1 (n 2)2an 1anan 2 (3) 数列 an 是等差数列anknb （其中 k, b 是常数）。5 . 等差数列的证明方法定义法：若anan 1 d 或 an 1 and ( 常数 n n)an是等差数列6. 提醒 ：（ 1 ）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5 个元素： a1 、 d 、 n 、an 及 sn ，其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3个，便可求出其余2 个，即知3 求 2。（ 2 ）设项技巧：一般可设通项ana1(n 1)d奇数个数成等差，可设为，

25、a 2d ,ad ,a,ad , a2d （公差为d ）；偶数个数成等差，可设为，a3d , a d ,ad , a3d ,（ 注意；公差为 2 d ）7. 等差数列的性质：(1) 当公差 d0 时，北师大版高中数学必修5 全本教案等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差 d ； (2)若公差d 0，则为递增等差数列，若公差d0 ，则为递减等差数列，若公差d 0，则为常数列 .(3)当 mnpq 时 , 则有 amana paq ，特别地，当mn2 p 时，则有aman2ap .注： a1ana2an 1a3 an 2，(4)若 an、 bn为等差数

26、列，则anb ， 1an2bn都为等差数列(5) 数列 an 为等差数列, 每隔 k(kn * ) 项取出一项 ( am , am k , am 2k ,am 3k ,)仍为等差数列 .二、合作释疑例 1（ 1 ）已知数列 8, a,2, b, c,7是等差数列，求未知项a,b,c 的值 .解：由等差中项公式得2a2810, a5, d3, b1, c4（ 2）已知等差数列 an 的前 3项依次为a 1,a+1,2 a+3 ，求此数列的通项a n解：由等差中项公式得2( a1)a12a3 ，得 a0 ，所以等差数列 an 的 前3项 依 次 为 -1，1，3， 所 以d=2,通 项 公 式 为

27、an1(n 1)22n3（ 3）等差数列an中， a2与 a6的等差中项为5， a3与 a7 的等差中项为7 ，求此数列的通项an解：由题知a2 a610, a3a714, 则 a45, a5 7, d2 ，所以ana4(n 4) 2 5 2n 8 2n 3例 2.(1) 等差数列 a n 中，已知a 2 a 3 a10 a 11 36，则 a 5 a 8 _18_(2)在 等 差 数 列 an 中 ， 若a4 a6a8a10a12120 ， 则2a10a12_24_三、点拨拓展例 3.（ 1）首项为 24 的等差数列，从第10 项起开始为正数，则公差的取值范围是 d24924解： a124,

28、 a10a19d249d0 ， d9（ 2）如果等差数列 an 的第 5 项为 5 ，第 10 项为 5，那么此数列的第一个负数项是第 _8_ 项 .解： a5 5, a10a10a55 55, d52,105(3) 若 x y，两个数列： x， a 1， a 2， a3， y 和 x， b 1， b 2， b3 ， b4 ， y 都是等差数列，求 a2 a1b4b2北师大版高中数学必修5 全本教案解 ： 设 两 个 数 列 的 公 差 分 别 为 d1 ,d2 ， 则 d1y x ,d 2y x , 所 以45a2a1d15b4b22d28四、当堂检测（ 1 ）等差数列 an 中，已知 a1

29、1, a2a54,an33，求 n 的值31) n , (n（ 2 ） 在 数 列 an 中 a11,a22 ， 且 an 2an1 (n ) ， 则s100_（ 3 ）设 f( x) 1，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，2x2可求得f( 5) f( 4) f(0) f(5) f(6) 的值为 _（ 4 ）若关于 x 的方程 x2x a0 和 x2xb 0,( a, b r且 ab) 的四个根组成首项为1 的等差数列，则a b_4(5)已知在正整数数列 an 中，前 n 项和满足：sn1 (an2) 28(1) 求证： an 是等差数列；(2) 若 bn1 an 30 求数列 b

30、n 的前 n 项和的最小值 .2六、课时小结本节课主要复习巩固了等差数列的通项公式及性质，在例题讲解的过程中还是要留给学生时间思考，以学生为主，在练习中巩固知识点，不足之处及时讲解 .七、教学反思北师大版高中数学必修5 全本教案1.2.2等差数列的前n 项和 (共三课时 )教学过程：一、导入新课1讲述高斯求到100 之和的故事2问题：请同学们回答高斯算法的思路依据3问题：到100 这 100个数恰好是正整数这个等差数列的前100 项，那么这种求和的方法是否具有普遍性？对一般的等差数列是否都可以按此方法求其前 n 项的和呢？二、讲授新课1推导等差数列的前n 项和公式（倒序求和法）：（ 1）定义：

31、 sna1a2lan（ 2）公式： sna1a2lansnanan 1 l a2a1相加， 2sn(a1an )( a2an 1 )l(an 1a2 ) ( a1an )a1ana2an 1lan 1a2a1 an ， 2snn(a1 an )snn (a1an )知道首项、末项和项数，即可求sn 2又 an a1 (n 1)d ， sn na1n(n1)dsn 知道首项、公差和项数，即可求22公式：公式一： snn(a1an ) 2北师大版高中数学必修5 全本教案公式二： snna1n( n1) d 2说明：（ 1 ）注意以上公式是表示从等差数列第一项起至第n 项的连续有限项的和，其实对于等

32、差数列的任意项起的连续有限项的和都可以用以上公式求，只是注意首项和项数的变化（ 2）公式一反映的是等差数列中项与项的关系；公式二反映的是等差数列中项数与项的函数关系，显然前n 项和是项数n 的没有常数项的二次函数，即snd n2(a1d ) n 22（ 3）公 式中各含有4 个元素： sn ,n, a1, an 与 sn , n, a1 ,d ，已知其中 3 个量，即可求出另外1 个；综合通项公式及前n 项和公式，已知其中3 个量即可求出另外 2 个量（ 4）利用函数观点研究sn ： snd n2(a1d )n22当 d0 时， sn 为二次函数，且无常数项当当d0时， sn 有最小值；题型：

33、求sn 的最值d0时， sn 有最大值3等差数列的前n 项和的性质：（ 1） sn , s2nsn , s3 ns2 n ,l仍成等差，且公差为n2 d ；（ 2）若 项数为2n，则 s奇 与 s偶 中项数相等，且s偶s奇nd ； s奇n(a1a2 n 1 )an 2s偶na2n )an1( a22若项数为2n1，则 s奇偶(n 1)( d ) a2 n 1a2n 1(n 1)d an ；s奇nan，偶(n1)；ssan s2 n 1(2n1)an ；na2 n 1 )s奇(a1nn2s偶1a2n2 )n1(a22练习：已知项数为奇数的等差数列，s偶33 ， s奇44 ，求 a中 11 北师大版高中数学必修5 全本教案（ 3） sn 等差（须证明）应用见例7 练习n4应用举例：（ 1 ）五个量知三求二例课本p43例例 2 课本p44例12例 3 等差数列an中， a11, an512 , sn1022 ，求公差 d 和项数 n 解：选择公式snn (a1an ) 21022n (1512)n4 ， a4512