有理数培优题(有答案)

1、最新资料推荐有理数培优题基础训练题一、填空：1、在数轴上表示 2 的点到原点的距离等于（）。2、若 a=a, 则 a（） 0.3、任何有理数的绝对值都是（）。4、如果 a+b=0,那么 a、b 一定是（）。5、将 0.1 毫米的厚度的纸对折20 次，列式表示厚度是（）。6、已知 | a | 3,| b | 2,| ab |ab ，则 ab （）7、 | x 2 | | x 3| 的最小值是（）。8、在数轴上，点 a、 b 分别表示11）。4， ，则线段 ab的中点所表示的数是（2a b20109、若 a,b 互为相反数， m, n 互为倒数， p 的绝对值为 3，则mnp2（）。p10、若 a

2、bc0，则 | a | b | c | 的值是（） .abc11、下列有规律排列的一列数： 1、3 、2 、5 、3 、，其中从左到右第100 个数是（）。4385二、解答问题：1、已知 x+3=0,|y+5|+4 的值是 4，z 对应的点到 -2 对应的点的距离是7，求 x、y、 z 这三个数两两之积的和。3、若 2x| 45x |13x | 4 的值恒为常数，求x 满足的条件及此时常数的值。4、若 a,b,c 为整数，且 | ab |2010| ca |20101，试求 |ca | ab | bc | 的值。5、计算： 1 5 7 9 11 13 15 17261220304256721最

3、新资料推荐6、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？能力培训题知识点一：数轴例 1：已知有理数 a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（）a ab b b ab b c a b 0 d a b 0拓广训练：1、如图 a, b 为数轴上的两点表示的有理数，在 ab,b 2a, ab , b a 中，负数的个数有 （）（“祖冲之杯”邀请赛试题）aoba 1b 2c 3d 43、把满足 2a5 中的整数 a 表示在数轴上，并用不等号连接。2、利用数轴能直观地解释相反数；例 2：如

4、果数轴上点a 到原点的距离为 3，点 b 到原点的距离为 5，那么 a、b 两点的距离为。拓广训练：1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则 a 3 _.2、已知数轴上有 a、 b 两点， a、b 之间的距离为 1，点 a 与原点 o的距离为3，那么所有满足条件的点b与原点 o的距离之和等于。（北京市“迎春杯”竞赛题）3、利用数轴比较有理数的大小；例 3：已知 a 0,b0 且 a b 0 ，那么有理数 a,b, a, b 的大小关系是。（用“”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题）拓广训练：1、 若 m0, n0 且 mn ，比较m, n, mn, mn, nm 的大小，并用“”号连接。例

5、 4：已知 a5 比较 a 与 4 的大小2最新资料推荐拓广训练：1、已知 a3 ，试讨论a 与 3 的大小2 、已知两数a, b ，如果 a 比 b 大，试判断a 与 b 的大小4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例 5： 有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示，式子ababbc 化简结果为（）a 2a3bcb 3bcc bcd cb-1ao1bc拓广训练：1、有理数 a, b, c 在数轴上的位置如图所示，则化简abb1ac1c 的结果为。baoc 12、已知abab2b ，在数轴上给出关于a, b的四种情况如图所示，则成立的是。a0 bb0 a0a b0b a3、已知有理数a,b,

6、c 在数轴上的对应的位置如下图：则c1 aca b 化简后的结果是（）（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）-1coaba b 1 b 2a b 1 c 1 2a b 2c d 1 2c b三、培优训练1、已知是有理数，且22 y1 20 ，那以 xy的值是（x 1）a 1b 3c 1 或3d 1或 3222222（、 07 乐山）如图，数轴上一动点a 向左移动 2 个单位长度到达点 b ，再向右移动5 个单位长度到达点c 若点 c 表示的数为 1，则点 a 表示的数为（）5b2 ac 7 33 2013、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1 个单位，点 a、b、 c、 d对应的数分别是整数

7、a,b, c, d且 d2a 10 ，那么数轴的原点应是（）abcda a 点 b b 点 c c 点 dd 点3最新资料推荐4、数 a, b, c, d 所对应的点a，b，c，d 在数轴上的位置如图所示，那么 ac 与 bd 的大小关系是 （）a d0cba acbdb acbdc acb dd 不确定的5、不相等的有理数a, b, c 在数轴上对应点分别为a，b， c，若 abb cac ，那么点 b（）a在 a、 c 点右边b 在 a、 c 点左边c 在 a、 c点之间d 以上均有可能6、设 yx 1x1 ，则下面四个结论中正确的是（）（全国初中数学联赛题）a y 没有最小值b只一个 x

8、 使 y 取最小值c有限个 x （不止一个）使y 取最小值d有无穷多个x 使 y 取最小值7、在数轴上，点a， b 分别表示1和1 ，则线段 ab的中点所表示的数是。358、若 a0, b0 ，则使 xaxbab 成立的 x 的取值范围是。9、 x 是有理数，则x10095的最小值是。x22122110、已知 a, b, c, d 为有理数，在数轴上的位置如图所示：dboac且 6 a6 b3 c4 d6, 求 3a2d3b2a2bc 的值。11、（南京市中考题） (1) 阅读下面材料：点 a、 b 在数轴上分别表示实数 a, b， a、 b 两点这间的距离表示为ab ，当 a、 b 两点中有

9、一点在原点时，不妨设点 a在原点，如图 1， abobba b ；当 a、 b 两点都不在原点时，o(a)bobaboboa b ab a a b ；oab如图 2，点 a、 b 都在原点的右边o abbao如图 3，点 a、 b 都在原点的左边如图 4，点 a、 b 在原点的两边aboboababaab ；ba oaboaobab abab。boaboa综上，数轴上a、 b两点之间的距离abab 。（ 2）回答下列问题：数轴上表示2 和 5 两点之间的距离是，数轴上表示 -2 和 -5 的两点之间的距离是，数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是；4最新资料推荐数轴上表示 x 和 -1的两

10、点 a 和 b 之间的距离是，如果 ab2 ，那么 x 为；当代数式x1x2 取最小值时，相应的x 的取值范围是；求 x 1x2x3x 1997 的最小值。聚焦绝对值一、阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。去绝对值符号法则：aa0a0a0aa02、恰当地运用绝

11、对值的几何意义从数轴上看a 表示数 a 的点到原点的距离；a b 表示数 a 、数 b 的两点间的距离。3、灵活运用绝对值的基本性质 a 0 a222 ab a b aa a b a baab 0bb a ba b二、知识点反馈1、去绝对值符号法则例 1：已知 a5, b3 且 abba 那么 ab。5最新资料推荐拓广训练：1、已知 a1, b2, c3, 且 ab c ，那么 a b c 2。（北京市“迎春杯”竞赛题）2、若 a8, b5，且 ab 0，那么 a b 的值是（）a 3 或 13 b 13 或 -13 c 3 或 -3 d -3 或 -132、恰当地运用绝对值的几何意义例 2：

12、 x1 x1 的最小值是（）a 2b 0c 1d -1解法 1、分类讨论当 x1时， x 1x 1x 1x 12x 2 ；当 1x 1时， x1 x 1 x 1 x 1 2 ；当 x1时 x 1 x 1 x 1 x 1 2x 2 。比较可知， x1x1的最小值是 2，故选 a。解法 2、由绝对值的几何意义知x 1 表示数 x 所对应的点与数1 所对应的点之间的距离；x 1 表示数 x所对应的点与数 -1所对应的点之间的距离；x 1x 1 的最小值是指x 点到1 与 -1 两点距离和的最小值。如图易知x -1x 1x1x 1x1x1当的值最小，最小值是2 故选 a。时，拓广训练：1、 已知 x3

13、x2 的最小值是 a ， x3x2 的最大值为 b ，求 ab 的值。三、培优训练1、如图，有理数 a, b 在数轴上的位置如图所示：-2 a-10 b1则在 a b,b 2a, ba , a b , a 2 , b4中，负数共有（）（湖北省荆州市竞赛题）a 3 个 b 1 个 c 4 个 d 2 个2、若 m 是有理数，则m m 一定是（）a零 b 非负数c 正数 d 负数6最新资料推荐3、如果 x2x 20 ，那么 x 的取值范围是（）a x2b x 2 c x 2d x 24、a, b 是有理数， 如果 abab ，那么对于结论 （ 1）a 一定不是负数；（ 2）b 可能是负数， 其中（

14、）（第 15届江苏省竞赛题）a只有（1）正确b只有（ 2）正确c （1）（ 2）都正确d （ 1）（2）都不正确5、已知 aa ，则化简 a1a2 所得的结果为（）a1b 1 c 2a 3d 3 2a6、已知0a4 ，那么 a23 a 的最大值等于（）a 1 b 5 c 8 d 97、已知 a,b,c 都不等于零，且xabcabc，根据 a,b, c 的不同取值，x 有（）abcabca唯一确定的值b3 种不同的值c 4 种不同的值 d 8 种不同的值8、满足 abab 成立的条件是（）（湖北省黄冈市竞赛题）a ab0b ab 1c ab 0d ab 19、若 2xx5x2x5 ，则代数式52

15、x的值为。xx10、若 ab0abab，则b的值等于。aab11、已知 a, b, c 是非零有理数，且abc 0, abc0 ，求 abcabc的值。abcabc12、已知 a, b, c, d 是有理数，ab9, cd16 ，且 abcd25 ，求 badc 的值。7最新资料推荐13、阅读下列材料并解决有关问题：xx0我们知道x0x0 ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式xx0x 1x2 时，可令 x10 和 x20 ，分别求得 x1, x2 （称1,2 分别为 x1 与 x 2 的零点值）。在有理数范围内，零点值x1和 x 2 可将全体有理数分成不重复且不遗漏

16、的如下3 种情况：（ 1）当 x1时，原式 =x1x22x 1;（ 2）当1x 2 时，原式 = x1x23 ；（ 3）当 x2 时，原式 = x1x22x1。2x1x1综上讨论，原式 =31x22x1x2通过以上阅读，请你解决以下问题：（ 1）分别求出 x2和 x4的零点值；（ 2）化简代数式x 2x 414、（ 1）当 x 取何值时，x3 有最小值？这个最小值是多少？（ 2）当 x 取何值时， 5x2 有最大值？这个最大值是多少？（3）求 x4x5 的最小值。（ 4）求 x7x8x9 的最小值。15、某公共汽车运营线路ab段上有 a、 d、 c、b 四个汽车站，如图，现在要在ab段上修建一

17、个加油站 m，为了使加油站选址合理，要求a， b， c， d 四个汽车站到加油站m的路程总和最小，试分析加油站m在何处选址最好？a dcb8最新资料推荐16、先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n n 1 台机床在工作，我们要设置一个零件供应站p，使这 n 台机床到供应站 p 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：a1a 2a 1a2（ p） da 3甲 p乙甲乙丙如图，如果直线上有2 台机床（甲、乙）时, 很明显 p 设在 a1 和 a2 之间的任何地方都行 , 因为甲和乙分别到 p 的距离之和等于a1 到 a2 的距离 .如图 , 如果直线上有3 台

18、机床 ( 甲、乙、丙 ) 时，不难判断， p 设在中间一台机床a2 处最合适，因为如果p 放在 a2 处，甲和丙分别到p 的距离之和恰好为a1 到 a3 的距离；而如果 p 放在别处，例如 d 处，那么甲和丙分别到 p 的距离之和仍是a1 到 a3 的距离，可是乙还得走从a2 到 d近段距离，这是多出来的，因此p放在 a2 处是最佳选择。不难知道，如果直线上有4 台机床， p 应设在第 2 台与第 3 台之间的任何地方；有5 台机床， p 应设在第3 台位置。问题（ 1）：有 n 机床时， p 应设在何处？问题（ 2）根据问题（1）的结论，求 x 1x2 x 3x 617 的最小值。有理数的运

19、算一、阅读与思考在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的 符号演算 。数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数； 3、裂项相消；4、分解相约； 5、巧用公式等。二、知识点反馈9最新资料

20、推荐1、利用运算律：加法运算律加法交换律 abba乘法运算律乘法交换律 a bb a乘法结合律 ab ca bc加法结合律 abcabc乘法分配律 a b cabac例 1：计算： 23422.7572533解：原式 = 4.64224.62.7534.6 5.751.152.75733拓广训练：1、计算（ 1）0.60.082270.92253159171951111（2）11369444114例 2：计算：9 245025解：原式 =1501050150500 2498102525拓广训练：1、 计算： 23 41111534522、裂项相消（ 1） a b1 1 ；（ 2）111；（3）

21、m11aba bn n 1 n n 1n n m n n m（ 4）211n n 1n 1 n 2n n 1 n 2例 3、计算111122334200920101解：原式 = 111111112233420092010=1111111122334200920101120092010201010最新资料推荐拓广训练：1、计算：1111335572007200913、以符代数例 4：计算：17 727 111 3713 128 175 38271739172739解：分析： 17 716 34 ,27 126 24 ,113710 76272717173939令 a =13128 175 38，

22、则 17 727 111 3716 3426 2410 76172739271739271739原式 = 2 a a2拓广训练：1、计算：111111111112320062320052320064、分解相约124248n 2n 4n2例 5：计算：1392618n 3n 9n解：原式 = 1242124n 1 2421 2 41 2=1 3 9 2 1 3 9n 1 3 91 3 9 1 2124264=397291三、培优训练1、 a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，则a2007b2009=20082、计算：（1） 151711=；3579199719992a1112320052

23、nn。11最新资料推荐（2）0.25 48 322 461 =。323、若 a 与b 互为相反数，则 1898a299b2=。1997 ab4、计算： 1131351397 =。2446669898985、计算： 222232 42526272829210 =。6、1997 ,97 ,1998 ,98 这四个数由小到大的排列顺序是。1998981999997、（ “五羊杯”）计算： 3.1431.46280.68668.66.86=（）a 3140 b 628c 1000d 12008、（ “希望杯”） 12341415等于（）24682830a 1 b 1c 1 d 144229、（ “五羊

24、杯”）计算： 5642.5 32 =（）29814.54a 5b 10c 20d 40239910、（ 2009鄂州中考）为了求1222322008 的值，可令s 1222322008 ，则2s2 2232422009，因此 2s-s 220091，所以 1222322008 2 20091仿照以上推理计算出 1525352009 的值是（）a、 520091b、 520101c、 520091d、 5201014411、 a1 ,a2 , a3 ,a2004都 是 正 数 ， 如 果 ma1a2a2003a2 a3a2004，na1a2a2004a2a3a2003 ，那么 m , n 的大小

25、关系是（）a mnb mnc mnd 不确定12、设三个互不相等的有理数，既可表示为1, ab, a 的形式，又可表示为0, b , b 的形式，求 a1999b2000a的值（“希望杯”邀请赛试题）12最新资料推荐13、计算（ 1） 5.70.000360.190.00657000.000000164 （2009 年第二十届“五羊杯”竞赛题）3 12（ 2） 0.25 48 346.52 461（北京市“迎春杯”竞赛题）3133214、已知 m, n 互为相反数，a,b 互为负倒数，x 的绝对值等于3 ，求 x31mnab x 2mn x2001ab 2003 的值15、已知 ab 2 a

26、20 ，求 1111的值aba 1 b 1a 2 b 2a 2006 b2006（香港竞赛）13最新资料推荐16、（ 2007，无锡中考） 图 1 是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层将图 1 倒置后与原图1 拼成图 2 的形状，这样我们可以算出图 1 中所有圆圈的个数为n(n1)1 2 3 l n2第 1 层第 2 层第 n 层图图 2图 3图 4如果图 1 中的圆圈共有 12 层，（ 1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3 的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4 ，l ，则最底层最左边这个圆圈中的数是21l；（

27、2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 4 的方式填上一串连续的整数23，22，求图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和，【专题精讲】【例 1】计算下列各题 ( 3) 3 0.75 0.52( 3) 325 (112 ) ( 3 )343( 3)344372544 ( 0.125) 12 ( 1 2)7( 8) 13 ( 3)935【例 2】 计算： 12345678910 11 12l200520062007200814最新资料推荐【例 3】 计算： 11111l11311l99126122030990013557101反思说明： 一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。11111 ( 11 )n(n1) nn 1n(n k) k n nkn(n11 1111 ( 11 )1)(n2) 2n(n 1)(n 1)(n2)(n 1)(n1)2 n1 n 1【例 4】届迎春杯）计算：111l（第 1812481024【例 5】 计算： 1( 12 )( 123 )( 1234) l( 123l5859 )2334445555606