三垂线定理及其逆定理

1、.三垂线定理及其逆定理知识点：1. 三垂线定理；2. 三垂线定理的逆定理；3. 综合应用；教学过程：1三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；已知： pa, po 分别是平面的垂线和斜线， ao 是 po 在平面的射影 , a, aao 。求证： apo ；证明：paao说明：（1）线射垂直（平面问题）线斜垂直（空间问题）；（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；（3）三垂线定理描述的是po(斜线 ) 、 ao(射影 ) 、a( 直线 ) 之间的垂直关系。（4）直线 a 与 po 可以相交，也可以异面。（5）

2、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。例 1. 已知 p 是平面 abc 外一点， paabc , acbc 。p求证： pcbc 。acb例 2. 已知 pa正方形 abcd 所在平面， o 为对角线 bd 的中点。求证： pobd , pcbd 。padobc.例 4. 在正方体ac1中，求证： 111 ；acb1d1 , acbc2写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；命题：已知：求证：证明：说明：例 2在空间四边形 abcd中，设 abcd, acbd 。求证：（1） adbc ；（2）点 a 在底面 bcd上的射影是bcd 的垂心；.c1d 1a 1b

3、 1dcabpaaoabdc.例 3. 求证 : 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上已知：求证：pbe aocf说明：可以作为定理来用。例 5已知： rt abc 中，a, ab3, ac4 ，pa是面 abc 的斜线，pabpac。23(1) 求 pa与面 abc所成的角的大小 ;(2) 当 pa的长度等于多少的时候，点 p 在平面 abc内的射影恰好落在边 bc上；pbac.作业：1. 正方体 abcda1b1c1 d1 , e, f 分别是 a1 a, ab 上的点 , ec1ef .求证 : efeb1 。p2. 已知： pa平面 p

4、bc ， pbpc , m 是 bc 的中点。求证： bcam ；c3. 填空并证明：a，在底面 bcd上的射影是底面（1）在四面体 abcd中，对棱互相垂直则 ambcd的心。b（2）在四面体 abcd中，ab、互相垂直，则a 在底面 bcd上的射影是底面 bcd的心（3）在四面体 abcd中， ab=ac=ad，则 a 在底面 bcd上的射影是底面 bcd的心。（4）在四面体abcd中，顶点a到 、的距离相等 ，则a在底面上的射影是底面bc cd dbbcdbcd的心。4. 正方体abcda1b1c1 d1中棱长 a ，点p在上，q在1 上， ap bqa，acbc（1）求直线 pq与平面 abcd所成角的正切值；（2）求证： pqad5. 在正方体abcda1b1 c1 d1 中，设 e 是棱 aa1 上的点，且 a1e : ea上的点，1: 2 ，f 是棱 abc1ef2。求 af：fb。6. 点 p 是 abc 所在平面外一点，且 pa平面 abc。若 o和 q分别是abc和pbc的