第七章 非线性系统的分析(20081202).ppt

1、第七章 非线性系统的分析,系统的非线性程度比较严重，无法用小范围线性化方法化为线性系统，称为非线性系统。有两种情况 （1）系统中存在非线性元件；（2）为了某种控制目的，人为引进的非线性。 一 、非线性系统的特点 1、线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决于系统的结构、参数，而和系统的初始状态无关。 非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数，而且与系统的初始状态无关。,7.1 基本概念,2、线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。 非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也可能会发生自持振荡。 3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正

2、弦信号。 非线性系统在正弦输入下，输出是周期和输入相同、含有高次谐波的非正弦信号。 4、线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信号下系统分析的结果也适用于其它情况。 非线性系统不能应用迭加原理，没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。,对非线性系统分析研究的重点是：（1）系统是否稳定；（2）有无自持振荡；（3）若存在自持振荡，确定自持振荡的频率和振幅；（4）研究消除或减弱自持振荡的方法。,二、典型非线性系统及对系统性能的影响 1、死区非线性,常见于测量、放大元件中。死区非线性特性导致系统产生稳态误差，且用提高增量的方法也无法消除。,2、饱和非线性,常见于放大器中，在大信号作用下，放大倍数小，因而

3、降低了稳态精度。,3、间隙非线性,常见于齿轮传动机构、铁磁元件的磁滞现象。可使系统的稳态误差增大，也使系统的动态特性变差。,4、继电器特性,继电器特性中包含了死区、回环和饱和特性，因此对系统的稳态性能、暂态性能和稳定性都有不利影响。,相平面法是一种时域分析方法。设非线性系统框图如图所示，其中N表示非线性环节，G(S)是线性部分的传递函数。,三、非线性系统的分析方法 1、相平面法 时域方法 2、描述函数法 频域方法,7.2 非线性系统的相平面分析方法,用相平面法分析非线性系统，线性部分传递函数G(S)必须是二阶。,一、线性二阶系统奇点的类型 线性二阶系统的齐次微分方程为： 相平面图是在 平面中，

4、绘制 随时间t 变化的轨迹，称为相轨迹。相轨迹的起点是 。 奇点是指 的点。根据奇点附近相轨迹的特征，奇点 有不同名称，据此可判断系统运动的性质。,1、无阻尼运动 二阶系统的极点分布和相平面图如下 无阻尼运动时，二阶系统的相平面图是一族同心椭圆，每个椭圆代表一个简谐运动。这样的奇点称为中心点。,2、欠阻尼运动 系统的自由运动是衰减振荡。相轨迹是对数螺旋线，收敛于原点。奇点称为稳定焦点。,3、过阻尼运动 系统的自由运动是非周期地趋向于原点。相轨迹是趋于原点的抛物线，原点是奇点，称为稳定节点。,4、 系统的自由运动是发散振荡。相轨迹是以原点出发的螺旋线，原点处的奇点称为不稳定焦点。,5、 系统的运

5、动是非周期发散运动。相轨迹是由原点出发的发散型抛物线。原点处的奇点称为不稳定节点。,6、 是对称于原点的实轴 系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。 以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。,二、非线性系统的相平面分析 借助Matlab等软件工具可以方便地绘制非线性系统的相平面图。 例1：有死区继电器非线性的系统框图如下,系统线性部分的传递函数 ，该二阶系统的无 阻尼自然振荡角频率 ，阻尼比 ，根据 前面对奇点的分类，可知为稳定焦点。,继电器的输入输出关系为 在 平面，根据继电器的 非线性特性，可分为三个区域， 设初始状态 ， ， 绘制相轨迹如图所示，(设r=3) 根据系统的

6、相轨迹，可对 系统的性能分析如下：,2、相轨迹最后没有到达原 点，即 ，说明 系统在阶跃信号输入下，存在稳态误差，引起稳态误差的原因是死区继电器特性。 系统线性部分的传递函数表明，系统是型系统，对阶跃响应的稳态误差应为0，可见死区继电器非线性对稳态精度的影响。,1、系统的相轨迹收敛于A点，是稳定的，奇点为稳定焦点。e是单调衰减的。,例2：非线性系统框图如下,其中继电器回环特性的参数M=0.2，a=0.2。 系统的线性部分是欠阻尼情况，奇点是稳定焦点。非线性环节的输入输出关系为,根据上述关系，可将 平面分为二个区域。分别绘制初始状态分别为 和 的两条相轨迹。,从图知，无论从哪一组初始条件出发，相

7、轨迹均收敛于极限环，这是一个稳定的极限环，意味着系统产生自持振荡。 一般不希望系统有自持振荡。当振荡难以消除时，应尽量将振荡限制在一个较小的、可以接收的范围内。实际上，对于此系统，通过减少继电器回环的宽度a，可减小振荡。,7.3 描述函数,描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线性化方法，忽略非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量表示其输出。,式中,由于y的高次谐波幅值小于基波幅值，且系统的线性部分 都具有低通滤波性质，可以假设只有基波分量起作用，而将高次谐波忽略不计。,一、描述函数的定义 设非线性特性为对称型，则傅氏级数中的直流分量 y的基波为,描述函数N(X)表示了当X为正弦信号时

8、，输出基波分量与X在幅值和相位上的关系。,二、典型非线性特性的描述函数 1、死区非线性的描述函数,2、理想继电器非线性的描述函数,7.4 非线性系统的谐波平衡法分析,和相平面法不同，谐波平衡法对非线性环节进行谐波线性化处理，允许线性部分是任意阶次。,如果满足上式，表示 与 有交点，此时非线性系统将出现自持振荡，这相当于线性系统的极坐标图 在复平面中穿过（1，j 0）点。,将非线性的负倒幅特性和线性部分的极坐标图绘制在一个复平面中，根据二者的相对位置可分析非线性系统的稳定性。,一、非线性系统稳定,三、非线性系统产生自持振荡,图示系统在a点产生稳定的自持振荡。由交点可确定自持振荡的频率和幅值。,二、非线性系统不稳定,例：,，是与负实轴重合的直线。,结论：该非线性系统存在自持振荡，振荡频率为 ，振幅为2.1。,谐波平衡（描述函数）法解题步骤,1 画图，包括乃氏图和负倒基准描述函数图形（有可能需要计算描述函数） 2 判断稳定性，如果有则求二者交点，是否稳定的自持振荡点？ 3 求自持振荡的振幅和频率，利用交点的等式,其它需要注意的问题,1 线性部分的合并 2 非线性部分的合并 3 系统的校正思想（非线性改善系统性能） 4 其它分析与设计的方法,总结,1 相平面法： 含义（概念