运筹学期末试题

1、运筹学期末试题运筹学试题样卷（一）题号一二三四五六七八九十总分得分一、判断题（共计10 分，每小题1 分，对的打，错的打x）1. 无孤立点的图一定是连通图。2. 对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。3. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。4对偶问题的对偶问题一定是原问题。5用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与j0对应的变量都可以被选作换入变量。6若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。7.度为 0 的点称为悬挂点。8.表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。9.一个图 g 是树的充分必要条件

2、是边数最少的无孤立点的图。10.任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。二、建立下面问题的线性规划模型（8 分）某农场有 100 公顷土地及15000 元资金可用于发展生产。 农场劳动力情况为秋冬季3500人日； 春夏季 4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为 25元 / 人日，秋冬季收入为20 元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800 元，每只鸡投资3 元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料， 并占用人工秋冬季为 100人日， 春夏季为 50人日，年净收入900元 /每头奶牛。养鸡时不占用

3、土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2 元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500 只鸡，牛栏允许最多养200 头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示：大豆玉米麦子秋冬季需人日数203510春夏季需人日数507540年净收入 （元 /公顷）300041004600试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中x4 ,x5 为松弛变量，问题的约束为形式（共8 分）运筹学期末试题x1x2xx4x53x35/201/211/2x15/21 1/20 1/61/3c jz j00(1) 写出原线性

4、规划问题； （ 4 分）(2) 写出原问题的对偶问题； （ 3 分）(3) 直接由上表写出对偶问题的最优解。 （ 1 分）四、用单纯形法解下列线性规划问题（16 分）max z2 x1 x2x3s. t. 3 x1 + x2 + x360x 1 - x 2+ 2 x 310x 1+ x 2-x 320x 1, x 2,x 30（ 18 分）五、求解下面运输问题。某公司从三个产地a 1、 a 2、 a 3 将物品运往四个销地b 1、 b2、 b 3、 b4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示：问：应如何调运，可使得总运输费最小?b1b 23b4销 地b产 量产 地

5、a11056725a2827625a3934850销 、灵敏度分析（共8 分）线性规划 max z = 10x1 + 6x2 + 4x3s.t. x1 + x2+ x310010x1 +4 x2 + 5 x36002x1 +2 x2 + 6 x3300x1 , x2 , x30的最优单纯形表如下：6x2200/305/615/31/60运筹学期末试题10x1100/311/60-2/31/600x6100040-201j08/30-10/32/30(1)c 1在何范围内变化，最优计划不变？(4 分 )(2)b 1 在什么范围内变化，最优基不变？(4 分 )七、试建立一

6、个动态规划模型。（共 8 分）某工厂购进100 台机器， 准备生产 p1 , p2两种产品。 若生产产品p1，每台机器每年可收入 45 万元，损坏率为65% ；若生产产品p2 ，每台机器 每年可收入35 万元，损坏率为35% ；估计三年后将有新的机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？八、求解对策问题。 （共 10 分）某种子商店希望订购一批种子。据已往经验， 种子的销售量可能为500，1000，1500 或 2000公斤。假定每公斤种子的订购价为6 元，销售价为9 元，剩余种子的处理价为每公斤3 元。要求：（ 1）建立损益矩阵； （ 3 分）（ 2）用悲观法

7、决定该商店应订购的种子数。（ 2 分）（ 3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。（ 5 分）九、求下列网络计划图的各时间参数并找出关键问题和关键路径。（ 8 分）工序工序25最早完最5晚开最晚完机动十、用标号法求最早开v1 到 v 6 的最代号8时间工时间工时间工时间工时间时间短路。（6 分）1-2833941647运筹学v241-3771-46试题样卷7282-4333636（二）2-55v63-4213-63564-534-67v344-745-796-78题号一二三四五六七八九十总分运筹学期末试题得分一、判断题（对的打，错的打x.共计 10 分，答在下面的表格中）1、单纯

8、形法计算中，选取最大正检验数k 对应的变量 xk 作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。2、单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。3、对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。4、应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量xi0 ，且 xi 所在行的所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。5、用位势法计算检验数时，每一行（或列）的位势的值是唯一的，所以每一个空格的检验数是唯一的。6、动态规划的最短路问题也可以用图论中求最短路问题的方法求解。7、图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系，它

9、与图的几何形状无关。8、 动态规划只是用来解决和时间有关的问题。9、在画网络计划图时，允许有多个起点和多个终点。10、因为运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求其解也可能出现下列四种情况：有唯一最优解；有无穷多个最优解；无界解；无可行解。10二、试建立此问题的数学模型。（ 8分 ）某工厂、三种产品在下一年个季度的合同预定数如下表所示，该三种产品第一季度初无库存，要求在在第四季度末每种产品的库存为150 件。已知该厂每季度生产工时为15000 小时，生产产品、每件需3， 4，3 小时。因更换工艺装备，产品在第二季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品、每件每迟交一个季度赔偿20 元，产品赔

10、偿15 元，又生产出来的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费为5 元。问应如何安排生产，使总的赔偿加库存费用最小。产 品季 度1234150010002000120015001500120015001500200015002500三、用单纯形法求解线性规划问题（ 16 分 ）max z = 1500x1 + 2500 x2s.t. 3x1 + 2x2652 x1 + x240运筹学期末试题3x275x1,x20四、写出下面线性规划的对偶问题( 8 分 )min zx1x22x32x1x22x372x13x2x353x15x24x33x1 , x20 , x3无约束 ；五 、求解下面运输问题

11、。（ 18 分 ）某公司从三个产地a 1、 a 2、 a 3 将物品运往四个销地b 1、 b2、 b 3、 b4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示销 地b1b2b3b4产 量产 地a13113107a219284a3741059销 量365620的最终单纯形表如下：cj41500cbx bbx1x2x3x4x54x15 1/301/3 1/35x33011 1/52/5j0 8/3 /3 2/3（ 1）x1 的系数 c1在什么范围变化，上述最优解不变？（4 分）（ 2） b 2 在什么范围变化，最优基不变？（4 分）七、建动态规划模型。 （ 8 分）问：应如何

12、调运，可使得总运输费最小 ?六、灵敏度分析（8 分 ）线性规划max z4x1x25x36x13x25x3453x14x25x330x1 , x2 , x30某公司拥有资金10 万元，若投资于项目i (i 1， 2，3) 的投资额为xi 时，其收益分别为g1( x1)=4 x1 , g2(x2)=9 x2 , g3(x3 )=2x32 ,问应如何分配投资数额才能使总收益最大?八、解决对策问题。 （ 10 分）运筹学期末试题根据已往的资料，一家超级商场每天所需面包数（当天市场需求量）可能是下列当中的某一个： 100， 150， 200， 250， 300，但其概率分布不知道。如果一个面包当天卖不

13、掉，则可在当天结束时每个 0.5 元处理掉。新鲜面包每个售价 1.2 元，进价 0.9 元，假设进货量限制在需求量中的某一个，要求（ 1）建立面包进货问题的损益矩阵； （3 分）（ 2）用乐观法确定进货量。 （ 2 分）（ 3）建立后悔矩阵，并用后悔值法确定进货量。（ 5 分）九、用双标号法求下列图中v19分 ）到 v 的最短路线及其长度。 （ 6十、下图是商业中心建设项目的网络计划图，请用标号法计算出表中的各个参数，最后指 v5出关键问题，并画出关键线路。（ 8 分，直接答在下面）v运1筹 4 2 学样a卷（一20）答31 案 10一、 判b 断题。共计 10分，每小题 1分x 38v23

14、g v6h61076 324开工时间工序时间14f最早1最晚8v42453 a （ 20）4c3dv72b （ 10）c （ 8）vd （324）e （ 8）f （ 14）g （ 10）h （ 6）i （ 12）j （ 6） xx8v9完工时间机动时间12i2 最早最晚81 96e10jv810x二、建线性规划模型。共计8 分（酌情扣分）解：用 x1 , x2 , x3 分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；x4 , x5 分别表示奶牛和鸡的饲养数； x6 , x7 分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有max z 3000x1 4100x2 4600x3 900x4 20x520x6

15、 25x7运筹学期末试题x1x2 x31.5x4100(土地限制 )400 x43x515000(资金限制 )20x135x210x3100x40.6x5x63500(劳动力限制 )50x1175x240x350x40.3x5x74000 (劳动力限制 )x4200牛栏限制)(x51500(鸡舍限制 )x j0 ( j1,2 ,7)三、对偶问题。共计8 分解：（）原线性规划问题：max z 6x12x2 10x3x22x253x1x2x310x1 , x20；4 分（）原问题的对偶规划问题为：min w5y110 y23y26y1y222 y1y210y1 , y20；3分（）对偶规划问题的最

16、优解为：y( 4 , 2 )t 。1 分四、单纯形表求解线性规划。共计16 分解：引入松弛变量x4、x5、x6，标准化得，max z2x1x2x3s. t. 3 x1 + x2 + x3+ x4= 60x 1 - x 2 + 2 x 3 + x5 = 10x 1+ x 2- x 3 + x6= 0x 1, x 2 ,x 3，x4、x5、 x6， 03 分建初始单纯形表，进行迭代运算：9 分cbx bb2-11000xxxxxx1235640x460311100200x5101-1201010*0x62011-100120102*-110000x43004-51-307.5运筹学期末试题2x11

17、01-12010-0x61002-30-115*22001*-30-200x4100011-1-22x115100.500.50.5-1x2501-1.50-0.50.532500-1.50-1.5-0.5由最优单纯形表可知，原线性规划的最优解为：( 15 , 5 , 0 )t 2分最优值为：z*=25 。 2 分五、求解运输问题。共计18 分解：（ 1）最小元素法： （也可以用其他方法，酌情给分）设 xij 为由 a i 运往 bj 的运量（ i=1,2,3; j=1,2,3,4 ） ,列表如下：销 地b1b2b3b4产 量产 地1202525215305253550销 量152030351

18、003 分所以，基本的初始可行解为：x14 =25； x22=20； x24 =5 ；x31 =15； x33 =30； x34=5其余的 xij=0 。 3分（ 2）求最优调运方案：1 会求检验数，检验解的最优性：11=2； 12=2； 13=3 ；21=1； 23=5 ； 32= - 1 3分2 会求调整量进行调整：=5 2 分销 地b1b2b3b4产 量产 地11525252153010255350销 量152030351003分3 再次检验2 分4 能够写出正确结论解为： x14=25 ； x22 =15 ； x24 =10 x31 =15， x32 =5 x33=30运筹学期末试题其

19、余的 xij=0 。 1分最少运费为：535 1分。六、灵敏度分析。共计8 分（ 1）（ 4 分）（ 2）（max8 / 3 ,2 / 3cmin10 / 34 分）1/ 61 / 612 / 340max,5200 / 34b1cminc100 / 3 ,100b4 10c, 61010515115 / 3112/ 32七、建动态规划模型。共计8 分解： (1) 设阶段变量 k 表示年度，因此，阶段总数n=3。(2) 状态变量 sk 表示第 k 年度初拥有的完好机床台数，同时也是第k1年度末时的完好机床数量。(3) 决策变量 uk ，表示第 k 年度中分配于生产产品p1 的机器台数。于是sk

20、uk 便为该年度中分配于生产产品p1 的机器台数（ 4） 状态转移方程为sk10.35uk0.65( skuk ) uk0uksk （ 5）允许决策集合,在第k段为u k(sk )（ 6）目标函数。设gk(sk,uk)为第 k 年度的产量，则gk (sk,uk ) = 45 uk + 35(skuk ) ,因此，目标函数为3（ 7）条件最优目标函数递推方程。rkgk ( sk, uk)f k (sk i) kmax (uk (sk )令 fk (sk)表示由第u kuk3 年度结束这段时间k 年的状态 sk 出发，采取最优分配方案到第的产品产量，根据最优化原理有以下递推关系： 45u35( s

21、uk)fk 10.35uk0.65( su)（ 8） .边界条件为kkkk八、解决对策问题。共10 分f 3 1 (s31 )0（ 1）益损矩阵如下表所示：3 分销 售s1s2s3s4订 购500100015002000a 15001500150015001500a 210000300030003000a 3 1500 1500150045004500a 42000 3000030006000（ 2）悲观法： a 1 ，订购 500 公斤。 2 分（ 3）后悔矩阵如下表所示： 3 分ssss最大后悔值1234a 101500300045004500a 215000150030003000a 3

22、30001500015003000a 445003000150004500按后悔值法商店应取决策为a 2 或 a 3 ，即订购 1000公斤或 1500 公斤。 2分九、求网络计划图的各时间参数。（ 8 分）工序工序最早开808最晚完1414最早完2最晚开 5机动代号时间工时间工时间工时间工时间5时间1-280883 08 3090006114261470117267283367运筹学期末试题1-3707292关键问题是： 1-46065116； 2；412-43811811012； 2-5581391416； 6 3-42799112关键线路是：3-6371015188评分标准： 能4-53

23、111411140正确 给各顶点4-671118111804-741115222611标号 并 填5-79142317263表 .6-78182618260.4分正确写出关键问题. 2分正确画出关键线路 .分十、用标号法求 v1到 v6的最短路。（ 6 分）最短路为： v1,v2,v3(4,v1)(9,v3),v4,v5,v66v 4(10,v2)长度为：12v2正确标号： 4 分； 正确写出结论：2 分5运筹学样卷 ( 二) 答案47二、(0,0)判断题。（共计 10 分，每小题 1分）110v 6v12xx 8xx3xxx(12,v5)(14,v4)二、建线性规划模型。 （ 8 分）（酌情

24、给分）2解：设 xij为第 i 个季度生产的产品j 的数量； si j 为第 i 个季度末需库存的产品j 的数量；tiv3 (6,v2)7yi jv 5(10,v4)j为第ij为第 i(11,v2)j的预定数量，则有：个季度不能交货的产品（ 8,v1的数量；）个季度对产品433(13,v3)min z20(ti1ti 2 ) 15ti 35si ji 1i1 j1xi1xi 2xi 315000(i 1,2 ,3, 4)x2104xi j4yi j150( j1,2,3)i1i 1iixk jti jsi jyk j(i1, 2,3,4 ;j 1,2 ,3)k 1k1xi j, si j, t

25、i j0三、求解线性规划。 （ 16 分）运筹学期末试题解：引入松弛变量x3, x4, x5 ， 标准化得，max z = 1500x1 + 2500x2s.t. 3 x1 + 2x2 + x3= 652x1 + x2 + x4 = 403 x2+ x5 =75x1, x2 03 分建初始单纯形表，进行迭代运算：9 分cbx b1x2x3x4x50x3653210032.50x44021010400x575030012.5*1015002500*0000x3153010-2/35*0x4152001-1/37.52500x22501001/3-2625001500*0

26、00-2500/31500x15101/30-2/90x4500-2/311/92500x22501001/337000000-5000-500由最优单纯形表可知原线性规划的最优解为：( 5, 25 , 0, 5 , 0 ) t 2分最优值为：z*=70000 。 2 分四、解：原问题的对偶规划问题为：（共 8 分）max f=7y 1+5y2+3y32 y12 y2 3y31y13y25y312 y1 y24 y32y10 , y2 无约束， y30五、求解运输问题。 （ 18 分）解：（ 1）最小元素法：设 xij 为由 a i 运往 bj 的运量（ i=1,2,3; j=1,2,3,4 ） ,列表如下：运筹学期末试题销 地b1b2b3b4产 量产 地134372614339销 量3656203 分所以，基本的初始可行解为：x13=4 ； x14 =3 ；x21 =3 x23 =21x32 =6 x34=3其余的 xij=0 。 3分（ 2）求最优调运方案：111,122,221 会求检验数，检验解的最优性：241,3110,2 会求调整量进行调整：1 2分销 地b1b2b3b4产 量产 地135272614339销 量3656201,33 12 3 分