天津市2019届高三数学3月九校联考试卷

1、天津市届高三数学月九校联考试卷理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 已知集合均为全集的子集，且, 则( ).【答案】【解析】, 因为，所以中必有元素，【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力. 对于，这两个条件，可以判断集合中的元素有三种情形，而指出中必有元素，简化了运算，使结果判断更容易.【此处有视频，请去附件查看】. 【年天津卷文】设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为.【答案】【解析】分析： 首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

2、结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：. 本题选择选项 .1 / 19点睛： 求线性目标函数 ( ) 的最值，当时， 直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大 . 执行如图所示的程序框图，输出的值为 ().【答案】【解析】分析】根据循环结构特征， 先判断为奇数还是偶数，代入不同的处理框，依次算出的值，同时判断是否继续执行循环，即可求得的值【详解】由程序框图可知：2 / 19第一次循环：为奇数，第二次循环：为偶数，第三次循环，为

3、奇数，第四次循环，为偶数，此时不满足，退出循环，输出，结束，故选。【点睛】本题考查循环结构的程序框图，按照要求逐步计算即可，属基础题。. 设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的 ( ).充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件【答案】【解析】试题分析：因为直线在平面 内，直线在平面内，且，若，根据面面垂直的性质定理，一定有；反之，当，若时，不一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选 .考点：、充分条件与必要条件；、面面垂直的判定与性质. 设函数，则函数是 ( ).奇函数，其图象关于点对称.奇函数，其图象关于直线对称.偶函数，其图象关于

4、点对称.偶函数，其图象关于直线对称【答案】【解析】【分析】化简三角函数式可得，据此考查函数的奇偶性和函数的对称性即可.【详解】由题意可得：3 / 19.故函数为偶函数，且当时，其图像不关于点对称，且当时，其图像关于直线对称 .故选： .【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的周期性，三角函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 已知函数的定义域是，当,时，若，则有的值 ().恒等于零.恒小于零.恒大于零.可能小于零，也可能大于零【答案】【解析】【分析】由题意可得函数为奇函数，利用导函数的解析式可得：在时，函数为增函数，进 而 可 得时 ， 函 数 为 增 函 数 ，

5、结 合 函 数 的 奇 偶 性 和 函 数 的 单 调 性 确 定的符号即可 .【详解】 函数的定义域关于原点对称， 且满足，故函数为奇函数，又由，在时恒成立，故时，函数为增函数，进而可得时，函数为增函数，若，则，4 / 19则，从而：，据此可得：，即的值恒大于零 .故选：【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为， 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为().【答案】【解析】双曲线的左顶点为（，），抛物线的焦点为（，），于是而抛物线的准线为，由与渐近线的

6、交点为（，），可知，于是，又双曲线的渐近线为，点（，）在渐近线上，得，故于是，故焦距为2c考点：双曲线与抛物线的标准方程及其性质【此处有视频，请去附件查看】. 设，若函数在内有个零点，则实数的取值范围是 ().【答案】【解析】5 / 19【分析】令， 据 此 可 得 ：， 据 此 可 得 函 数与在内有个交点，结合函数图像可得实数的取值范围 .【详解】很明显不是函数的零点，令函数，则，则，令，则函数的图象与在内有个交点，函数的图象如下图所示：由图可得：.故选： .【点睛】 本题主要考查由函数零点个数确定参数的方法，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（将答

7、案填在答题纸上）. 设复数满足其中为虚数单位，则复数的虚部是【答案】6 / 19【解析】【分析】由题意可得：，据此结合复数的运算法则计算确定的虚部即可.【详解】由题意可得：，即,，则复数的虚部是.【点睛】对于复数的乘法， 类似于多项式的四则运算， 可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项， 分别合并即可； 对于复数的除法， 关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式. 若的展开式中的系数为，则实数.【答案】【解析】【分析】由题意结合二项式通项公式可得：，令可得，据此结合题意求解的值即可.【详解】由题意结合二项式通项公式可得：，令可得，则展开式中的系数为：

8、，故.故答案为：【点睛】 () 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件 ( 特定项 ) 和通项公式，建立方程来确定指数( 求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即，均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等) ；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项() 求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解7 / 19. 在极坐标系中，直线被圆所截弦长为，则.【答案】【解析】【分析】由题意结合所给方程可得直线与圆的交点为：，结合题中所给的弦长确定的值即可 .【详解】很明显，直线与圆均经过极点，将代入圆的方程可得：，据此可得直线与圆

9、的交点为：，结合题中所给的弦长可得：.【点睛】本题主要考查极坐标的几何意义及其应用，属于中等题. 已知三棱锥中，面，则三棱锥外接球的体积为【答案】【解析】【分析】三棱锥可补形为一个长宽高分别为的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，据此求得外接球的半径，然后确定其体积即可.【详解】如图所示，三棱锥可补形为一个长宽高分别为的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，设外接球半径为，则：，则，外接球的体积：.8 / 19【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置， 确定有关元素间的数量关系， 并作出合适的截面图， 如球内切于正方体，切

10、点为正方体各个面的中心， 正方体的棱长等于球的直径； 球外接于正方体， 正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 已知，且，则的最小值为 .【答案】【解析】【分析】由题意可得，结合和均值不等式可得的最小值，注意等号成立的条件.【详解】由，且，可得：，结合可得：，9 / 19当且仅当，即时等号成立 .【点睛】 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误. 在直角三角形中，若，动点满足，则的最小值是【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算可得，据此结合三角函数的

11、性质确定的最小值即可 .【详解】建立如图所示的直角坐标系，10 / 19由题意可得：，据此可得：，则：，其中，当时，取到最小值.【点睛】 本题主要考查向量的模的计算，向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）. 已知的内角的对边分别为，若，角，且.() 求的值；() 若，求的值 .【答案】 ()； ().【解析】【分析】() 由正弦定理结合合分比的性质可得，然后结合余弦定理求解的值即可 .() 由题意可得，利用余弦定理和两角和差正余弦公式可得的值 .【详解】 () 由正弦定理结合合分比的性质有：，则，由余弦定理有：，即，

12、则：，据此可得：.()，11 / 19，.【点睛】在处理三角形中的边角关系时， 一般全部化为角的关系， 或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围.某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别. 公司准备了两种不同的饮料共杯， 其颜色完全相同，并且其中杯为饮料，另外杯为饮料，公司要求此员工一一品尝后，从杯饮料中选出杯饮料. 若杯都选对，则月工资定为元；若杯选对杯，则月工资定为元；否则月工资定为元. 令表示此人选对饮料的杯数. 假设次人对和两种饮料没有鉴别能力

13、.（）求的分布列；（）求此员工月工资的期望.【答案】（）（）【解析】解： () 的所有可能取值为，则( ) ( ) ，所以所求的分布列为12 / 19() 设表示该员工的月工资，则的所有可能取值为，相对的概率分别为，所以 () ( 元 ) 所以此员工工资的期望为元【此处有视频，请去附件查看】. 在多面体中，四边形是正方形，平面平面，.（）求证：平面；（）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】 () 证明见解析；() 答案见解析 .【解析】【分析】() 由面面垂直的性质定理证明线面垂直即可；() 在平面内，过作的垂线，以点为坐标原

14、点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和平面的法向量求二面角的余弦值即可确定线段上是否存在点.【详解】 () 平面平面，平面平面，13 / 19正方形中，平面.() 由（）知平面平面.在平面内，过作的垂线，则平面，以点为坐标原点， ，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，设，则设平面的一个法向量，则，即，令可得：，易知平面的一个法向量，由已如得.化简可得：，即.【点睛】 本题主要考查面面垂直的性质定理，空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 已知数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项，其前项和为；数列是等差数列，其前项和满

15、足(为常数，且).14 / 19() 求数列的通项公式及的值；() 设. 求证：当时，.【答案】 ( )，； ( ) 证明见解析 .【解析】【分析】( ) 由题意可得，据此可得的通项公式， 进一步列方程组可得的值和的通项公式；( ) 结合 ( ) 的结果可知，裂项求和，将原问题转化为证明，然后分类讨论和证明题中的结论即可.【详解】 ( ) 由题意可得，即，解得，故数列的通项公式为.( ) 结合 ( ) 的结果可知：，则，当时，；当时，.故题中的结论成立.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，裂项求和的方法，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15 / 19. 已知椭

16、圆的离心率为，椭圆的左焦点为，椭圆上任意点到的最远距离是，过直线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.() 求椭圆的方程；() 求证：、 、三点共线；() 求面积的最大值 .【答案】 ( )； ( ) 证明见解析；( ).【解析】【分析】( ) 由题意得到关于的方程组，求得的值即可确定椭圆方程；( ) 设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理证明即可证得题中的结论.( ) 由题意可得的面积，结合均值不等式的结论确定面积的最大值即可.【详解】 ( ) 由题意可得：，解得：，故椭圆的离心率为：.( ) 结合 ( ) 中的椭圆方程可得：，故，设直线

17、的方程为，联立直线方程与椭圆方程：可得：.直线与椭圆相交，则：，解得：或.设，则：,16 / 19故：将代入上式可得：，故三点共线；( ) 结合 ( ) 中的结论可得：的面积.当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：() 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；() 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题. 已知函数.() 若在上单调递减，求的取值范围；() 若在处取得极值，判断当时，存在几条切线与直线平行，请说明理由；() 若有两个极值点，求证：.【答案】 ( )

18、； ( ) 答案见解析； ( ) 证明见解析 .【解析】【分析】( ) 由题意可得恒成立，构造函数， 令,由导函数的解析式可知在递增 , 在递减 ,据此计算可得实数的取值范围.( )由在处取得极值可得. 原问题等价于求解在区间17 / 19内解的个数， 结合导函数的解析式研究函数的单调性和函数在特殊点处的函数值即可确定切线的条数 . 而事实情况下检验时函数不存在极值点，所以不存在满足题意的实数，也不存在满足题意的切线.( ) 若函数有两个极值点,不妨设，易知, 结合函数的解析式和零点的性质即可证得题中的不等式 .【详解】 ( ) 由已知 ,恒成立令,则, 令, 解得 :, 令, 解得 :,故在递增 , 在递减 ,，由恒成立可得.即当在上单调递减时,的取值范围是.( )在处取得极值，则，可得.令，即.设，则.故在上单调递增，在上单调递减，注意到，则方程在内只有一个实数根，即当时，只有一条斜率为且与函数图像相切的直线 .但事实上，若，则，故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，故函