专题资料1二次函数专题

1、最新资料推荐专题资料 1二次函数专题1. 二次函数的最值问题1）二次函数y ax2bxc ( a0) （ x r ）的最值例： 求 y2x26x8的最值总结：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况( 当 a 0 时，函数在xb处取得最小值2a4ac b2，无最大值；当a 0 时，函数在 xb处取得最大值4acb2，无最小值4a2a4a2）求二次函数在某一范围内的最值(1) 定轴定区间（2）定轴动区间（3）动轴定区间即形如： yax2bxc 在 m xn （其中 mn ）的最值第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：xx0 ；第二步：讨论：1 若 a 0时求最小值或 a 0 时求最大值，需

2、分三种情况讨论：对称轴小于m 即 x0m ，即对称轴在 mxn 的左侧；对称轴 mx0 n ，即对称轴在 m xn 的内部；对称轴大于n 即 x0n ，即对称轴在 mxn 的右侧。2 若 a 0 时求最大值或 a0 时求最小值，需分两种情况讨论：mnxn 的中点的左侧；对称轴 x0，即对称轴在 m2mnxn 的中点的右侧；对称轴 x0，即对称轴在 m2例： 已知函数 f xx2 2x 2 ，（ 1）若 x r ，求函数的最小值；（ 2）若 x 1,3 ，求函数的最值；（ 3）若 x a, a2 , a r ，求函数的最值；【练习】已知函数y x2 , 2x a ，其中 a2 ，求该函数的最大值

3、与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值例：已知 kr，求函数 yx22kx3 在区间1,2 上的最大值。【练习】已知kr ，求函数 ykx 22kx1, x3,2 的最值。2. 二次函数恒成立问题例：已知函数 y=mx26mxm8 的定义域为 r，求实数 m的取值范围；【练习】 1）若 ylog 2 ( mx26mxm 8) 的定义域为 r，求实数 m的取值范围1最新资料推荐1）若 ylog 2 ( mx26mx m 8) 的值域为 r，求实数 m的取值范围例：已知函数 f ( x)x2ax3(1)当 xr时， f ( x)a 恒成立，求 a 的取值范围(2)当 x 2,

4、 2 时， f ( x)a 恒成立，求 a 的取值范围3. 含有二次函数的复合函数的单调区间问题例：求下列函数的单调区间。(1) ylog3 x23x2(2)yx 22x【练习】 求下列函数的单调区间(1)y2 x2x(2)y log 1x24x 42(3)、讨论函数 ylog a x24x3 的单调性。【练习】 讨论函数 y a x24x3 的单调性4. 二次函数零点例：对于函数f ( x)x2mxn 若 f ( a)0, f (b)0 则函数 f (x) 在区间 ( a, b) 内（）a、一定有零点b 、一定没有零点c 、可能有两个零点d 、至多一个零点【练习】已知二次函数yfx 有两个相

5、异零点 x1 , x2 ，且函数 yf x 满足f 3x f3x ，则 x1x2_例：若方程 2ax2x10 在（ 0， 1）内恰有一解，则的取值范围（）a、 a1 b 、 a 1c 、 1a 1 d 、 0 a1【练习】已知f ( x) 是偶函数，且其图像与x 轴有四个交点，则方程f ( x) 0 的所有实根之和为（）a、 4b、 2c、 1d、 05. 二次函数图像例：已知函数2a b ca b c 0y ax bx c，且，则它的函数图象是哪个，如果（）abcd2最新资料推荐例：已知 ar ，讨论关于x 的方程x26x8a 的实数解的个数。6. 二次函数对称轴例：二次函数f ( x)ax

6、2bxc 若 f (x1)f (x2 )(x1x2 ) 则 f (x1x2 ) （）a 、bb 、bc 、 cd、4acb22aa4ax0 , 它在 a,b 上的值域是 f(b),f(a),例：已知二次函数y=f(x) 的图象对称轴是x则（）a x0bb x0ac x0a， bd x0a， b例：已知函数 f(x)=x2 2x 2，那么 f(1)， f( 1) ， f(3 ) 之间的大小关系为函数 f(x)=x2+2(a 1)x+2 在区间 (- ,4 上递减 , 则 a的取值范围是（）a. -3,+ b.(- ,-3)c.(- ,5 d. 3,+ )例：已知函数 y=2x 2bxc 在,3上

7、是减函数，在3,上是增22函数，两个零点x , x, 满足 xx2, 则这个二次函数的解析式为12127. 可化为二次函数的函数可化为二次函数的其他结构的函数，即y af 2 ( x) bf ( x) c(a 0)例：求函数 y(log 4 x) 24log 2 x9 的值域【练习】求函数y 4x2x2 的值域例：求函数ysin 2 x4 cos x1的值域 .【练习】若方程sin2 x4a cosx10 有两个不同的解，求a 的范围例：求函数ya sin 2 x2a2 sin x1 a 0 的最小值8. 二次函数（方程根）的分布1）一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布，指

8、的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程 ax 2bxc 0 （ a0 ）的两个实根为x1 ， x2 ，且 x1x2 。b24ac0【定理 1】 x0, x0，则 xxb02211ax1 x2c0a例 1 若一元二次方程 ( m1) x22(m1)xm 0 有两个正根，求m 的取值范围。3最新资料推荐b24ac0【定理 2】 x10, x2 0，则 x1 x2b0ax1 x2c0a【定理 3】 x10x2，则 c0akx2例 3 k 在何范围内取值，一元二次方程3kx k 3 0

9、 有一个正根和一个负根？【定理 4】 1)x10 ， x20c0 且 b0 ；a2) x10 ， x20c0 且 b0 。a例 4 若一元二次方程 kx2(2k1) xk 30 有一根为零，则另一根是正根还是负根？2）一元二次方程的非零分布k 分布设一元二次方程 ax 2bxc0 （ a0 ）的两实根为x1 ， x2 ，且 x1x2 。 k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即 x1， x2 相对于 k 的位置）有以下若干定理。yybb 24ac0 f (k )0a0x1】 kx1x2，则 af (k)02a【定理okobk x1x2kx2xx1x2af (k)0ba0x2ayyba0f (

10、k)0b24acx02a【定理2】 x1x2k，则 af ( k)0x1ox2ox2kbkkxx1x2aba0f (k)0x2ayya 0f (k )0okx1x2【定理3】 x1kx2af ( k) 0xx 2xox1kf (k)0a04最新资料推荐【定理 4】有且仅有 k1x1 （或 x2 ）k 2ya0f (k1 )0x1k2o k1x 2f (k2 )0f (k1 ) f (k2 )0yf (k1 )0x1k2x ok1x2xa0f (k2 )0a 0a 0【定理 5】 k1 x1k2 p1 x2 p2f (k1 ) 0f ( k1 ) 0f (k 2 ) 0 或f ( k2 ) 0f

11、 ( p1 ) 0f ( p1 ) 0f ( p2 ) 0f ( p2 ) 0此定理可直接由定理4 推出，请自证。b 24ac 0b24ac 0a 0a 0【定理 6】 k1x1 x2k2 ，则 f (k1 )0或 f (k1 )0f (k 2 ) 0f (k2 ) 0k1bk1bk2k22a2ayf (k1 )x1ok1a0y0 f (k 2 )0x2k1k2x ox1f (k1 )bx2axb2ax 2k2x0f (k 2 )0a0【练习】1.关于 x 的方程 2 x23x2m0 有且仅有一个根在( 1,1)内，求 m 的取值范围。2.关于 x 的方程2x23x2m0的两实根均在 1,1内

12、，求 m 的取值范围。3.若关于 x 的方程 x22mxm210 的两个实根, ，满足 01，23 ，求实数 m 的取值范围4.设二次函数 fxx2xa a0 ，若 f m0 ，请判断 f m1 的值的正负，并说明理5最新资料推荐由。二次函数专题练习1已知函数yx22ax1 在1x2 上的最大值为4，求 a 的值2求关于x 的二次函数yx22tx1在1x1 上的最大值 ( t 为常数 )3设 a 0 ，当 1x 1 时，函数 yx2ax b 1 的最小值是4 ，最大值是0，求 a, b 的值4. 函数 f x3x 23x1b2 , xb, b b 0 的最值。45. 已知二次函数f x 的二次项系数为a 且不等式fx2x 的解集为 (1,3)（ 1）若方程f ( x)6a0 有两个相等的根，求fx 解析式（ 2）若 fx 的最大值为正数, 求 a 的取值范围6. 函数 y log 1(x26x 17) 的值域27. 已知 1a1，若函数 f xax22x 1 在 1,3 上的最大值