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文档简介
1、第四章 拉普拉斯变换与S域分析,第一节 引言,一、拉氏变换的优点,把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换,经求解再还原为时间函数。 拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。 应用拉氏变换: (1)求解方程得到简化。且初始条件自动包含在变换式里。 (2)拉氏变换将“微分”变换成“乘法”,“积分”变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。 拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。 利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。,第二节拉氏变换的定义、收敛域,一、单边拉氏变换定义,二、拉氏变换的物理意义,拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s),或作相反变换。 时域(t)变量t是实数,复
2、频域F(s)变量s是复数。变量s又称“复频率”。 拉氏变换建立了时域与复频域(s域)之间的联系。,看出:将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的重复频率,而s不仅能给出重复频率,还给出振荡幅度的增长速率或衰减速率。,三、从算子法的概念说明拉氏变换的定义,四、拉氏变换收敛域,拉氏变换收敛域举例,五、 常用信号的拉氏变换,常用信号的拉氏变换,常用信号的拉氏变换,常用信号的拉氏变换,作业,P250 4-1,第三节拉氏变换的基本性质,一、 拉氏变换的基本性质,拉氏变换的基本性质,拉氏变换的基本性质,拉氏变换的基本性质,拉氏变换的基本性质,作业,P250 4-2,4-3,4-5,第四节拉氏逆变换,一、系统
3、的s域分析方法,(1)部分分式展开法,(2)长除法,用拉氏变换方法分析系统时,最后还要将象函数进行拉氏反(逆)变换。 求解拉氏逆变换的方法有:,(3)留数法,二、部分分式展开法,部分分式展开法,部分分式展开法,部分分式展开法,部分分式展开法,部分分式展开法,部分分式展开法,部分分式展开法,三、留数法,留数法,举例4.1:,举例4.1:,举例4.1:,举例4.2:,举例4.2:,举例4.2:,举例4.3:,举例4.3:,举例4.3:,举例4.4:,举例4.4:,举例4.4:,作业,P251 4-4,第五节拉氏变换法求解常微分方程,一、 拉氏变换求解微分方程,拉氏变换求解微分方程,举例4.5:,举
4、例4.5:,举例4.5:,二、 S域电路分析,S域电路分析,S域电路分析,举例4.16:,举例4.5B:,举例4.5B:,举例4.5B:,举例4.5B:,第六节系统函数(网络函数)H(s),一、 系统函数定义,二、系统函数求响应,系统函数求响应,系统函数求响应,作业,P254 4-18,第七节由系统函数零、极点分布决定时域特性,一、系统函数的零、极点分布,H(s)零、极点分布与h(t)的对应,H(s)零、极点分布与h(t)的对应,H(s)零、极点分布与h(t)的对应,H(s)零、极点分布与h(t)的对应,H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解,(1)极点在原点:为单极点,则系统冲激响应为阶跃
5、函数;为多重极点,则系统为增长函数,为不稳定系统。,H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解,(2)极点在s的左半平面:系统为衰减系统,为稳定系统。,H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解,(3)极点在s的虚轴上:单极点(一定为一对共轭极点),则系统为振荡系统,则系统为临界稳定系统。若系统为多重极点,系统为增长系统,则系统为不稳定系统。,H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解,(4)极点在s的右半平面:系统为增长函数,则系统为不稳定系统。,H(s)零、极点分布与h(t)的对应,二、 H(s)、E(s)极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应,H(s)极点与系统响应的对应,H(s)零、极点分布
6、与系统响应的对应,H(s)零、极点分布与系统响应的对应,举例4.19:,举例4.19:,举例4.19:,举例4.19:,举例4.19:,作业,P256 4-27,4-30,4-31,第八节由系统函数零、极点分布决定频响特性,一、H(s)零、极点分布与频响特性的对应,H(s)零、极点分布与频响特性的对应,系统正弦稳态响应,系统频响特性,二、举例-滤波网络的频响特性,滤波网络的频响特性,滤波网络的频响特性,滤波网络的频响特性,三、S平面几何分析法,S平面几何分析,S平面几何分析,当w沿虚轴移动时,各复数因子(矢量)的模和辐角都随之改变,于是就得出幅频特性曲线和相频特性曲线。这种方法称为“s平面几何
7、分析法”,S平面几何分析,讨论H(s)极点位于s平面实轴的情况,包括一阶与二阶系统。,S平面几何分析,举例4.7:,举例4.7:,举例4.7:,举例4.7:,此点为高通滤波器的截止频率点。,举例4.7:,举例4.7:,举例4.22:,举例4.22:,举例4.12:,举例4.12:,举例4.12:,举例4.12:,举例4.12:,举例4.12:,举例4.12:,第九节二阶谐振系统的s平面分析,一、 二阶谐振系统的s平面分析,二阶谐振系统的s平面分析,二阶谐振系统的s平面分析,二阶谐振系统的s平面分析,二阶谐振系统的s平面分析,二阶谐振系统的s平面分析,3) 具共轭极点和零点的谐振系统:,二阶谐振
8、系统的s平面分析,二阶谐振系统的s平面分析,二阶谐振系统的s平面分析,作业,P259 4-37,4-38,4-39,第十节 全通函数与最小相移函数的零、极点分布,一、全通函数的定义,全通函数:一个系统函数,其: 极点位于左半平面, 零点位于右半平面, 且零点与极点对于jw轴互为镜像, 那么,此系统函数称为全通函数。 此系统称为全通系统或全通网络。,二、全通函数的特性,全通:即指它的幅频特性为常数,对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。,例4-23:,系统函数如下,其零、极点分布互为镜像。因此为一个全通网络。 其频率特性:,三、最小相移网络与非最小相移网络,问题提出: 为使系统稳定
9、,必须限制网络函数的极点位于左半平面,而其零点落于s平面的右半或左半平面对系统特性有何影响?,结论: 零点落于s平面的右半平面的图形,其相移的绝对值比较大,而零点落在左半平面的图形其相移比较小。,最小相移网络与非最小相移网络,最小相移函数:零点全部位于左半平面或jw轴的系统函数称之。 该系统称为“最小相移系统”。 非最小相移函数:系统函数在右半平面有一个或多个零点,那么,就称为“非最小相移函数” 该系统称为“非最小相移系统”。 非最小相移函数=最小相移函数全通函数 即:非最小相移系统=最小相移系统与全通系统的级联。,作业,P261 4-41,4-42,第十一节线性系统的稳定性,一、 线性系统的
10、稳定性,线性系统的稳定性,例4-24,已知两因果系统的系统函数,激励信号分别为,求两种情况的响应,并讨论系统稳定性。,例4-24,解:激励信号的拉氏变换为:,系统响应的拉氏变换为,例4-24,系统响应的时域表达式:,看出:激励信号有界,而产生无界信号的输出。说明:系统属不稳定。 从系统函数的极点看:系统在虚轴上有一阶极点,属临界稳定系统。,二、系统稳定性在电路中的具体体现,稳定系统:通常不含有受控源的RLC电路,一定为稳定系统。 振荡系统:只有LC元件构成的电路会出现H(s)极点位于虚轴的情况,h(t)呈等幅振荡。 以上两种情况都是无源网络,它们不能对外部供给能量,响应函数幅度有限的,属稳定或
11、临界稳定系统。 含受控源的反馈系统可出现稳定、临界稳定和不稳定几种情况。 实际上由于电子器件的非线性,电路可从不稳定状态逐步调整至临界稳定状态。利用它可产生自激振荡。,举例4.25:,举例4.25:,举例4.25:,举例4.26:,举例4.26:,举例4.26:,三、连续系统的稳定性准则,判别系统是否稳定,是否每次都要求出H(s)的极点位置,才能判别其稳定性呢?,否。,可以根据H(s)的分母多项式D(s)的系数来判断系统的稳定性。,系统稳定的必要条件:H(s)的分母多项式D(s)的所有系数ai都必须是正实数。,1、稳定系统必要条件的推导,将D(s)因式分解,求也它的根。,稳定系统必要条件的推导
12、,稳定系统必要条件的推导,2、稳定系统判断,系统稳定的判断:,(a)各系数为正实数且不能等于0。,(b)如果有一个系数=0,则系统处于临界稳定。,(c)如果系统全部缺奇次项,或全部缺偶次项;系统都是临界稳定或不稳定。,3、罗斯-霍尔维兹稳定性判据,罗斯-霍尔维兹稳定性判据指出: 若,则D(s)=0方程式的根位于s右半平面的个数等于罗斯阵列第一列数字符号改变的次数。,D(s)的根全部位于s左半平面的充要条件是: D(s)的系数全部是不等于0的正实数(无缺项),并且罗斯阵列第一列数字符号相同。,罗斯-霍尔维兹稳定性判据,罗斯阵列: (以n=6为例),其中,罗斯-霍尔维兹稳定性判据,罗斯阵列: (以
13、n=6为例),其中,罗斯-霍尔维兹稳定性判据,罗斯阵列: (以n=6为例),其中,例子1,符号改变两次,两个根在右半平面,系统不稳定。,例子2,凡遇到某一行元素全为0的情况,可以断言其根有出现在虚轴或原点处,是不稳定或临界稳定系统。,例子3,变二次符号,罗斯判别法的总结,(1)先观察H(s)分母多项式D(s)的各项系数均为正实数且无零系数。这是系统稳定的必要条件。 即:若系数中有负数或零,则系统肯定是不稳定的。,(2)若多项式D(s)的系数均为正实数,且是二次多项式,则系统肯定是稳定的。但若是三次或三次以上的多项式,则系统是否稳定,就需要排出罗斯阵列才能确定。,(3)罗斯阵列中第一列数字(元素
14、)的符号全是正的,且在阵列中未出现全为零元素的行,则系统是稳定的。这是系统稳定的充分条件。若阵列中第一列元素的符号有变化,则系统肯定是不稳定的。其符号变化的次数,就等于位于s平面右半平面上极点的个数。,罗斯判别法的总结,(4)若罗斯阵列中第一列中出现零元素时,则可用一个小的正数代替,因为第一列中元素符号改变的次数与的值无关。(注:在计算过程中,含2的项可略而不计。),(5)当罗斯阵列中某一行的元素全为零时,这说明D(s)=0的根中有共轭虚根,此系统要么是临界稳定,要么是不稳定。此时可利用上一行的元素构成一个s的辅助多项式(总是偶次的),然后再求一阶导数,并用此一导数的系数组成新的一行,来代替全
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