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文档简介

1、,第四章 随机变量的数字特征,从第二章和第三章可知,只要知道了随机变量的概率分就 能完整地刻画随机变量的性质然而在许多实际问题中一方 面确定一个随机变量的概率分布常常比较困难，另一方面有 时也并不需要知道随机变量的完整性质，而只要了解了随机 变量的某种特征就可以了用来描述随机变量某种特征的量 称之为随机变量的数字特征. 本章主要介绍用于刻画随机变量取值平均程度的数学期 望、用于刻画随机变量取值分散程度的方差及用于刻画两个 随机变量之间内在关联性的协方差和相关系数以及矩等念,4.1 数学期望,一、数学期望的概念 某射手在每次射击中命中的环数服从如下布： 可以看出:该射手在一次射击中平均命中的环数

2、等于随机 变量X的可能取值与其对应的概率乘积之和一般地，为刻 画随机变量所取的平均值，我们给出如下定义 二、离散型随机变量的数学期望 定义4.1 设X为离散型随机变量，其分布列为,若级数 绝对收敛,即 ,则称级数 的和 为随机变量X的数学期望(Expectitiong),记为 ,即 （41） 若级数 不绝对收敛，则称X的数学期望不存在 在定义中，要求 绝对收敛是必须的，因为X的数学 期望是一个确定的量，应不受 在级数中的排列次序的影 响，这在数学上就是要求级数绝对收敛,由（41）知，X的数学期望实际上是其所有取值 关于 其相应概率 为权重的加权平均当X的取值为有限个， 一 定存在，但当X的取值

3、为无限多个时，就必须要求级数 绝对收效， 才存在 设X是一维随机变量， 是X的函数，则 的数学期望 可由（41）求出，但此时需要知道 的概率分布律不过,由 于 是X的函数，还可以通过X的概率分布律间接求出 的数学 期望，这就是下面的公式： 若 绝对收敛，则 （42） （证略） 类似地，我们还有,若 的联合分布律为 是二元连续函数，则 的数学期望 为 （43）（证略） 当然,我们也可以先求出 的分布律,再计算 的 数学期望 三、连续型随机变量的数学期望 定义4.2 设X为连续型随机变量，其概率密度函数为 ,若 积分 绝对收敛，则称积分 的值为随机变量 X的数学期望，记为 ，即 （44） 否则X称的数学期望不存在,类似地，设X是连续型随机变量，其概率密度函数为 ， 是一元已知函数，若 绝对收敛，则 的数学期望为 （45） 设 是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为 是二元已知函数， 若 绝对 收敛，则 的数学期望为 （46） 四、数学期望的性质 性质1. 设c是常数，则 ； （47） 性质2. 若X和Y相互独立，则 ； （48） 性质3. ； （49） 性质4. ; (410),性质2可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的 情形上，即 若 ， ， ,相互独立，则 （411） 上式简记为 = 证明 只给出性质3和性质4在连续型情形下的

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