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文档简介

1、第四章 Taylor公式,二、微分的定义,四 Taylor公式,二 其他余项,Cauchy余项,Lagrange余项,常用展开式,1.,2.,熟记,3.,4.,应用,求极限,例2,解：,六 用Taylor公式证明问题的技巧,例4,证：,例7,证：,说明：,二、 基本积分表,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同.,定理1,例2 求,解,一般地,例4 求,解,例6 求,解,问题,解决方法,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,证,设 为 的原函数,令,则,则有换元公式,定理2,二、第二类换元法,例15 求,解,令,基本积分表 ,问题,解决思

2、路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,一、分部积分,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例4 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,难点,将有理函数化为部分分式之和.,特殊地：,分解后为,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,二、三角函数有理式的积分,

3、（万能置换公式）,真分式化为部分分式之和的待定系数法,例1,例9 求积分,解,34,三、可积的充分必要条件,35,四、可积函数类,36,1.线性,2.保序,37,3.可加性,38,定理7.4,推论,39,几何解释：,4.积分中值定理,40,推广的积分中值定理,证明：,41,一、变上限积分函数,1.,2.定理1,变上限积分函数,42,补充,证,43,例1 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,44,证,45,46,定理 4（微积分基本公式）,证,二、牛顿莱布尼茨公式,47,例2 计算,解,48,证,49,推导,二、分部积分公式,50,例10 计算,解,例4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：,解: (1) 记,并由此计算,52,A、直角坐标系情形,曲边梯形的面积,平面图形的面积,53,解,两曲线的交点,选 为积分变量,54,面积元素,曲边扇形的面积,C、极坐标系情形,55,解,利用对称性知,56,旋转体的体积为,二、参数方

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