【数学】1.3 反证法 课件(北师大版选修2-2).ppt

1、1,第一章 推理与证明 1.3 反证法,2,综合法特点：,由因导果,由已知,结论,分析法特点：,执果索因,即：,由结果,找条件,倒推,3,思考？,A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？,假设C没有撒谎, 则C真;,由A假, 知B真.,那么假设“C没有撒谎”不成立;,则C必定是在撒谎.,那么A假且B假;,这与B假矛盾.,推出矛盾.,推翻假设.,原命题成立.,分析:,由假设,4,反证法：,假设原命题不成立，,经过正确的推理,得出矛盾，,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法,反证法的基本步骤：,四步,得出矛盾的方法： （1）与

2、已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。,5,应用反证法的情形：,(1)直接证明比较困难;,(2)直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少;,（3)结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个”之类字样,（4）结论为 “唯一”之类的命题；,6,例1、已知a是整数，2能整除,，求证：,2能整除a.,证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。 因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则,，即,是奇数。所以，2不能整除,。这与,”相矛盾。于是，“2不能整除a”,已知“2能整除,这个假设错误，故2能整除a.,7,例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c

3、垂直。求证：a与b平行。,证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，如图所示，则,。,这样,的内角和,这与定理“三角形的内角和等于,”相矛盾，这说明假设是错误的。 所以直线a与b不相交，即a与b平行。,8,解题反思： 证明以上题时，你是怎么想到反证法的？ 反设时应注意什么？,反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？,9,例3、 已知a0，,证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。,10,例4、 求证： 是无理数。,解题反思： 本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？,例5: 已知直线 和平面 ,如果 且 ,求证: .

4、,a,b,下面用反证法证明直线 与平面 没有公共点.假设直线 与平面 有公共点P,则 ,即点P是直线a与b的公共点,这与 矛盾,所以 .,因为 ,而 所以 与 是两个不同的平面.,综合法,反证法,感受反证法:,练习1.求证： 在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等,这与已知条件ABAC相矛盾，假设错误。,求证：B C,已知：在ABC中，ABAC。,证明：假设B = C。,所以AB=AC（等角对等边）,所以B C。,练习2.已知：如图ABC中，D、E两 点分别在AB和AC上 求证：CD、BE不能互相平分,（平行四边形对边平行）,证明：假设CD、BE互相平分,连结DE， 故四边形BCED是平行四边形,BDCE,这与BD、CE交于点A矛盾,假设错误， CD、BE不能互相平分,14,归纳总结：,1.哪些命题适宜用反证法加以证明？,笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法； 具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或 含有“至多”、“至少”等不确定词， 此外，“存在性”、“唯一性”问题.,15,2.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？,归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形.,3.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.,