普通高中数学新课程系列培训.ppt

1、普通高中数学新课程系列培训（一）,空间几何体的三视图和直观图 z z y y x x 磐石市教师进修学校 高中教研部 郭海录 2011年8月18日,知识结构,柱 结构特征 锥 台 空 球 间 三视图 正 几 三视图和直观图 平行投影 何 直观图 斜 投影 体 效果图 美术图 中心投影 表面积 表面积和体积 体 积,地位和作用,是新课程新增重要内容之一 是几何学必不可少的重要的基础知识 是新课标高考命题的重点和热点 考纲定位 认识柱、锥、台、球及简单组合体结构特征 能识别三视图所表示的空间几何体 （看视图想形状 读图或看图；平面 空间） 能根据空间几何体形状画出其三视图 （由物绘图 画图过程；空

2、间 平面） 会用斜二测法画空间几何体的直观图 会计算几何体表面积和体积,考题形式,已知两视图选择第三视图（10 ） 已知直观图选择正确的视图（10 ） 已知三视图选择正确的直观图（5 ） 已知直观图画三视图（5 ） 已知三视图求几何体表面积（投影面积）、体积 或逆向计算（50 ） 已知三视图求最大表面面积、最大棱长（10 ） 其它（命题、语言叙述及解答等）（10 ）,考题特点,容易题（40 ） 试题难度 中等题（50 ） 难度逐渐提高 较难题（10 ） 试题形式 ： 单一 多样化 识图能力 空间想象能力 能力考查 计算能力 运算求解能力 绘图能力 动手操作能力 多面体及截切（40 ） 几何体类

3、型 旋转体及截切（20 ） 多面体与旋转体叠加（40 ）,高考试题涉及的几何体类型,多面体及截切 旋转体及截切 多面体与旋转体叠加 2011.北京.理.选择.72011.新课标卷.选择题.6 2011.天津.理.填空.10. 已知三视图，求最大面面积；已知两视图，选择另一正确视图；已知三视图，求体积。,（一）三视图基本知识,1.三视图的形成及三等对应关系、六向方位关系 建立三投影面体系 正（主）视图 三视图的形成 向三投影面作正投影 三视图 俯视图 三投影面展平 侧（左）视图 正俯一样长 长对正 三视图三等对应关系 正侧一样高 高平齐 （点、线、面、体均适用） 俯侧一样宽 宽相等 正视图 上、

4、下、左、右 物体上下主左见 物体左右主俯现 三视图表达的六向方位 俯视图 左、右、前、后 物体前后看左俯 侧视图 上、下、前、后 近是后面远是 前,直观图、三视图三等对应关系、六向方位 Z 上 上 左 右 后 前高 下 下 长 宽 O 后 Y 左 右 宽 前 长,三视图局部投影与整体投影,弯板直观图与三视图,俯视图 例1：已知正三棱锥的俯视图 （后） 如图所示，则三棱锥侧视图正确 S 小 的是（ ）。 大 解析：A 、B 两图明显不正确， （前） C 、D 两图类似，解题的关键 s s 要看追顶投影到底面前后距离的 大小，从俯视图上可以看出追顶 投影到底面前的距离大、到底面 A B 后的距离小

5、，从而可以判断正确 s s 的答案应该是 D. 讲解三视图时要强调视图 （ 后） （前）（后） （前） 反应物体的 方位。 大 小 小 大 C D,高考真题（1） 2011.北京.理.选择.7 已知三视图，求最大面面积。 解析： 1.解题的关键是由已知的三视图正确想象 出几何体的形状，这样才能判断出最大表 面，然后才能计算。 2.想象时先判断锥顶的位置（如锥顶是在 左、在前，当然也在上），然后进行整体 想象就容易得多。 4 4 2 5 3 4 提示：先找到锥顶，把它假想提起来，然后再进行想象。,例1（类似于2010.辽宁.理.15题图） 例2 提示： 1. 两图俯视图相同，正视图与侧视图类似，

6、在想象几何体形状时，先想象出锥 顶的位置，那么整体形状就很容易想象。 2.思考两个几何体结构形状是否相同？若相同，为什么视图不完全相同？,2.线、面的投影特性,（1）直线段的投影特性 平行 实长见 倾斜 线缩短 垂直 聚一点 求倾斜线（一般位置直线段） 实长的方 法 （1） 造直角三角形法 （2）换面法,（2）平面形的投影特性 平行 真形现 倾斜 面积变 垂直 一条线 求倾斜平面（一般位置平面） 实形的方法 二次换面法,图解法求倾斜线、倾斜面的实长和实形,求倾斜线的实长 a A 实长 a b B b X X b b X1 a B a 直线平行 新设面 新轴平行一条线 （1）造直角三角形法 实长

7、 A （2）换面法,高考真题（2） 2010.辽宁. 填空题.15题 （15）如图，网格纸的小正方形的边长是1， 在其上用粗线画出了某多面体的三视图， 则这个多面体最长的一条棱的长为_.【 2 3 】 解析：本题考查的是三视图的认识与计算， 解题的关键是由三视图正确的想象出空间 几何体形状是四棱锥，其中一条棱与 底面垂直，底面是正方形，底面边长是2， B 高是2，可计算最长棱长为 2 3 。 （此四棱锥可以看成是由正方体切割而成） 2 例： 如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其 上用粗实线画出了某多面体一棱线的两视图， 则该棱线的实际长度是_. A 32 + 2 2 ）2 =？ 2,求倾斜平

8、面实形方法,图形垂直新设面 新轴垂直一条线 （X1 bm） 换面法： 图形平行新设面 新轴平行一条线 （X2 a1c1） a b m c X X1 X2 b C B c M m c1 b1（m1） 实形 a A a1,3、空间几何体的组成及三视图,构成： 两个等底面（多边形）和多个侧面（相等的矩形） 棱柱 三视图 ：一面多边形 两面矩形 构成 ：一个底面 （多边形）和多个侧面（三角形） 平面体 棱锥 三视图 ： 三面三角形 构成 ：上底面、下底面（多边形）和多个侧面（梯形） 棱台 三视图 ：一面两个矩形及多个梯形、另两个面梯形,构成 两底面和侧面 圆柱 三视图 一个圆，两个相等的矩形 构成 底

9、面和侧面 圆锥 旋转体 三视图 一个圆，两个全等的等腰三角形 （曲面体） 构成 上底面、下底面和侧面 圆台 三视图 一个同心圆，两个相等的等腰梯形 构成 球面 圆球 三视图 三个相等的圆,多面体直观图和三视图,棱柱 棱锥 棱台,旋转体（曲面体）三视图,圆柱 圆锥 圆台 圆球,高考真题（34） 2007.山东. 选择填空.3题 3.下列几何体各自的三视图中，有 且仅有两个视图相同的是（ ） A. B. C. D. 解析：（1）本题主要考查常见几何体 三视图及空间想象力。 正方体 圆锥 （2）几何体是否有两个视 图图形相同？ 同类题型 2010.课程标准卷. 填空.14题 14.正视图为一个三角形

10、的几何体 可以是_（写出三种）. 三棱台 正四棱锥 常见几何体三视图虽然简单，但在教学中也要认真落实。,4、组合体投影与三视图,含义：由 多面体或旋转体截切而成 截切类组合体 投影与视图：掌握截面位置、截交线的投影形状 含义：由多面体与曲面体叠加而成 叠加类组合体 投影与视图：掌握形体连接形式、重影性质,（1）截切类组合体,. 多面体（平面体）被截切 高考真题（510） 2007宁夏.海南.选择题.8 已知三视图求体积（图1） 2009宁夏.海南. 选择.11 已知三视图求全面积（图2） 2008.广东. 选择题.5 已知几何体被切割，选择正确 H A G A 的侧视图 （图3） B C B

11、C 图1 M 侧视 E D E D 图3 F F B B B B E E E E 图2 A B C D,2010.广东.选择填空.6（图4） 如图1,ABC为正三角形,AA/BB/CC, C CC平面ABC且3AA=3 2BB=CC =AB,则多面体ABC-ABC的正视图 B （也称主视图）是（ ）。 2010.北京.选择填空.3（图5） A B A C 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体 A B 的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图 所示，则该几何体的俯视图为（ ）。 （图4） C D A B 正（主）视图 侧（左）视图 C D （图5）,2011.陕西.选择题.5（见图6） 某几何体

12、的三视图如图所示， 则它的体积是（ ） （图6） 解析： 图1、图2原题考查的是三视图识读及几何体 体积、面积计算。解题的关键是要想象出正确 的空间几何体，根据图1、图2三视图，直接想 象比较困难（因为三个视图表达的选择不是常 见的几何体），但可以换向思维：三视图所表 达的是不是由常见几何体切割（去掉一部分）形成的，这样想就会很快想象出几何体的形 状（图1、图2虽然一个是四棱锥、一个是三棱锥，但都可以理解为两几何体是由常见几何 体正四棱锥切割而成）。 图3、图4、图5原题主要考查的是识图能力、空间想象能力。三个组合体都属于常见几何 体（三棱柱、四棱柱）被截切（去掉某些部分），这类题解题的关键是

13、明确切割体的原形， 明确切割平面的方向、位置，原几何体被截切的部位、范围（图3，三棱柱切去三个角；图 4，三棱柱被斜切；图5，长方体的左、上、前被切去一小长方体），这样才能根据截割情 况及原几何体的投影视图正确的想象出切割类组合体形状。（注意平面与平面的交线是直 线） 图6是正方体截切去一圆锥，内圆锥（锥孔）底面直径、高均与正方体长度、高度相等。 （注意：虚线的含义不可见轮廓线）,关注题型（图1、图2）： 1.已知两视图（图1），想象出另 一视图图形及空间几何体形状。 2.已 知两视图（图2），想象出另 一视图图形及空间几何体形状。 3.如图（图3）所示，正三棱锥被 平面截切，能否补全视图所缺

14、图线。 （注：3题仅供教师参考） 图1 图3 图2,参考答案,正三棱锥被截切后的三视图与直观图（教师参考） 两截切平面相交 交线是直线,教师参考题 1.已知两视图，想象另一 视图图形和几何体形状。 2.已知正三棱锥被截切， 画全俯视图与侧视图。 1题（1） 1题（2） 2题 1题（3）,.旋转体（曲面体）被截切 高考真题（11） 2011.新课标卷.选择题.6 在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧 视图可以为（ ）。 解析： 本题考查的是三视图的识读，解题的关键是要通过所给的两 视图，正确的想象出该几何体的形状是由正棱锥被通过锥顶 的两截平面截切后形成的。注意只有通过锥

15、的截平面与圆锥侧面 的交线才是直线。旋转体被截平面截切后形成的几何体是高考的 新动向。,旋转体被被截平面截切 1.圆锥面被截平面截切 截平面过锥顶 截平面倾斜轴线 截交线形状直线 截交线形状椭圆,圆锥面被截平面截切 截平面平行于轴线 截平面平行素线 截交线形状双曲线 截交线形状抛物线,圆柱面、球面被截切 圆柱面被倾斜轴线截平面截切 球面被水平面截切 截交线形状椭圆 截交线形状圆,关注题型： 已知圆锥被平面截切，其主视图如图所示，补全另两视图所缺图线。 1题 2题,教师参考： 已知圆锥或圆球被截平面截切，补画视图所缺图线。 1题 2题,教师参考： 3题 4题 （提示：圆锥切梯形孔、通孔）,教师参

16、考： a.圆锥穿孔（孔为圆孔、通孔）。 b.球面切槽。 注：1.截交线是截面与被截面的交线，是两表面的共有线，所 以截交线上的点也是两表面上的共有点，因此求截交线 的投影就是求两表面共有点的投影，然后点的同面投影 用光滑线连接起来。 2.求几何体表面上的点的投影方法主要有： 投影法 积聚性法辅助线法 辅助面法辅助球面法,教师参考题答案 a.圆锥穿孔（圆孔、通孔）。 b. 圆球切槽。,（2）叠加类组合体, 1 叠加形式 棱 柱棱柱 多面体多面体 棱柱棱锥 棱柱棱台 棱 柱圆锥 多面体旋转体 棱柱圆球 棱柱圆柱 圆柱圆柱 圆柱圆锥 旋转体旋转体 圆 球圆球 圆柱圆球 圆锥圆锥 圆锥圆球, 不共面有

17、线 2 . 组合体表面连接形式： 共面无线 相交有线 相切无线 高考真题（1214） 不共面有线 共面无线 2010.天津.理.12.已知三视图求体积 2009.浙江.理.12.已知三视图求体积, 相切无线 相交有线 例 2010.浙江.理12.已知三视图求体积 ,含义：形体投影重合（给读图带来困难） 3. 重影性质： 识读有效方法：几个视图联系起来读 高考真题（1516） 2008.山东.理.6 2011.湖南.理.3 已知三视图，求表面积.（俯视图重影）；已知三视图求体积。（俯视图部分重影） 注意： 1.本两题球下面是圆柱、棱柱，此外，球下面也可能是其它形体，如棱台、圆台等。 2. 由于不

18、同的两个形体某些尺寸相等，在某个方向的投影重合，所以读图时必须几个视图 必须联系起来读。,关注题型 已知三视图，想象几何体形状。 1题 2题,已知组合体三视图，想象其结构形状。 3题 思考：假设俯视图和侧视图中的圆不存在，几何体形状如何改变？,教师参考1： （1）已知三视图，想象几何体形状。 （2）已知正视图和俯视图，想象几 何体形状（有多少种？）。 （1）题 （2）题,教师参考2： 已知两视图，想象几何体形状，画出俯视图。,（二）读、画组合体视图,1.读组合体视图 读 组合体视图： 看视图 想形状 形体分析识大体 线面分析看细节 读 图 要 领： 区分线框对投影 综合起来想整体 形体分析法

19、看视图 明关系 读图基本方法： 读图步骤 ： 分部分 想形状 线面分析法 合起来 想整体,解读： （1）.读图：看视图，想形状。即根据所给的视图，想象组合体形状。 （2.）读图的两个重要方法是：形体分析法和线面分析法。 .形体分析法：根据所给的视图，分析该组合体大体上是哪一类 ，（是切割类还是叠加 类，是柱体还是椎体、球体等）， 先看懂组成组合体各基本形体的形状 和位置， 明确各形体表面之间的连接形式，最后综合想象出组合体整体 结构形状。 形体分析法看大体、看整体。 .线面分析法：关于线，应该明确：视图中的每条图线，可能是立体表面具有积聚性 的投影（立体表面与投影面垂直）；或者是两平面交线的投

20、影；也可能 是曲面转向轮廓线的投影。视图中的每个封闭线框，通常表示物体上 一个表面（平面或曲面）的投影。相邻两线框或大线框中有小线框， 则表示不同位置的两个表面。 可能是两表面相交， 也可能是同向错位 （如上下、前后、左右）。共面无线，不共面有线。视图上， 粗实线表示可见轮廓线投影，虚线表示不可见轮廓线投影。 关于面，应该掌握：会分析面的形状和分析面的相对位置。如当基本体 或不完整的基本体被投影面垂直面截切时，与截平面倾斜的投影面的投 影成类似形。 线面分析法看细节、看局部。,高考真题（1718） 2011.天津.理.填空.10. 已知三视图，求体积。 .读三视图：（1）形体分析属于上下 叠加

21、类组合体，正圆锥 在长方体之上，左右居 中，前后居中。 （2）线面分析俯视图中， 圆与前后两条实线相切， 说明圆锥底圆直径与长 方体宽度相等。（侧视 图也反映了圆锥底圆直 径与长方体宽度相等的 关系。 .计算体积：（略）。,2011.天津.理.选择题.6 已知三视图，求表面积。 左右两面投影 顶面底面投影 .读三视图： （1）形体分析属于切割类组合体，可以认为 是由 正方体前后各切去一个角之后形成的 （此组合体也是一个四棱柱）。 （2）线面分析上面、下面是水平面，左右两面是侧 平面，由于前后侧面是侧垂面，所以 在侧视图上投影积聚成直线，在另两 个面上的投影有类似形（长方形）。 线分析（见图）.

22、 .计算（略）. 顶面与侧面交线 前后两侧面投影,教师参考： 对组合体进行形体分析与线面分析 1题 2题,2.组合体视图画法 已知直观图，画三视图 画视图 已知一个或两个视图，画另一视图 先基准 后轮廓 先主（要）后次（要） 步 骤 ： 先关键 后其它 先外（形）后内（腔） 三个视图一起画 先实（线）后虚（线） 画图前要进行形体分析，选择好视图和布图。 注意的问题： 作每个截面投影时，应先从具有积聚性投影开始。 注意截面投影的类似性。,例题1：（2011模拟题） 一简单组合体如图所示，其底面ABCD是正方形，PD平面ABCD，ECPD，且 PD=AD=2EC:（1）在指定位置画出几何体的正视图

23、和侧视图；（2）若N为线段PB 的中点，求证：EN平面PDB.（3）若PDAD= 2，求平面PEB与平面ABCD所成 的二面角的大小。 p p P e e E a ( d)正视图 b d(c) 侧视图 a(b) p(d) e(c) 注意： 1.画图时先找出点的 D C 投影，注意点的位 置（上下、前后及 A B a 俯视图 b 左右）。 2.注意虚、实线用法。,（三）直观图的画法,直观图：用平行投影法画出的具有立体感的图形。 斜二测 常用直观图画法： 正等测 轴间角：XOZ=90，XOY、YOZ=45或135 斜二测 轴向量取尺寸：X、Z轴=1 1，Y轴=1 2. 轴间角：XOZ= YOZ=

24、XOY=120 （或60 ） 正等测 轴向量取尺寸：X、Y、Z轴=1 1. 画图步骤 ：画轴建系， 取点连线， 修补成图。,画斜二测图应掌握的基础知识,1.直观图上坐标轴之间的角度， xoz=90， xoy=zox =45（或135）；图形中平行于x轴、z轴的线段，在直观图中取1（按实际尺 寸度量），平行于y轴的线段，长度取为0.5（尺寸缩短一半度量）. 2.已知图形上相互平行的线段，在直观图上也相互平行；已知图形上平行于直角 坐标轴（x、y、z)轴的线段，在直观图上也平行于相应的投影轴（x、y、z） 3.平行于投影轴的线段，可按规定比例沿轴向直接度量尺寸，不平行于投影轴的 线段，不能直接度量

25、尺寸。 4.已知图形上平行于xoz坐标面的图形，在直观图上反映实形（如：已知图形上平 行于xoz坐标面的圆，在直观图上也是正圆），平行于xoy、zoy坐标面的图形，在 直观图上不反应实形（矩形变成了平行四边形，圆变成了椭圆）。,斜二测画法（一） Z Z1 O Y Y1 O1 X1 O X 几何体上的圆平行于XOY面 注：几何体上平行于XOY或平行于XOZ坐标面上的圆，在直观图上变为椭圆。,斜二测画法（二） E Y L2 Z H d B L1 Y A C A1 B1 O X O C1 X D1 D G 7 10 尺规绘图（画平行于XOY面上的椭圆）作图步骤： （1）作圆的外切正方形及平行四边形；

26、 F （2）作一直线L1与X轴成7 10 角，L1即椭圆的长轴方向， 过O点作一直线L2垂直LI，L2即为短轴方向。 （3）取OF=OE=A1C1，连接FA1、EC1分别交L1于G、H两点，分别以FA1 、 EC1、GA1、HC1为半径画出四段圆弧，两对圆弧连接成近似椭圆。 （注：椭圆长轴为1.06d，短轴为0.35d.）,斜二测图及其相关计算,1. 如图（图1）所示，ABCD是一平面图形的 y 水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图 中，ABCD是一直角梯形，ABCD，ADCD， A B 且BC与y轴平行，若AB=6，AD=2，求这个平 图1 面图形的实际面积。 D O C x 2.水平放置的ABC的斜二测直观图如图（图2） y 所示，已知AC=3， BC=2，求AB边上