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文档简介

1、第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性,一、连续函数的和、积、商 的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性,一、连续函数的和、积及商的连续性,定理1 设函数f(x)和g(x)在点x0连续，则它们的和(差) 、积 及商 (当 时)都在点x0连续.,例1 因 而sin x和cos x都在区间 内连续,故由定理1知 tan x和cot x在它们的定义域内是连续的.,二、反函数与复合函数的连续性,定理2 如果函数y=f(x)在区间 上单调增加(或单调 减少)且连续，那么它的反函数 也在对应 的区间 单调增加(或单调减 少)且连续.,例2由于 在闭区间上且连续，,总之，反三角函数

2、在它们的定义域内都是连续的.,所以它的反函数 在闭区间1,1上也是单调增加且连续的.,定理3 设函数 由函数 与函数u=g(x)复合而成, .若,而函数y=f(u)在 连续，则,定理4 设函数 是由函数 与函数 复合而成， .若函数 在 连续，且 ，而函数 在 连续 ，则复合函数 在 也连续.,证明：,例4 讨论函数的连续性.,解：函数 可看作是由 及 复合而成的.,根据定理4，函数 在无限区间 和 内是连续的.,基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.,三、初等函数的连续性,一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,结论：,例6 求,例7 求,利用定理3及极限的运算法则.便有,证：,一般地，对于形如 的函数(通常称为幂指函数)，如果 那

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